151039 (Уравнение равновесия. Проекция скорости точки)

Задача 1

Груз силой тяжести G=350 Н удерживается тросом, перекинутым через блок А, ось которого укреплена на стержнях АВ и АС. Определить силы реакции в стержнях, если углы на рис.8.1 равны, соответственно: α=60º, β=15º, γ=30º. Рисунок не выдержан в масштабе.

Дано:

G=350 Н

α=60º

β=15º

γ=30

R_A, R_B - ?

T=G, т.к. трение в блоке отсутствует

Запишем уравнение равновесия для стержней. В качестве объекта равновесия примем точку А. Изобразим действующие на нее силы.

ΣF_x=0

Tsin30-R_Csin60-R_Bsin75=0

ΣF_y=0

G+Tcos30-R_Bcos75-R_Ccos60=0

Получили два уравнения с двумя неизвестными. Для упрощения процесса решения подставим числовее значения известных величин.

350sin30-R_Сsin60-R_Bsin75=-175-0,866R_С-0.966R_B=0

49,6-0,259R_B-0.5 (-202,1-1,1R_B) =51,9+0,291R_B=0

R_B=-51,9/0.291=-178,35 Н

R_C=-202,1-1,1 (-178,35) =-5,92 Н

Знак "-" указывает на то, что силы направлены в сторону противоположную указанной на схеме.

Ответ: R_B=-178,35 Н

R_C=-5,92 Н

Задача 2

По заданному графику проекции скорости точки, движущейся прямолинейно, построить графики ее перемещения и ускорения. Какой путь прошла точка? На каком максимальном расстоянии от исходного положения она находилась в процессе движения? На каком расстоянии от исходного положения она находится в конце движения?

Для построения графиков перемещения и ускорения необходимо записать уравнения скорости на каждом участке представленного графика.

Участок 1. t от 0 до 10 с

V₁=const=10 м/с

Участок 2. t от 10 до 20 с

V₂=2t-10

Участок 3. t от 20 до 30 с

V₃=const=30 м/с

Участок 4. t от 30 до 40 с

V₄=120-3t м/с

Для построения графиков перемещений проинтегрируем уравнения полученные выше

Найдем константу С. S (0) =0=10·0+C → C=0, S₁=10t

S₁ (10) =10·10=100

S₂ (10) =10²-10·10+C → C=100

S₂ (20) =20²-20·10+100=300

S₃ (20) =20·30+C=300 → C=-300

S₃ (30) =30·30-300=600

S₄ (30) =120·3- 30²+C=600 → C=-1590

Для построения графиков ускорений продифференцируем уравнения скоростей на разных участках

a₁=

a₂=2 м/с²

a₃=0

a₄=-3 м/с²

График зависимости перемещения от времени м/с²

График зависимости ускорения от времени

Путь пройденный точкой численно равен площади под графиком зависимости скорости от времени

S=10·10+ (10·10+0,5·10·20) +10·30+0,5·10·30=750 v

В данном случае максимальное расстояние от исходного положения составит 750 м, точка в конце движения будет находится также на расстоянии 750 м.

Задача 8.3 В механизме качающегося грохота (рис.8.3) определить угловую скорость кривошипа О₂В=3r и скорость ползуна D при вертикальном положении кривошипа O₁A, если АВ=CD=2r. Отношение BC/CO₂=3/5, угловая скорость кривошипа О₁А равна ω=6 рад/с, углы α=60º, β=45º. Длина кривошипа O₁A равна r=0.1м.

Дано:

O₁A=r=0,1 м

AB=CD=2r=0,2 м

O₂B=3r=0,3 м

ω_OA1=6 рад/с

α=60º

β=45º

ω_O2B, V_D - ?

Построим положение механизма в соответствии с данными условиями задачи.

Для определения необходимых нам скоростей необходимо провести ряд промежуточных вычислений.

Определим скорость V_A

V_A=ω_O1A·r/2=6·0,1=0,6 м. с (V_A┴O₁A)

Скорость V_A определяем с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела (стержня АВ) на прямую соединяющую эти точки (прямая АВ).

V_A=V_Bcos30 → V_B=0.6/cos30=0,69 м/c²

Построим мгновенный центр скоростей (МЦС) - точка лежащая на пересечении перпендикуляров к векторам V_A и V_B

ω_O2B= рад/с

Определяем V_D. Точка D принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно и стержню CD. Поэтому чтобы найти ее скорость достаточно знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление V_D.

Величину V_C найдем из пропорции

V_C= (V_C┴СМЦС)

Скорость V_D определяем с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела (стержня CD) на прямую соединяющую эти точки (прямая CD).

V_Dcos45=V_Ccos15 → V_D=0,5·cos15/cos45=0,68 м/c²

Ответ: ω_O2B= рад/с; V_D=0,68 м/c²

Задача 3

Доска длиной l=6м, свободно положенная на две разновысокие опоры А и В, получив начальную скорость v₀=0.5м/с, соскальзывает с опор вниз. Упадет ли доска с них, если коэффициент трения между доской и опорами f=0.6, а размеры на рис.8.4: a=0.3l, b=0.5l, h=0.14l.

Дано:

l=6м

v₀=0.5м/с

f=0.6

a=0.3l

b=0.5l

h=0.14l

s - ?

Запишем сразу уравнение равновесия для доски находящейся в покое

ΣF_x=0-F_трА+Qcosα-F_трB=0

F_трА=F_трВ=f·N=f·Qsinα (Ra=Rb=N)

отсюда

Qcosα-2f·Qsinα=0

Запишем 3-й закон Ньютона для доски начавшей движение

m =mg (cosα-2fsinα)

=g (cosα-2fsinα)

Проинтегрируем полученное уравнение

=V_x=g (cosα-2fsinα) t+C₁

x=g (cosα-2fsinα) t+C₁t+C₂

Найдем неизвестные cosα и sinα

sin²α+cos²α=1

Найдем постоянные С₁ и С₂

При t=0 V_x (0) =0.5 м/с → С₁=0,5

При t=0 x (0) =0 → С₂=0

Окончательно уравнение движения доски примет вид

V=9.8 (0.28-2·0.6·0.96) t+0,5=-8,55t+0,5

x=-4.27t²+0.5t

Найдем время, когда доска остановится

V=0 → t=0.5/8.55=0.06 c

Путь пройденный доской за это время

x=-4.27·0.06²+0.5·0.06=0.015 м

Для того чтобы доска упала она должна пройти путь равный длине его верхней части а=0,3·6=1,8 м. В нашем случае это не происходит, следовательно доска не упадет.

Задача 4

На однородной балке массой m=3т (рис.8.5) установлена лебедка силой тяжести G=25кН, поднимающая на тросе, наматывающемся на барабан d=0.1l, груз силой тяжести Q=12кН с ускорением а=3м/с². Определить нагрузки на опоры А и В, если b=0.4l, c=0.2l. Массу троса не учитывать.

Дано:

m=3т

G=25кН

d=0.1l

Q=12кН

а=3м/с²

b=0.4l

c=0.2l

R_A, R_B - ?

Запишем уравнения равновесия

ΣF_x=0 R_Ax=0

ΣF_y=0 R_Ay-G-Q- -Mg+R_By=0

ΣM_A=0 -Gb-Qz-

где

Получили два уравнения с двумя неизвестными, найдем искомые реакции

R_By= кН

R_Ay=G+Q+ 25+12+3.67-23=17,67 кН

Ответ: R_By=23 кН, R_Ay=17,67 кН