86371 (Булевы функции), страница 2

2016-07-29СтудИзба

Описание файла

Документ из архива "Булевы функции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математика" из , которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "контрольные работы и аттестации", в предмете "математика" в общих файлах.

Онлайн просмотр документа "86371"

Текст 2 страницы из документа "86371"

Отметим, что реально элементарной функции соответствует реализующий ее элемент, а суперпозиции булевых функций соответствует соединение элементов.

Таблица 6

х1

0

0

1

1

Наименование функции

х2

0

1

0

1

f0 (х1,х2)

0

0

0

0

константа 0

f1 (х1,х2)

0

0

0

1

конъюнкция

f2 (х1,х2)

0

0

1

0

запрет по х2

f3 (х1,х2)

0

0

1

1

переменная х1

f4 (х1,х2)

0

1

0

0

запрет по х1

f5 (х1,х2)

0

1

0

1

переменная х2

f6 (х1,х2)

0

1

1

0

сумма по модулю 2

f7 (х1,х2)

0

1

1

1

дизъюнкция

f8 (х1,х2)

1

0

0

0

операция Пирса (ф-ция Вебба)

f9 (х1,х2)

1

0

0

1

логическая равнозначность

f10 (х1,х2)

1

0

1

0

инверсия х2

f11 (х1,х2)

1

0

1

1

импликация от х2 к х1

f12 (х1,х2)

1

1

0

0

инверсия х1

f13 (х1,х2)

1

1

0

1

импликация от х1 к х2

f14 (х1,х2)

1

1

1

0

штрих Шеффера

f15 (х1,х2)

1

1

1

1

константа 1

Суперпозиция булевых функций представляется в виде логических формул. Однако следует отметить:

- одна и та же функция может быть представлена разными формулами;

- каждой формуле соответствует своя суперпозиция и, следовательно, своя схема соединений элементов;

- между формулами представления булевых функций и схемами, их реализующими, существует взаимнооднозначное соответствие.

Очевидно, среди схем, реализующих данную функцию, есть наиболее простая. Поиск логической формулы, соответствующей этой схеме, представляет большой практический интерес, а преобразование формул булевых функций основано на использовании соотношений булевой алгебры.

    1. 4.Основные законы и тождества булевой алгебры

Для булевой алгебры определены одна одноместная (унарная) операция “отрицание” и две двухместные (бинарные) операции конъюнкция и дизъюнкция (обозначаются «», «» соответственно). Приведем некоторые основные формулы.

Под бинарной операцией на множестве А, в общем случае понимают отображение декартового произведения множеств (А х А) в множество А. Иными словами, результат применения бинарной операции к любой упорядоченной паре элементов из А есть также элемент из множества А.

Под унарной операцией на множестве А понимают выделение (фиксацию) какого-либо элемента множества А.

Преобразование формул булевых функций применением только аксиом булевой алгебры малоэффективно. Для упрощения формул используется целый ряд соотношений. Из коммутативности и ассоциативности дизъюнкции следует, что дизъюнкция нескольких переменных может выполняться последовательно, причем порядок взятия дизъюнкции не влияет на результат. Формулы де Моргана:

Следствия из формул де Моргана:

Формулы для системы функций:

операция поглощения (х поглощает у): хху=х; или х(ху)=х.

операция склеивания: хух =х, или (ху)(х )=х

    1. 5.Аналитическое представление булевых функций

Рассмотрим универсальные (канонические) формы представления, дающие возможность получить аналитическую форму непосредственно по таблице истинности для произвольной булевой функции. Эта форма в дальнейшем может быть упрощена. Поскольку между множеством аналитических представлений и множеством схем, реализующих булеву функцию, существует взаимно однозначное соответствие, отыскание канонической формы представления булевой функции является начальным этапом синтеза схемы, ее реализующей. Наиболее широкое распространение получила совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ). Прежде чем перейти к ее изучению, приведем определение конституенты единицы — понятия, которым будем широко пользоваться в дальнейшем.

Конституентой единицы (коньюнктивным термом) называется функция f(x1,x2,...,xn), принимающая значение 1 только на единственном наборе.

Конституента единицы записывается как логическое произведение n различных булевых переменных, некоторые из них могут быть с отрицаниями. Можно легко выразить любую булеву функцию как дизъюнкцию конституент единицы, соответствующих тем наборам, на которых функция равна 1.

Дизъюнкция конституент 1, равных 1 на тех же наборах, что и заданная функция, называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой переключательной функции( СДНФ).

Наборы, на которых функция f принимает значение 1, часто называются единичными, остальные — нулевыми наборами. Выписывать в СДНФ имеет смысл только конституенты единицы, соответствующие единичным наборам.

Пример. Выпишем СДНФ для функций, заданных таблицей истинности (табл. 7.).

Таблица 7.



х1х2х3

f(х1,х2,х3)

0

0 0 0

0

1

0 0 1

1

2

0 1 0

1

3

0 1 1

0

4

1 0 0

0

5

1 0 1

1

6

1 1 0

0

7

1 1 1

1

fСДНФ(х1,х2,х3)=

fСКНФ(х1,х2,х3)=

Другая известная форма носит название совершенной конъюнктивной номальной формы (СКНФ). Она строится аналогично СДНФ.

Определение. Конституентой нуля (дизьюнктивным термом) называется функция, принимающая значение 0 на единственном наборе.

Конституента нуля записывается в виде элементарной дизъюнкции всех переменных. Каждому набору соответствует своя конституента 0. Например, набору 0110 переменны х1,х2,х3,х4 соответствует конституента нуля .

СКНФ представляется как конъюнкция конституент нуля, соответствующих нулевым наборам функции.

    1. 6.Функционально полные системы булевых функций

Любая булева функция может быть представлена аналитически одной из нормальных форм (СДНФ, СКНФ). Последние используют ограниченное число элементарных булевых функций. Например, для СДНФ такими функциями являются «конъюнкция», «дизъюнкция» и «отрицание». Существуют системы булевых функций, с помощью которых можно аналитически представить любую сколь угодно сложную булеву функцию. Проектирование цифровых автоматов основано на знании таких систем булевых функций. Последнее особенно важно для разработки комплектов интегральных микросхем, из которых можно построить произвольный цифровой автомат. Проблема функциональной полноты является центральной проблемой функциональных построений в алгебре логики.

Определение. Функционально полной системой булевых функций (ФПСБФ) называется совокупность таких булевых функций {f1, f2,..., fk}, что произвольная булева функция f может быть записана в виде формулы через функции этой совокупности.

К ФПСБФ следует отнести системы: { , ,НЕ}, { , , НЕ}.

Определение свойств ФПСБФ основано на понятии замкнутого относительно операции суперпозиции класса функций. Класс булевых функций, функционально замкнутый по операции суперпозиции, есть множество функций, любая суперпозиция которых дает функцию, также принадлежащую этому множеству. Среди функционально замкнутых классов выделяют классы особого типа, называемые предполными, которые обладают следующим свойством. Предполный класс S не совпадает с множеством P2 всех возможных булевых функций, однако, если в него включить любую, не входящую в S, булеву функцию, то новый функционально замкнутый класс будет совпадать с множеством P2. Проведенные исследования показали, что предполных классов пять, а для построения ФПСБФ необходимо и достаточно, чтобы ее функции не содержались полностью ни в одном из пяти предполных классов. Перечислим предполные классы булевых функций:

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее