86182 (Интерполирование функций), страница 2

Вторая формула Ньютона применяется для интерполирования назад и экстраполирования вперед, т.е. в конце таблицы конечных разностей. При этом значение аргумента x должно находиться в интервале [x_n-1, x_n], причем за x_n может приниматься любой узел интерполирования .

Одно из важнейших свойств конечных разностей заключается в следующем. Если конечные разности i–го порядка (i < n) постоянны, то функция представляет собой полином i–й степени. Следовательно, формула Ньютона должна быть не выше i-й степени. При использовании ЭВМ вычисление конечных разностей завершается при выполнении условий

где L - число значащих цифр после запятой в представлении значений функции.

Необходимо отметить, что формулы Ньютона являются видоизменениями формулы Лагранжа. Однако в формуле Лагранжа нельзя пренебречь ни одним из слагаемых, так как все они равноправны и представляют многочлены n-й степени. В формулы Ньютона в качестве слагаемых входят многочлены повышающихся степеней, коэффициентами при которых служат конечные разности, разделенные на факториалы. Конечные разности, как правило, быстро уменьшаются, что позволяет в формулах Ньютона пренебречь слагаемыми, коэффициенты при которых становятся малыми. Это обеспечивает вычисление промежуточных значений функции достаточно точно с помощью простых интерполяционных формул.

4. Формула Ньютона с разделенными разностями

Первая и вторая формулы Ньютона предполагают, что узлы интерполирования являются равноотстоящими. Однако, в общем случае функция f(x) может быть задана таблицей, в которой узлы находятся на произвольном расстоянии друг от друга , где значения h_i (i = ) являются различными.

При таких условиях первая и вторая интерполяционные формулы Ньютона неприменимы. В данном случае, для решения задачи интерполяции применяются не конечные, а разделенные разности.

Разделенная разность первого порядка определяется:

Для вычисления разделенных разностей высших порядков используется формула:

Разделенные разности удобно представлять диагональной таблицей, вид которой для n = 4 соответствует табл. 2.

Таблица 2

Интерполяционный многочлен Ньютона, использующий разделенные разности, имеет вид:

где , П_k(x) = 1.

Представленная формула позволяет повышать точность вычислений постепенно, добавляя разделенные разности более высоких порядков. Следует отметить, что при этом все полученные результаты сохраняются, т.е. не вычисляются заново, а только наращиваются. Это следует из соотношения

Оценка погрешности интерполирования выполняется по формуле

5. Интерполяция сплайнами

Пусть задана таблица значений функции f(x_i) = y_i ( ), в которой они расположены по возрастанию значений аргумента: x₀ < x₁ < … < x_n. Чтобы построить кубический сплайн, требуется определить коэффициенты a_i0, a_i1, a_i2, a_i3, которые задают интерполяционный кубический многочлен

на каждом интервале интерполирования [x_i-1, x_i], .

Таким образом, необходимо определить 4n коэффициентов a_ij ( , ), для чего требуется 4n уравнений. Необходимые уравнения определяются следующими условиями.

1. Условия непрерывности функции:

2. Условия непрерывности 1-х и 2-х производных функции:

3. Граничные условия:

Часто используются граничные условия вида Получаемый при этом сплайн называется естественным кубическим сплайном.

Задача определения кубического сплайна существенно упрощается при использовании многочлена Эрмита. Кубический многочлен Эрмита на интервале [x_i-1, x_i] определяется с помощью значений функции y_i-1, y_i и ее производных y_i-1, y_i. Так как значения производных в общем случае могут быть неизвестны, обозначим их как y_i-1 = S_i-1; y_i = S_i. При построении сплайна переменные S_i называются наклонами сплайна в соответствующих точках x_i.

Запишем многочлен Эрмита для интервала [x_i-1, x_i], где h_i = x_i - x_i-1:

При таком выборе кубического многочлена автоматически выполняются условия непрерывности функции и ее первых производных:

Чтобы определить сплайн, нужно задать условия непрерывности второй производной:

Для записи этих условий в развернутом виде определим кубический многочлен Эрмита на интервале [x_i, x_i+1], где h_i+1 = x_i+1 - x_i:

Определим вторые производные многочленов Q_i(x) и Q_i+1(x) в точке x = x_i:

(4)

(5)

Отсюда условие непрерывности вторых производных имеет вид:

(6)

Это условие порождает систему линейных уравнений относительно наклонов сплайна S_i, которая содержит n - 1 уравнение и n + 1 переменную. Чтобы определить два недостающих уравнения используются граничные условия. Например, для естественного кубического сплайна:

Указанные граничные условия могут быть получены из уравнения (5) для i = 0 и из уравнения (4) для i = n соответственно. В развернутом виде:

(7)

Решение системы линейных уравнений, образованной условиями (6) и (7), позволяет вычислить наклоны сплайна S_i (i = ) и определить кубический сплайн путем записи многочлена Эрмита для каждого интервала [x_i-1, x_i], i = .

Заключение

В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций оказывается эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.

Список литературы

1. В.В. Иванов. Методы вычислений на ЭВМ. Справочное пособие. Изд-во "Наукова думка". Киев. 1986.

2. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы. Изд-во "Лаборатория базовых знаний". 2003.

3. И.С. Березин, Н.П. Жидков. Методы вычислений. Изд. ФизМатЛит. Москва. 1962.

4. К. Де Бор. Практическое руководство по сплайнам. Изд-во "Радио и связь". Москва. 1985.

5. Дж. Форсайт, М.Мальком, К. Моулер. Машинные методы математических вычислений. Изд-во "Мир". Москва. 1980.