Министерство образования

Российской Федерации

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

2003

1(Т85.РП). Найдите матрицу D=(AC-AB), если

А = 1 0 ,C= 3 4 4 , B= -3 1 4 .

2 -2 1 -3 5 2 -3 4

(В ответ ввести вторую строку матрицы D.)

Решение:

Р азмеры матриц А и С согласованны, т.к. число элементов в строке матрицы А равно числу элементов в столбце матрицы В.

а*с= 1 0 * 3 4 4 = 1*3+0*1 1*4+0*(-3) 1*4+0*5 = 3 4 4

2 -2 1 -3 5 2*3+(-2)*1 2*4-2*(-3) 2*4-2*5 4 14 -2

А *В= 1 0 * -3 1 4 = 1*(-3)+0*2 1*1+0*(-3) 1*4+0*4 = -3 1 4

2 -2 2 -3 4 2*(-3)-2*2 2*1-2*(-3) 2*4-2*4 -10 8 0

D=А*С-А*В= 3 4 4 _ -3 1 4 = 3-(-3) 4-1 4-4 = 6 3 0

4 14 -2 -10 8 0 4-(-10) 14-8 -2-0 14 6 -2

Ответ :14 , 6 , -2.

2 (3ТО).Вычислите определитель D= 2 2 1 0

1 1 1 0

1 2 2 1

0 3 2 2

Решение:

2 2 1 0

1 1 1 0

1 2 2 1 =

0 3 2 2

Умножим третью строку на (-2) и сложим с четвёртой строкой , результат запишем

в четвёртую строку:

2 2 1 0

1 1 1 0

= 1 2 2 1 =

-2 -1 -2 0

Данный определитель разложим по элементам четвёртого столбца :

3+4 2 2 1

= 1*(-1) * 1 1 1 =

-2 -1 -2

Умножим вторую строку на (-2) и сложим с первой, результат запишем в первую строку . Умножим вторую строку на 2 и сложим с третьей , результат запишем в третью строку .

0 0 -1

= - 1 1 1 = - (-1) ¹⁺³ * (-1) * 1 1 = 1-0 =1;

0 1 0 0 1

Ответ: D = 1.

3 (598.Р7).Решите матричное уравнение

1 2 1 1 1 -1

X* 4 3 -2 = 16* -1 2 3

-5 -4 -1 0 -1 -2 .

Решение:

A*X=B , X=A^-1 *B

Н айдём det A:

1 2 1

det A= 4 3 -2 = 1*3*(-1)+1*4*(-4)+2*(-2)*(-5)-1*3*(-5)-2*4*(-1)-1*(-2)*(-4)=

-5 -4 -1

=-19+20+15-8+8=16 ;

det= 16 ≠ 0;

С оставим матрицу А ^-1 , обратную матрицы А:

А¹ ₁ = 3 -2 = -3 –8 = -11

-4 -1

А¹₂ = - 4 -2 = -(-4-10) = 14

-5 -1

А¹₃ = 4 3 = -16+15 = -1

-5 -4

A²₁ = - 2 1 = -(-2+4) = -2

-4 -1

A²₂ = 1 1 = -1+5 = 4

-5 -1

A²₃ = - 1 2 = - (-4+10) = -6

-5 -4

A³₁ = 2 1 = - 4-3 = -7

3 -2

A³₂ = - 1 1 = - (-2-4) = 6

– 2

A³₃ = 1 2 = 3 –8 = -5

4 3

-11/16 -2/16 -7/16

А^-1 = 14/16 4/16 6/16

-1/16 -6/16 -5/16

-11/16 -2/16 -7/16 1*16 1*16 -1*16

Х = 14/16 4/16 6/16 * -1*16 2*16 3*16 =

-1/16 -6/16 -5/16 0*16 -1*16 2*16

-11*1+(-2*(-1))+(-7*0) -11*1+(-2*2)+(-7*(-1)) -11*(-1)+(-2*3)+(-7*2)

= 14*1+4*(-1)+6*0 14*1+4*2+6*(-1) 14*(-1)+4*3+6*2 =

-1*1+(-6*(-1))+(-5*0) -1*1+(-6*2)+(-5*(-1)) -1*(-1)+(-6*3)+(-5*2)

-9 -8 -9

= 10 16 10

5 -8 -27

Ответ : Х = : -9 , -8 , -9 : 10 , 16 , 10 : 5 , -8 , -27 .

4 (4П5).При каком значении параметра p , если он существует ,

1 2 -2 1

последняя строка матрицы А = 2 -3 3 2 является линейной комбинацией первых

1 -1 1 2

8 -7 p 11

трёх строк?

Решение :

Вычислим det A:

1 2 -2 1 1 2 -2 1 -7 7 0 -7 7 0

det A = 2 -3 3 2 = 0 -7 7 0 = 3 -3 -1 = 3 -3 -1 =

1 -1 1 2 0 3 -3 -1 23 -16-p -3 14 -7-p 0

8 -7 p 11 0 23 -16-p -3

- 1*(-1) ²⁺³ _* -7 7 = 49 + 7p – 98 = 7p - 49

14 -7-p

Если det A=0 , то ранг матрицы А равен двум , т.е. 7p – 49 = 0 , p = 7.

Третья строка по теореме о базисном миноре является комбинацией первых двух .

Обозначим коэффициенты этой комбинации через λ₁ и λ₂ , λ₃ ,тогда (8,-7,7,11) = λ₁(1,2,-2,1)+ + λ₂ (2,-3,3,2) + λ₃ (1,-1,1,2);

И меем систему : λ₁ + 2λ₂ + λ₃ = 8 * 2

2λ₁- 3λ₂ - λ₃ = -7

-2λ₁ + 3λ₂ + λ₃ = 7

λ₁ + 2λ₂ + 2λ₃ = 11

Решим данную систему методом Гаусса :

λ₁ + 2λ₂ + λ₃ = 8 1) λ₃ = 3

7λ₂ + 3λ₃ = 23 2) 7λ₂ + 9 = 23

7λ₂ + 3λ₃ = 23 7λ₂ = 14

λ₃ = 3 λ₂ = 2

3) λ₁ + 2*2 + 3 =8

λ₁ = 1

коэффициенты линейных комбинаций λ₁ = 1 ; λ₂ = 2 ; λ₃ = 3 ;

Ответ : (8,-7,7,11) = 1(1,2,-2,1)+ 2(2,-3,3,2) + 3(1,-1,1,2) .

5. Относительно канонического базиса в R₃ даны четыре вектора f₁(1,1,1) , f₂ (1,2,3) , f₃ (1,3,6), x(4,7,10). Докажите, что векторы f₁, f₂ , f₃ можно принять за новый базис в R₃ . (ТР0.РП) . Найдите координаты вектора x в базисе f_i .

Составим определитель из компонент векторов и f₁, f₂ , f₃ вычислим его :

1 1 1 1 1 1

∆ = 1 2 3 = 0 1 2 = 1*(-1)¹⁺¹ * 1 2 = 5 – 4 = 1

1 3 6 0 2 5 2 5

Так как ∆ ≠ 0 , то векторы f₁, f₂ , f₃ образуют базис трёхмерного пространства R₃

Для вычисления координат вектора x в этом базисе составим систему линейных уравнений :

х₁ + х₂ + х₃ = 4 *(-1)

х₁ + 2х₂ + 3х₃ = 7

х₁ + 3х₂ + 6х₃ = 10

х₁ + х₂ + х₃ = 4

х₂ + 2х₃ = 3 *(-2)

2х₂ + 5х₃ = 6

х₁ + х₂ + х₃ = 4 1) х₃ = 0 3) х₁ + 3 + 0 = 4

х₂ + 2х₃ = 3 2) х₂ + 0 = 3 х₁ = 4 - 3

х₃ = 0 х₂ = 0 х₁ = 1

х₁ = 1 , х₂ = 0 , х₃ = 0 .

Решение этой системы образует совокупность координат вектора x в базисе f₁, f₂ , f₃

x(1;3;0);

x = f₁ + 3f₂ + 0f₃;

x = f₁ + 3f₂ .

Ответ : координаты вектора x (1;3;0).

6. Докажите , что система

2х₁ + 2х₂ + х₃ = 8,

х₁ + х₂ + х₃ = 3,

х₁ + 2х₂ + 2х₃ + х₄ = 3,

3х₂ + 2х₃ +2х₄ = 3

имеет единственное решение . (362).Неизвестное х₂ найдите по формулам Крамера . (0М1.РЛ) . Решите систему методом Гаусса .

Решение:

Составим матрицу из коэффициентов при переменных

2 2 1 0

А = 1 1 1 0

1 2 2 1

0 3 2 2

В ычислим определитель матрицы А

2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 1 1 1 0

∆ = 1 1 1 0 = 1 1 1 0 = (-1)³⁺⁴ * 1 1 1 = - 1 1 1 =

1 2 2 1 1 2 2 1 -2 -1 -2 0 1 0

0 3 2 2 -2 -1 -2 0

= - (-1)²⁺³ * 1 1 = 1

0 1

∆ ≠ 0, тогда система имеет решение х₂ = ∆ х₂ /∆

2 8 1 0 2 8 1 0 2 8 1 2 8 1

∆ х₂ = 1 3 1 0 = 1 3 1 0 = (-1)³⁺⁴ * 1 3 1 = - 1 5 0 =

1 3 2 1 1 3 2 1 -2 -3 -2 0 3 0

0 3 2 2 -2 -3 -2 0

= -(-1)¹⁺³ * 1 5 = ( 3 + 0 ) = 3

0 8

х₂ = 3 /1 = 3.

Решим систему методом Гаусса

2х₁ + 2х₂ + х₃ = 8 *(-2) *(-1)

х₁ + х₂ + х₃ = 3

х₁ + 2х₂ + 2х₃ + х₄ = 3

3х₂ + 2х₃ +2х₄ = 3

х₁ + х₂ + х₃ = 3

- х₃ = 2

х₂ + х₃ + х₄ = 0 *(-3)

3х₂ + 2х₃ +2х₄ = 3

х₁ + х₂ + х₃ = 3

х₂ + х₃ + х₄ = 0

- х₃ - х₄ = 3

х₃ = -2

1) х₃ = - 2 3) х₂ - 2 - 1 = 0

2) 2 - х₄ = 3 х₂ = 3

х₄ = -1 4) х₁ + 3 - 2 = 3

х₁ = 2

Проверка :

2 + 3 – 2 =3, 3 = 3

4 + 3*3 – 2 = 8, 8 = 8

2 + 6 – 4 – 2 = 3, 3 =3

9 – 4 – 2 = 3 , 3 = 3.

Ответ : х₁ = 2 , х₂ = 3 , х₃ = - 2 , х₄ = -1.

7. Дана система линейных уравнений

3х₁ + х₂ - х₃ - х₄ = 2,

9х₁ + х₂ - 2х₃ - х₄ = 7,

х₁ - х₂ - х₄ = -1,

х₁ + х₂ - х₃ -3х₄ = -2.

Докажите ,что система совместна . Найдите её общее решение . (392.БЛ). Найдите частное решение , если х₄ = 1 .

Доказательство :

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда , когда ранг основной матрицы

системы равен рангу расширенной матрицы .

С оставим расширенную матрицу :

3 1 -1 -1 2 0 -2 2 8 8 0 0 1 6 7

А = 9 1 -2 -1 7 → 0 -8 7 26 25 → 0 0 3 18 21 =0

1 -1 0 -1 -1 0 -2 1 2 1 0 -2 1 2 1

1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2

Первая и вторая строка пропорциональны следовательно А = 0. Поэтому ранг матрицы и расширенной матрицы равны 3 поэтому система является совместной .

Решим систему методом Гаусса :

запишем последнее уравнение на первое место :

х₁ + х₂ - х₃ -3х₄ = -2

3х₁ + х₂ - х₃ - х₄ = 2

9х₁ + х₂ - 2х₃ - х₄ = 7

х₁ - х₂ - х₄ = -1

1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2

С = 3 1 -1 -1 2 → 0 2 -2 -8 -8 → 0 2 -2 -8 -8 →

9 1 -2 -1 7 0 8 -7 -26 -25 0 0 -1 -6 -7

1 -1 0 -1 -1 0 2 -1 -2 -1 0 0 -1 -6 -7

х₁ + х₂ - х₃ -3х₄ = -2

→ 2х₂- 2х₃ -8х₄ = -8

- х₃ -6х₄ = -7.

1) х₃ = 7 - 6х₄

2) х₂ - х₃ -4х₄ = -4

х₂ = х₃ + 4х₄ - 4

х₂ = 7 - 6х₄ + 4х₄ - 4

х₂ = 3 - 2х₄

3) х₁ = - х₂ + х₃ + 3х₄ - 2

х₁ = - 3 + 2х₄ + 7 - 6х₄ + 3х₄ – 2

х₁ = 2 -х_{4 .}

Получаем общее решение системы :

х₁ = 2 -х₄

х₂ = 3 - 2х₄

х₃ = 7 - 6х_4.

Найдём частное решение , если х₄ = 1 тогда

х₁ = 2 – 1 = 1;

х₂ = 3 – 2*1 = 1;

х₃ = 7 – 6*1 =1.

Ответ : (1;1;1;1) – частное решение .

8. Дана система линейных однородных уравнений

2х₁ +3х₂ - х₃ - х₄ + х₅ = 0,

3х₁ - 2х₂ - 3х₃ -3х₅ = 0,

х₁ - 3х₂ + 2х₃ -5х₄ -2х₅ = 0.

Докажите , что система имеет нетривиальное решение . Найдите общее решение системы . Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений Доказательство :

Система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда , когда ранг её матрицы меньше числа неизвестных .В этом случае ранг матрицы не больше трёх , а переменных в системе пять .

Решим систему методом Гаусса .

Запишем матрицу системы :

2 3 -1 -1 1 1 -3 2 -5 -2

А = 3 -2 3 0 -3 → 0 9 -5 9 5 │*7 →

1 -3 2 -5 -2 0 7 -3 15 3 │*(-9)

1 -3 2 -5 -2

→ 0 9 -5 9 5

0 0 -8 -72 8

х₁ -3х₂ + 2х₃ - 5х₄ -2х₅ = 0

9х₂ - 5х₃ + 9х₄ +5х₅ = 0

-8х₃ -72х₄ +8х₅ = 0

1) 8х₃ = -72х₄ + 8х₅

х₃ = - 9х₄ + х₅

2) 9х₂ + 45х₄ - 5х₅ + 9х₄ +5х₅ = 0

9х₂ + 36х₄ = 0

х₂= - 4х₄

3) х₁ +12х₄ - 18х₄ + 2 х₅ - 5х₄ -2х₅ = 0

х₁ - 11х₄ = 0

х₁ =11х₄

Общее решение системы :