85979 (Парадоксы в математике), страница 2

Предложение "Прилагательное р применимо к себе" символически запишется в форме Р (р), а предложение "Прилагательное р не применимо к себе" запишется в форме Р (р). Если относительно некоторого прилагательного р установлено Р (p), то по принятому определению, прилагательное р будет гетерологическим. Обозначив свойство "быть гетерологическим" через G получим: "p (G (p)" (P (p)) (*).

Слово "гетерологический" само тоже является прилагательным. Обозначим это прилагательное буквой g. Тогда при р=g из условия (*) получим противоречие: (g)"G (g).

Это противоречие снимается, если учесть, что первоначально мы имели только прилагательные некоторого предметного языка, которые классифицировались на автологические и гетерологические; прилагательное же "гетерологический" появилось только при описании этой классификации и, значит, относится к метаязыку. Поэтому в условии (*) квантор общности имел смысл "для всех прилагательных предметного языка" и подстановка р=g была неправомерной.

2.3 Парадокс Берри

Еще один внешне простой парадокс был указан в самом начале нашего века Д. Берри, занимавшем должность библиотекаря Оксфордского университета. Позже он был опубликован Бертраном Расселом. В русской интерпретации он звучит так: множество натуральных чисел бесконечно. Множество же тех имен этих чисел, которые имеются в русском языке и содержат меньше, чем, допустим, сто слов, является конечным. Это означает, что существуют такие натуральные числа, для которых в русском языке нет имен менее чем из ста слов. Среди этих чисел есть, очевидно, наименьшее число. Его нельзя назвать посредством русского выражения, содержащего менее ста слов. Но выражение "наименьшее натуральное число, для которого не существует в русском языке его сложное имя, слагающееся из менее чем ста слов" является как раз именем этого числа. Это имя сформулировано в русском языке и содержит только девятнадцать слов. Очевидный парадокс: названным оказалось то число, для которого нет имени.

Этот парадокс исчезает, если различать предметный язык и метаязык. В самом деле, в рассматриваемой фразе речь идет о различных описаниях названного числа, сделанных на некотором предметном языке, следовательно, в этой фразе утверждается, что эти описания должны содержать не менее 100 букв предметного языка; сама же эта фраза относится к метаязыку и поэтому может содержать и меньшее количество букв.

2.4 Парадоксы со множествами

В результате абстракции неизбежно возникают понятия, относящиеся к более высокому иерархическому уровню, чем исходные. Таковым является, в частности, и понятие множества, являющееся ключевым в современной математике. Чтобы в этом убедиться, представим себе, что наблюдаем стадо, состоящее из пяти коров. Когда мы говорим о стаде, мы имеем в виду множество этих коров; и мы представляем его себе именно как отдельный самостоятельный предмет. Таким образом, получается шесть предметов: пять коров и стадо, состоящее из них. Но если нас спросят: "Сколько предметов вы видите?" - мы ответим: "Пять!". Шестой предмет увидеть нельзя! Множество - это предмет, созданный нашей мыслью. Мы мысленно объединяем эти коровы и представляем себе результат объединения как нечто целое, самостоятельное.

Георг Кантор (1843-1918), создатель теории множеств, назвал этот мысленный акт "свертыванием". В результате возникает абстрактный, воображаемый предмет. От уровня реально существующих предметов мы поднимаемся на более высокий иерархический уровень познания и попадаем в мир абстрактных понятий. Продолжая процесс восхождения ко все более и более абстрактным понятиям, мы одновременно будем переходить и на новые, более высокие иерархические уровни познания. Это весьма наглядно можно показать следующим образом.

Пусть дано некоторое множество людей, живущих в одном и том же доме, причем каждый жилец живет в отдельной квартире. Значит, роль множества выполняет дом, а элементами множества являются жильцы, живущие в отдельных квартирах этого дома. Построим теперь множество всех подмножеств данного множества. Подмножествами очевидно будут различные дома, в которых будут жить соответствующие подмножества жильцов первоначального дома. Но так как каждый элемент исходного множества является в то же время и элементом целого ряда подмножеств, то каждый житель первоначального дома должен жить одновременно и в целом ряде домов - подмножеств. Это означает, что один и тот же житель будет иметь квартиры в целом ряде домов. Какими будут эти дома?

Так как одним из подмножеств является пустое множество, то должен существовать пустой дом, в котором никто не живет. Это может быть, например, здание клуба или театра, или церковь. Одноэлементным подмножествам будут соответствовать одноквартирные дома, двухэлементным - двухквартирные и т.д.

Допустим, что построение домов-подмножеств закончено. Что же получилось? Совокупность домов, возникшая в результате нашего построения, домом не является. Построен город, состоящий из домов. Если сначала мы имели дело с множествами жильцов и называли эти множества домами, то теперь возникло множество нового вида - множество домов и это новое множество мы, естественно, называем по-другому: это город. Можно теперь идти дальше и рассматривать множество всех подмножеств этого города. То, что мы получим, не будет городом, это будет нечто более общее. Можно, например, назвать эту совокупность городов "страной".

Приведенный пример показывает, что при восхождении к абстракциям более высокого уровня, мы неизбежно переходим и на более высокий иерархический уровень. Игнорирование этого обстоятельства может привести к возникновению противоречий и парадоксов. Покажем это на конкретном примере.

Рассмотрим множество всех одноэлементных множеств к и обозначим его через U. Построим теперь множество E, единственным элементом которого является U. Значит, E={U}.

Из этого определения следует: U есть элемент E. Но, поскольку E является одноэлементным множеством, а U - это множество всех одноэлементных множеств, E есть элемент U.

Таким образом, оказалось, что множество U, являясь совокупностью одноэлементных множеств, в то же время содержится в качестве элемента в одном из своих подмножеств. Но этого ведь быть не может, так как E и U различны.

Причина противоречия кроется опять в игнорировании иерархических различий. Множество U было множеством всех одноэлементных множеств некоторого исходного иерархического уровня, а множество E было сформировано позже; оно относится уже к другому, более высокому иерархическому уровню. Поэтому утверждение E элемент из U было неправомерным, так как на исходном иерархическом уровне множества Е не было.

Этот парадокс можно объяснить и неопределенностью смысла слова "все". Если слово "все" относится к элементам вполне определенного множества, то смысл этого термина достаточно ясен. А если множество задано недостаточно четко, если его границы расплывчаты, если допускается возможность обнаружения новых элементов, о существовании которых заранее ничего не известно, что тогда означает "все"? Очевидно, должен быть уточнен смысл термина "все", а это как раз и происходит, когда учитывается принадлежность предметов к тому или иному иерархическому уровню.

Следующий парадокс, свидетельствующий о необходимости учета иерархических различий, - это знаменитый парадокс Кантора, заключающийся в том, что универсальное, всеобъемлющее "множество всех множеств" никакой мощностью обладать не может.

Кантор исходил из того, что каждое множество А должно обладать некоторой "мощностью". Под "мощностью" он понимал количественную характеристику множества.

Мощность множества А Кантор обозначил через , отмечая двумя черточками, что она получается в результате двойной абстракции: абстракции от природы элементов и абстракции от их порядка. Множество всех подмножеств данного множества А (называемое также булеаном множества А) обозначено через Р (А). Кантор доказал, что .

Рассмотрим теперь множество всех множеств, назовем его "универсумом" и обозначим через U. Из приведенной выше теоремы при А=U получим, что .

С другой стороны, поскольку U - это множество всех множеств, то оно должно обладать максимальной мощностью, и, значит, . Получилось противоречие.

В кажущейся неразрешимости этого противоречия и заключается парадокс Кантора. На самом деле этот парадокс все же разрешим. Дело в том, что мы неявным образом предположили, что универсум U является таким же множеством, как и все остальные множества, и поэтому тоже обладает некоторой мощностью.

Противоречие же показывает, что оно никакой мощностью обладать не может. Значит, универсум U множеством не является. U - это объект, который относится к другому иерархическому уровню.

2.5 Парадоксы-петли

Выше было показано, что игнорирование иерархических различий приводит к противоречиям и парадоксам. Проводимые при этом рассуждения имеют иногда вид странных петель: исходя из некоторого утверждения, относящегося к определенному иерархическому уровню, мы по ходу рассуждения попадаем на другой иерархический уровень и уже на этом новом уровне каким-то странным образом приходим к первоначальному утверждению.

Петля рассуждения замыкается невозможным образом: на новом уровне мы обнаруживаем то утверждение, которое на самом деле относится к первоначальному иерархическому уровню. Так получилось и с парадоксом лжеца.

Парадокс Рассела (О парикмахере) был найден Бертраном Расселом (1872-1970). Допустим, что в некотором поселке нет бородатых людей и все мужчины бреются либо сами, либо у местного парикмахера. Допустим также, что в этом поселке принято правило, согласно которому парикмахер бреет тех и только тех, кто не бреется сам. Спрашивается: бреет ли парикмахер самого себя? Оказывается, что ни "да", ни "нет" ответить нельзя. Если парикмахер бреет самого себя, то он относится к категории тех, кто бреется сам, а людей этой категории, согласно принятому правилу, он не должен брить. Значит, он не должен себя брить. Если же парикмахер не будет брить самого себя, то он относится к категории тех, кто не бреется сам, а таких людей он как раз и должен брить. Значит, он должен бриться сам.

Получается странная, невозможная петля: если парикмахер бреется сам, то он не должен брить себя, а если он не бреет себя, то он, напротив, должен бриться сам. Если же он бреется сам, то повторяется предыдущее рассуждение. Получается странная, бесконечная заколдованная петля, из которой нет выхода. Объяснение же парадокса состоит в том, что при формулировке правила, которым должен руководствоваться парикмахер, не были учтены иерархические различия. Правило должно относится ко всем жителям поселка, кроме парикмахера, так как парикмахер в данном случае относится к другой иерархической категории.

Если же не учитывать иерархических различий и не уточнять правило, которым должен руководствоваться парикмахер, то парадокс говорит только о том, что такого парикмахера быть не может.

Парадокс Маннури (О мэре) голландского математика Геррита Маннури (1867-1956) похож на предыдущий парадокс. В этом парадоксе речь идет о стране, состоящей из отдельных областей. Каждая из которых имеет мэра, который, однако, не обязательно должен жить в той же области, которой он управляет. На основании этой оговорки всех мэров можно разделить на две категории. К одной из них относятся те мэры, которые живут в той же области, которой они управляют, - их мы назовем "хорошими"; к другой относятся все те, которые не живут в той области, которой они управляют, - этих мы назовем "плохими".

Известно также, что президент страны выделил для плохих мэров отдельную область и издал приказ, обязывающий всех плохих мэров переселиться именно в эту новую область. Кроме того в приказе было сказано, что в новой области никто кроме плохих мэров проживать не может. Очевидно, новая область должна была иметь и своего мэра. В связи с этим спрашивается: каким будет этот мэр - хорошим или плохим?

Если он хороший, то он должен жить в той области, которой он управляет, но там он жить не может, так как эта область создана только для плохих мэров, а он, по предположению, хороший.

Если же он плохой, то с одной стороны из определения понятия "плохой" следует, что он не должен жить в той области, которой он управляет, а с другой стороны он должен жить именно в этой области, так как она специально создана для плохих мэров.

Таким образом, возникает та же самая неразрешимая ситуация: мэр особой области не может быть ни хорошим, ни плохим; и не может жить ни в самой этой области, ни вне ее. В чем же дело?

Причина парадокса в том, что иерархические уровни опять оказались спутанными. В данном случае все жители рассматриваемого государства распадаются на три категории: обыкновенные граждане, мэры обычных областей, и мэр той особой области, в которой живут все плохие мэры.

Мэр особой области существенно отличается от остальных мэров: обычные мэры управляют гражданами, а мэр особой области управляет мэрами - это новый, более высокий иерархический уровень. Свойства "быть плохим мэром" и "быть хорошим мэром" пригодны только для характеристики обычных мэров, а мэр особой области относится к другой категории, - его характеризуют другие свойства, и поэтому бессмысленно спрашивать, хороший он, или плохой. Выявленное противоречие как раз и показывает, что он не может быть ни тем, ни другим.

Принципиальное различие в свойствах элементов различных иерархических уровней на практике обычно сразу же бросается в глаза. Например, все яблоки, лежащие на столе, могут быть желтыми - это их общее свойство. Но множество этих яблок желтым быть не может, так как множество яблок - это абстрактный, идеальный предмет, относящийся к совершенно другому иерархическому уровню.