85852 (Система линейных уравнений), страница 2

причем b 0, то совершенно очевидно, что ни одна система значений х₁, х₂..., х_п не удовлетворяет этому уравнению, а следовательно, и системе в целом, поэтому система несовместна.

Пусть теперь система (6) не содержит уравнений вида (7) или (8). Это значит, что в каждом уравнении системы хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Пусть a₁₁ 0 (в противном случае, применив элементарные преобразования, мы сможем добиться, чтобы первый коэффициент первого уравнения был отличен от нуля). Оставив первое уравнение без изменения, исключим из всех уравнений системы (6), начиная со второго, неизвестную х₁. Для этого из второго уравнения вычтем первое, умноженное на a₂₁/a₁₁, затем из третьего уравнения вычтем также первое, но уже умноженное на a₃₁/a₁₁, и так до последнего уравнения. В результате этих преобразований мы получим равносильную систему

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + … + а_1nх_n = b_1;

а′₂₂х₂ + …+ а′_2nх_n = b′_2;

………………………… (9)

а′_m2х₂ + …+ а′_mnх_n = b′_m

Заметим, что в системе (9) число уравнений может быть и меньше m, так как среди них могут оказаться уравнения вида (7), которые, как мы условились ранее, можно отбросить.

Пусть а₂₂ 0. Применим те же самые рассуждения и исключим из последних п – 2 уравнений системы (9) неизвестную х₂ путем вычитания из третьего уравнения второго, умноженного на a′₃₂/a′_22, из четвертого уравнения — второго, умноженного на a′₃₄/a′₂₂ и т. д. В результате получим систему

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + а₁₃х₃ + …+ а_1nх_n = b_1;

а ′₂₂х₂ + а′₂₃х₃ + …+ а′_2nх_n = b′_2;

а′′₃₃х₃ + …+ а″₃х_n = b″_3;

……………………………

а″_m3х₃ +…+а″_mnх_n = b″_m

_.

Продолжая этот процесс, систему (6) приведем к равносильной системе вида

c₁₁х₁ + c₁₂х₂ + c₁₃х₃ + …+ c_1kх_k + …+ c_1nх_n = d_1;

c₂₂х₂ + c₂₃х₃ + …+ c_2kх_k + …+ c_2nх_n = d_2;

c₃₃х₃ + …+ c_3kх_k + …+ c_3nх_n = d_3; (10)

………………………………………

c_kkх_k + …+c_knх_n = d_k.

в которой коэффициенты c_11, c_22,..., c_kk отличны от нуля.

Может оказаться, что в процессе преобразования на каком-то шаге в полученной системе окажется уравнение вида (8). В этом случае система (7) не имеет решений. Предположим теперь, что среди уравнений полученной системы нет уравнения вида (8). Тогда для решения системы (6) необходимо решить систему (9), что не составляет особого труда. Рассмотрим два возможных случая.

1. k = n (это частный случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных). Тогда последнее уравнение системы (10) имеет вид с_ппх_п = d_n, откуда х_п = d_n /c_nn. Подставив это значение в предпоследнее уравнение системы (7), имеющее вид

c_n-1n-1x_n-1 + c_n-1nx_n= d_n-1, найдем значение неизвестной x_n-1 и т. д.; наконец, из первого уравнения найдем неизвестную x₁ Таким образом, в случае k = п система уравнений (6) имеет единственное решение.

2. k < n. Тогда из последнего уравнения системы (10), найдем неизвестную x_k, выраженную через неизвестные х_k+1, х_k+2,... x_n:

x_k = (d_kk – c_{k k+1}x_k+1 – … – c_knx_n)

Подставив это значение неизвестной в предпоследнее уравнение системы (10), найдем выражение для неизвестной х_k-1,и т. д.; наконец, подставив значения неизвестных х_k, х_k-1,... x₂ в первое уравнение системы (10), получим выражение для неизвестной x₁. В результате указанная система уравнений (6) приводится к виду

x ₁ = d′₁ + c′_{1 k+1}x_k+1 + …+ c′_1nx_n;

x₂ = d′₂ + c′_{2 k+1}x_k+1 + …+ c′_2nx_n; (11)

………………………………………

x_k = d′_k + c′_{k k+1} x_k+1 + …+ c_knx_n.

Неизвестные х_k+1, х_k+2, …, х_п называются свободными. Им можно придать различные значения и затем из системы (6) найти значения неизвестных х_1, х₂, …, х_k. Таким образом, в случае k < п совместная система уравнений (6) имеет бесчисленное множество решений.

Заметим, что если в процессе приведения системы (6) к системе (11) была произведена перенумерация неизвестных, то в системе (11) необходимо вернуться к их первоначальной нумерации.

На практике процесс решения системы уравнений облегчается тем, что указанным выше преобразованиям подвергают не саму систему, а матрицу, составленную из коэффициентов уравнений системы (6) и их свободных членов. При этом каждому элементарному преобразованию, проведенному над системой (6), соответствует преобразование над матрицей (12): вычеркивание строки, все элементы которой состоят из нулей, прибавление к элементам некоторой строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на некоторое число, и перестановка двух столбцов матрицы (12).

Пример 1. Решить методом Гаусса систему уравнений

x₁ – 2x₂ + x₃ + x₄ = –1;

3x₁ + 2x₂ – 3x₃ – 4x₄ = 2;

2x₁ – x₂ + 2x₃ – 3x₄ = 9;

x₁ + 3x₂ – 3x₃ – x₄ = –1.

5. Критерий совместности общей системы линейных уравнений

Как уже было отмечено, под общей системой линейных уравнений мы понимаем систему (2) в которой число неизвестных необязательно совпадает с числом уравнений.

Пусть дана общая система линейных уравнений (2) и требуется установить признак существования решения этой системы, т.е. условия, при которых система (2)является совместной.

Из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (2) составим матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1n

A = a₂₁ a₂₂ … a_2n

……………………

a_m1 a_m2 … a_mn

которую назовем основной матрицей системы (2), и матрицу

a₁₁ a₁₂ … a_1n b₁

B = a₂₁ a₂₂ … a_2n b₂

……………………… …… (13)

a_m1 a_m2 … a_mn b_m

которую назовем расширенной матрицей системы (2).

Теорема 2.1. Для того чтобы система (2) линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система (2) совместна и c₁, c₂,..., с_п – некоторое ее решение. Тогда имеют место равенства:

а₁₁с₁ + а₁₂с₂ + …+ а_1nс_n = b₁;

а₂₁с₁ + а₂₂с₂ + …+ а_2nс_n = b₂;

_. ……………………………………

а_m1с₁ + а_m2с₂ + …+ а_mnс_n = b_m

из которых следует, что последний столбец расширенной матрицы (13) есть линейная комбинация остальных ее столбцов с коэффициентами с₁, с₂,..., с_п. Согласно предложению 2, последний столбец матрицы В может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если ci, c_z,..., с_п — решение системы уравнении (2), то rang А = rang В.

Достаточность. Пусть теперь rang A = rang В. Покажем, что при этом система уравнений (2) совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, и как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, т.е.

b₁ = а₁₁с₁ + а₁₂с₂ + …+ а_1nс_n;

b ₂ = а₂₁с₁ + а₂₂с₂ + …+ а_2nс_n;

_. …………………………………

b_m = а_m1с₁ + а_m2с₂ + …+ а_mnс_n

где c₁, c₂,..., с_п — коэффициенты линейных комбинаций. Таким образом, системе (14) удовлетворяют значения x₁ = c₁,..., х_п = с_п, следовательно, она совместна. Теорема доказана.

Доказанная теорема совместности системы линейных уравнений называется теоремой Кронекера – Капелли.

П ример 1. Рассмотрим систему

5x₁ – x₂ + 2x₃ + x₄ = 7;

2x₁ + x₂ – 4x₃ – 2x₄ = 1;

x₁ – 3x₂ + 6x₃ – 5x₄ = 0.

Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так как существует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, а все миноры третьего порядка равны нулю. Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы. Согласно критерию Кронекера – Капелли система несовместна, т.е. не имеет решений.

Используя критерий Кронекера – Капелли, проведем исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y:

a₁x + b₁y = c₁,

a₂x + b₂y = c₂. (13)

Основная матрица этой системы

a₁ b₁

a₂ b₂

имеет ранг r, причем 0 < r < 2.

Расширенная матрица

a₁ b₁ с₁

a₂ b₂ с₂

имеет ранг R, причем 0 < r < R. Очевидно, что r < R < r+1.

Имеют место следующие утверждения.

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными (13). Тогда:

1. Если r = R = 0, т.е. если все коэффициенты a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c₂ равны нулю, то любая пара действительных чисел является решением системы (13).

2. Если r = 0, R = 1, т.е. a₁ = a₂ = b₁ = b₂ = 0 и c + c ≠ 0, то система (13) не имеет решений.

3. Если r =1, R = 1, то система (13) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел есть её решение.

4. Если r = 1, R = 2, то система (13) не имеет решений.

5. Если r = 2, R = 2, то система (13) имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера.

Справедливы и обратные утверждения.

1. Если система (13) имеет единственное решение, то r = R =2.

2. Если любая пара действительных чисел является решением системы (13), то r = R = 0.

3. Если система (13) не имеет решений, то r ≠ R, т.е. либо r =0 и

R = 1, либо r =1 и R = 2.

4. Если система (13) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел является её решением, то r = R = 1.

Приведём доказательство этих утверждений только в том случае, когда оба уравнения системы (13) являются уравнениями первой степени, т.е. когда выполняются условия a + b ≠ 0, a + b ≠ 0. В этом случае каждое уравнение этой системы в отдельности определяет прямую на плоскости, где задана система координат xOy. Это дает возможность придать геометрический характер дальнейшим рассуждениям при исследовании системы (13)

Теорема 2.2. Пусть две прямые заданы уравнениями

a₁x + b₁y – c₁ = 0,