ср4-Д (Самостоятельная работа 4)

1. (20 баллов) В простейшей модели прогноза погоды дни классифицируются по двум группам: ясный, дождливый. Также предполагается, что погода сегодня будет такой же, как вчера с вероятностью 0<p<1. Предположим, что вероятность того, что 1-го января будет ясный день равна 0<r<1. Обозначим через θ_n – вероятность того, что на n-й будет ясная погода.

1) Найти θ_n.

2) Чему равно θ_n при n→∞? Что означает эта вероятность?

2. (5 баллов) Вы участвуете в игре, в каждом раунде которой можете выиграть игру с вероятностью p, проиграть с вероятностью q и сыграть вничью с вероятностью r (p+q+r=1). Если Вы сыграли вничью, игра переходит к следующему раунду. Чему равна вероятность того, что Вы выиграете?

3. (10 баллов за правильное решение, если правильно решена задача №1) Рассмотрим два множества прямых на плоскости. Каждая прямая из одного множества перпендикулярна каждой прямой из другого множества (т.о. плоскость разбита на прямоугольники). Чему равна вероятность того, что брошенная на плоскость игла пересечет хотя бы одну прямую? Предполагается, что длина иглы L меньше, чем каждая из сторон (А и В) прямоугольников.

4. (10 баллов за правильное решение, если правильно решена задача №1) Вы подбрасываете неправильную монету (решка выпадает с вероятностью p≠0.5). Пусть событие A_n={после n подбрасываний решка выпала четное число раз}. Пусть P{A₀}=1. Найти P{A_n}. Что больше, P{A_n} или 0.5 при p<0.5? Найти P{A_n} при условии, что n неограниченно возрастет.