Вариант (19) - ТР - ОИ

ВАРИАНТ 19

Задание 1-7

Найти изображения и указать, какими теоремами пользовались:

1) 2) 3) 4)

5) 6)

7)

РЕШЕНИЯ

1) Используем формулу для произведения гиперболических функций. Имеем: По таблицам, и . Далее, в силу свойства линейности,

ОТВЕТ: .

2) . По таблице находим cost и sint . Применение теоремы смещения даёт: e^2tsint и, по свойству линейности получаем:

.

ОТВЕТ: .

3) . Преобразуем подынтегральную функцию:

. По таблице находим . Применяя теорему о дифференцировании изображения, получим: . Следовательно, . Так как , то с использованием свойства линейности, получим:

. По теореме интегрирования оригинала операции интегрирования оригинала соответствует деление изображения на p. Таким образом,

.

ОТВЕТ: .

4) По таблице cos7t·η(t) . Согласно теореме запаздывания .

ОТВЕТ: .

5) Данный интеграл есть свёртка оригиналов t⁵ и sin2t. Операции свёртки оригиналов соответствует умножение изображений. По таблице находим: t⁵ и sin2t . Следовательно, .

ОТВЕТ: .

6) Аналитическая запись функции имеет вид:

Применяя функцию Хевисайда, данную функцию можно представить следующим образом: . Очевидно, что начиная с момента t=3 функция становится равной нулю. По таблице и

. Согласно теореме запаздывания , и

. По свойству линейности получим: .

ОТВЕТ: .

7) Разложим функцию по степеням (t-1), пользуясь формулой Тейлора (t₀=1): u(t)=u(t₀)+ Имеем: 2t-6, 2, , u(1)=0. Тогда u(t)=-4(t-1)+(t-1)². Окончательно получаем:

f(t)=u(t)·η(t-1)=[-4(t-1)+(t-1)²]·η(t-1). ). По таблице и . Согласно теореме запаздывания и . Применим свойство линейности: f(t) .

ОТВЕТ: f(t) .

ЗАДАНИЕ 8

Найти оригинал по изображению, используя свойства преобразования Лапласа:

.

РЕШЕНИЕ

Наличие слагаемого (p-1)² в сумме (p-1)²-16, стоящей в знаменателе, говорит о том, что синус имеет смещение, т.е. нужно воспользоваться формулой . Действительно, 2e^tsh4t. По теореме о дифференцировании изображения имеем: -2te^tsh4t.

ОТВЕТ: -2te^tsh4t.

ЗАДАНИЕ 9

Найти оригинал с помощью вычетов:

.

РЕШЕНИЕ

Для отыскания f(t) нужно найти сумму вычетов функции F(p)·e^pt во всех особых точках F(p). Найдём корни знаменателя функции F(p). Из уравнения p(p^2-2p+17)=0 следует, что корнями являются p₁=0, p₂=1-4i, p₃=1+4i. Все корни являются простыми полюсами для функции F(p). Для простого полюса справедливо следующее: если , а p₀ является простым полюсом Ф(р), то вычет можно вычислить по формуле . В данном случае φ(p)=e^pt, ψ(p)= p(p²-2p+17) и . Следовательно, , ,

. Просуммируем все вычеты:

+ + =

. Здесь учтено, что cos(t)=ch(it), а sin(t)=−i·sh(it).

ОТВЕТ: .

ЗАДАНИЕ 10

Найти оригинал, произведя разложение рациональной дроби на элементарные:

.

РЕШЕНИЕ

Разложим функцию на простые дроби. Корнями знаменателя являются p₁=2, p₂=-1, причём корень p₂=-1 имеет кратность 2.

Следовательно, разложение имеет вид: .

Приводя правую часть к общему знаменателю, получим:

Знаменатели в обеих частях равны, следовательно, равны и числители: . Придавая последовательно переменной p значения корней, найдём коэффициенты разложения A и C. Полагая p=2, получим A=-4/9, при p=-1 получим C=4/3. Приравнивая коэффициенты при p² в левой и правой частях равенства, найдём B: A+B=0 или B=-A=4/9. Таким образом,

.

Применяя теорему смещения и свойство линейности, получим:

. Зная оригинал для Ф(p), можно найти оригинал для

Ф(p)e^-4p, опираясь на теорему запаздывания: . Или

ОТВЕТ: .

ЗАДАНИЯ 11, 12

Решить дифференциальные уравнения операционным методом:

11. ; 12. .

РЕШЕНИЯ.

11. . Перейдём в дифференциальном уравнении к изображениям. Если , то , . По таблице –sh2t . Получаем операторное уравнение . Тогда . Применим метод разложения на простые дроби: . Отсюда . Если p=-2, то . Для определения С приравняем коэффициенты при p³: A+B+C=0. Отсюда . Таким образом, . Пользуясь формулой tⁿ и теоремой смещения tⁿe^λt , получим: .

ОТВЕТ: .

12. . Перейдём в дифференциальном уравнении к изображениям. Если , то , . По таблице 12sin2t . Получаем операторное уравнение . Тогда . Применим метод разложения на простые дроби: . Отсюда . Если p=-1, то . Для определения С приравняем коэффициенты при p³: A+B+C=0. Отсюда . Для определения D приравняем коэффициенты при p²:

-2A+B-C+D=0. Отсюда . Таким образом, . Следовательно,

.

ОТВЕТ: .

ЗАДАНИЕ 13

Решить систему уравнений с заданными начальными условиями:

РЕШЕНИЕ

Пусть x(t) X(p), y(t) Y(p). Перейдём к системе операторных уравнений. По теореме о дифференцировании оригинала , , а по таблице и . Получили систему уравнений в изображениях:

Умножим первое уравнение на p-2, а второе – на 3, затем сложим их. Получим: . Тогда . Разложим правую часть на простые множители:

. Приравняем числители: полагая p=0, находим A=-22/15, при p=-1 получим B=1, при p=3 находим C=-1/3, при p=5 находим D=4/5. Таким образом, . Следовательно, . Из первого уравнения ситемы следует, что , т.е. .

ОТВЕТ: .

ЗАДАНИЕ 14

Операторным методом с применением интеграла Дюамеля найти токи в индуктивно связанных цепях (см. схему), вызвынных напряжением u(t). Параметры цепей: Начальные условия

РЕШЕНИЕ

Индуктивно связанные цепи описываются следующей системой уравнений:

В данном случае Пусть u(t) U(p), i₁(t) I₁(p) и i₂(t) I₂(p). Тогда pI₁(p) и pI₂(p). Перейдём к системе операторных уравнений . Заменим функцию u(t) единичной функцией η(t), для которой η(t) , и рассмотрим другую систему , в которой X₁(p) и X₂(p) – изображения некоторых функций x₁(t) и x₂(t). Выразим X₂(p) из второго уравнения и подставим в первое. Получим: . Отсюда . Для обращения функции применим метод разложения дроби на простейшие дроби: . Или . Полагая p=0, находим А=1, полагая p=-1, находим В=-1/2, при p=-3, определяем С=-1/2. Тогда . Следовательно, .

Изображение I₁(p) связано с изображением X₁(p) формулой I₁(p) = pX₁(p)U(p). Применяя формулу Дюамеля и учитывая, что x₁(0)=0, получим: . Поскольку , то при t<1 .

При 1≤t<2 получим:

.

При t≥2

Найдём x₂(t): . Применяя формулу Дюамеля и учитывая, что x₂(0)=0, получим: . Поскольку , то при 0≤t<1

. При 1≤t<2

. При t≥2

ОТВЕТ: при 0≤t<1, при 1≤t<2 и при t≥2.

ЗАДАНИЕ 15

Решить уравнение с переменными коэффициентами:

РЕШЕНИЕ

Перейдём в дифференциальном уравнении к изображениям. Если , то , . Воспользуемся свойством дифференцирования изображения: . В данном случае tx(t) ,

, . Учитывая это, получаем операторное уравнение: . Или . Таким образом, получилось линейное дифференциальное уравнение . Применим метод Бернулли. Если то U и V определяются соответственно уравнениями: . Таким образом, . Подставим это во второе уравнение: . Следовательно, Переходя к оригиналу, получим .

ОТВЕТ: .

ЗАДАНИЕ 16

Решить операционным методом уравнение в частных производных:

РЕШЕНИЕ

Пусть . Тогда . Запишем операторное уравнение:

. Это линейное уравнение первого порядка. Его решение имеет вид: , где C(p,y) – функция, определяемая из уравнения , т.е. . Следовательно, решением уравнения будет . По свойству изображений Лапласа . Это возможно только тогда, когда С₁=0. Таким образом, . Пользуясь таблицами, находим .

ОТВЕТ: .