СОДЕРЖАНИЕ КУРСА “МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ” (II сем. 2013 г.)

для студентов факультета радиотехники, электроники и физики:

210700.62 – Основная образовательная программа (ООП 3-го поколения) – “Инфокоммуникационные технологии и системы связи”, профили: МТС (“Многоканальные телекоммуникационные системы”), СМС (“Системы мобильной связи”), ЦРТ (“Цифровое радиотелевещание”). Группы: РТС9-21,22, РКС10-21,22, РТВ14-21, 22.

На экзамене СТУДЕНТ ДОЛЖЕН показать знания по основным разделам в объеме программы.

СТУДЕНТ ДОЛЖЕН УМЕТЬ:

1) формулируя определения: давать словесную формулировку, записывать с помощью математических символов, иллюстрировать геометрически, проверять, удовлетворяет ли заданный математический объект условиям определения;

2) формулируя и доказывая теоремы: давать словесную формулировку, записывать с помощью символов математической логики, приводить геометрическую иллюстрацию теоретического факта, в структуре теоремы различать условие и заключение, различать в формулировке теоремы необходимые и достаточные условия.

1. интегральное исчисление функции нескольких переменных. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ.

Скалярные и векторные поля. Определения скалярных и векторных полей. Примеры скалярных и векторных полей. Геометрические характеристики скалярных и векторных полей: поверхности и линии уровня, векторные линии. Дифференциальные характеристики скалярного поля: производная по направлению, градиент скалярного поля. Связь производной по направлению и градиента.

Кратные (двойные и тройные) интегралы, криволинейные интегралы первого рода (по длине дуги) и поверхностные интегралы первого рода (по площади поверхности). Интеграл по фигуре (в смысле Лебега). Определения и свойства интегралов по фигуре. Вычисление двойных интегралов, тройных интегралов в декартовых координатах, криволинейных интегралов первого рода и поверхностных интегралов первого рода. Криволинейные координаты. Якобиан отображения. Замена переменных в двойном и тройном интегралах: двойной интеграл в полярных и обобщенных (эллиптических) координатах, тройной интеграл к цилиндрических и сферических координатах. Приложения кратных, криволинейных (первого рода) и поверхностных (первого рода) интегралов к вычислению площадей, объемов, длин дуг и к решению задач механики и физики.

Криволинейные интегралы второго рода: определение, их основные свойства и вычисление. Геометрические и механические приложения. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Формула Грина. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Восстановление функции по ее полному дифференциалу. Ориентированные поверхности. Поверхностные интегралы второго рода, их свойства и вычисление. Связь поверхностных интегралов 1-го и 2-го рода. Формула Стокса: связь криволинейного интеграла второго рода по замкнутому контуру с поверхностным интегралом по поверхности, натянутой на контур. Формула Гаусса-Остроградского: связь поверхностного интеграла второго рода по замкнутой поверхности с тройным интегралом по объему внутри этой поверхности.

Элементы теории векторного поля. Дифференциальные (дивергенция и ротор (вихрь векторного поля)) и интегральные (поток через поверхность, работа и циркуляция (работа по замкнутому контуру)) характеристики векторного поля, их физический смысл, свойства и вычисление. Формулы Гаусса-Остроградского и Стокса. Условие независимости криволинейного интеграла в пространстве от пути интегрирования. Потенциальные, соленоидальные и гармонические поля. Дифференциальные характеристики 1-го и 2-го рода в операторном виде с помощью операторов Гамильтона (набла) и Лапласа (дельта).

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы

дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка. Изоклины. Построение интегральных кривых по изоклинам. Интегрируемые типы дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения и приводящиеся к однородным, линейные и приводящиеся к линейным (уравнение Бернулли) уравнения, уравнения в полных дифференциалах. Понятие об особых решениях дифференциальных уравнений первого порядка.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. Геометрическая интерпретация. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Однородные уравнения. Свойства решений. Линейно независимые решения. Определитель Вронского и его свойства. Структура общего решения линейного однородного уравнения. Неоднородные линейные уравнения: свойства решений, структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Построение общего решения по корням характеристического уравнения. Неоднородные уравнения с правой частью специального вида и неспециального вида.

Системы дифференциальных уравнений первого порядка. Векторно-матричная запись нормальной системы. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Решение нормальной системы методом исключения. Нормальные системы линейных дифференциальных уравнений. Свойства решений. Структура общего решения. Нормальные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Однородные системы. Построение общего решения по корням характеристического уравнения.

Дифференциальные уравнения колебательного процесса. Модели колебательных процессов без трения (собственные колебания). Действие внешней гармонической силы на систему без трения. Идеальный резонанс. Колебания в динамической системе с трением (сопротивлением): собственные затухающие колебания. Действие внешней гармонической силы на динамическую систему с трением (вынужденные колебания). Реальный резонанс в колебательной системе с трением (сопротивлением).

III. числовые и функциональные ряды.

Числовые ряды. Сумма числового ряда. Критерий Коши. Необходимое условие сходимости. Свойства сходящихся рядов. Действия с рядами. Ряды с положительными членами. Сравнение рядов. Признаки сходимости Даламбера и Коши. Интегральный признак. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости ряда. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда.

Поточечная и равномерная сходимости. Признак Вейерштрасса. Функциональные свойства равномерно сходящегося ряда.

Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенной ряд функций e^x, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)^. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям.

Самостоятельная работа студента:

1. Типовые расчеты (2 по учебному плану) с защитами, включающими теоретические вопросы:

№1. Интегральное исчисление функции нескольких переменных. Теория поля.

№ 2. Дифференциальные уравнения.

2. Контрольные работы (2 по учебному плану):

• двойные и тройные интегралы и их приложения;

• числовые и функциональные ряды.

3. Индивидуальные домашние работы:

- подбор аналитической зависимости для опытных данных по методу наименьших квадратов

(приложение дифференциального исчисления функции нескольких переменных);

- числовые и функциональные ряды.

4. Самостоятельные аудиторные работы: (регламентируются лектором по срокам и времени):

- исследование функций нескольких переменных на экстремум, условный экстремум (метод

Лагранжа), исследование ФНП на наибольшее (наименьшее) значение в области;

• двойные интегралы в ДСК и ПСК (расстановка пределов интегрирования для заданной области, изменение порядка интегрирования, переход от ДСК к ПСК);

• типы дифференциальных уравнений 1-го порядка и методы их решения;

• неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и правыми частями специального вида.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ДЛЯ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

Учебники и учебные пособия

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1984.- 432 с.

2. Мантуров О.В. и др. Курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1986. – Ч. 1-3.

Изложение в учебнике ведется на двух уровнях – основном и повышенном.

Большое внимание уделено разбору решения примеров и задач.

1. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа.– М.: Наука, 1989.- 734 с.

2. Шестаков А.А., Малышева И.А., Полозков Д.П. Курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1987. - 320 с.

3. Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.: Наука, 1983.-126c.

4. Кальницкий Л.А. и др. Специальный курс высшей математики для втузов.-М.: Высшая школа, 1976.- 389 с.

5. Краснов М.Л. и др. Векторный анализ.- М.: Наука, 1978.- 160 c.

6. Письменный Т.Д. Конспект лекций по высшей математике. Ч. 2. – М.: АЙРИС ПРЕСС, 2006. – 252с.

Сборники задач, в том числе с образцами решений

1. Берман Т.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1998.-416 с.

2. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 1-3. / Под ред. Ефимова А.В., Демидовича Б.П. – М.: Наука, 1986.- 460 с.

3. Данко П.И., Попов А.Т., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Наука, 1996. – Ч. 1-3.

Справочная литература

1. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. – М.: Наука, 1986.- 789 с.

2. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике.– М.: Наука, 1981.-870 с.

3. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы.- М.: Наука, 1986.-224 с.

Рейтинг допуска к экзамену рассчитывается по формуле похожести результатов студента по всем видам контроля на эталон , где Р- “похожесть”, - количество измерений, - эталонные значения измеряемого признака, - фактические значения измеряемого признака, полученные студентом. Пересчет рейтинга .

@ кафедра высшей математики (I-422)

Гулюкина Нина Александровна