СР №2 - Дифференциальные уравнения

СР2 содержит 10 заданий (дифференциальных уравнений). Требуется определить тип дифференциального уравнения и метод его решения. Время выполнения – 30 минут.

Дифференциальные уравнения

1. Основные понятия и определения

2. Общее и частное решения дифференциального уравнения

3. Дифференциальные уравнения первого порядка

4. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида

f (x,y,y΄)=0

Общее решение: у = у(х,с), где с – const (геометрически, это семейство первообразных).

Частное решение (задача Коши) – это решение при вычисленной сonst (с) по заданным начальным условиям: у(х₀) = у₀ (геометрически, это единственная кривая семейства первообразных, проходящая через заданную точку).

П ример 1. Найти общее решения дифференциального уравнения: у΄ = 1 и частное при начальных условиях: у(1) = 2.

Запишем у΄ = и подставим в уравнение: или dy = dx . Этот

прием называется “разделить переменные”. Далее интегрируем

и имеем – общее решение:

Геометрически это – семейство прямых, смещенных по оси оу на const (с). Так как у(1) = 2, то есть х₀ = 1, у₀ = 2, то, подставив их в общее решение: 2 = 1 + с, находим с = 1. Частное решение данного уравнения имеет вид: у_ч.р = х + 1. Геометрически это обозначает, что из семейства первообразных выбрана единственная прямая, проходящая через точку А с координатами А(1; 2)

Порядок уравнения определяется порядком старшей производной, присутствующей в уравнении:

f (x,y,y΄,у˝) = 0 – уравнение 2-го порядка;

f (x,y,y΄,у˝, у΄΄΄ ) = 0 – уравнение 3-го порядка;

f (x, у΄΄΄ ) = 0 или y˝΄(x) = f(x) – уравнения 3-го порядка, заданные соответственно неявно или явно;

f (x,y,y΄,у˝,……, у⁽ⁿ⁾ ) или y⁽ⁿ⁾(x) = f(x) – уравнения n-го порядка.

Общее решение уравнения n-го порядка:

у = у(х; с₁; с₂;……,с_n), где с_i (i  [1, n]) – неопределенные константы.

Частное решение (задача Коши) для уравнения n-го порядка – это решение при вычисленных сonst (с_i) по заданным начальным условиям, количество которых равно порядку уравнения:

у(х₀) = у₀; у΄(х₀) = у΄₀; у˝(х₀) = у˝₀;……, у^(n-1)(х₀) = .

Дифференциальные уравнения первого порядка

Типы дифференциальных уравнений и методы их решения сведем в таблицу.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения: у΄ = x(y² + 1).

Запишем и подставим в уравнение: . Данное уравнение с разделяющимися переменными, так как справа произведение функций, каждая из которых зависит от одной переменной х или у. Разделим переменные: и проинтегрируем: . Оба интеграла табличные, записываем первообразные (const достаточно записать один раз): .

Общее решение, записанное в неявном виде, как в данном случае, называют общим интегралом дифференциального уравнения. Разрешим уравнение относительно у и получим общее решение уравнения: .

Однородные уравнения: или в правой части уравнения имеют однородную функцию.

Функция y = f(x, y) называется однородной функцией n-го измерения, если f(tx,t y) = tⁿ f(x, y).

Пример 3. Проверить, являются ли функции: 1) f(x, y) = x³ +3xy², 2) однородными. Если функция однородная, то какого измерения.

Вычислим функции в f(tx,t y).

1) Так как f(tx ,ty) = t³ x³ + 3tx t² y² = t³(x³+3xy²), то функция является однородной 3-го измерения.

2) Функция однородная нулевого измерения, так как n=0.

Свойства однородных функций:

• сумма однородных функций, одного измерения – однородная функция того же измерения;

• произведение однородных функций – однородная функция, измерение которой равно сумме измерений, перемножаемых функций;

• частное однородных функций – однородная функция, измерение которой равно разности измерений делимого и делителя.

Покажем, что однородное дифференциальное уравнение подстановкой у = Р(х)х сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Положим , тогда для f(t x, t y) = f(x, y) будем иметь - однородную функцию.

Введем неизвестную функцию Р(х) и будем искать решение однородного уравнения в виде у = Р(х)х, где . Подставим данную функцию и ее производную: у^΄ = Р΄(х)х + Р(х) в уравнение, опустив аргумент функции Р(х), : – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем - это общий интеграл дифференциального уравнения. Вычислим интегралы: ln(x) = Ф(Р) + с и заменим : ln(x) = Ф( ) + с – решение дифференциального уравнения в неявном виде.

Пример 4. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

1) ; 2) .

1) Функция в правой части уравнения – однородная. Подстановка: . Уравнение после подстановки становится уравнением с разделяющимися переменными. Делим переменные и интегрируем: . В найденном решении const подставлена под знаком логарифма для удобства дальнейших преобразований, что можно сделать только на первом этапе нахождения первообразных. Тогда преобразуем полученный результат, используя свойства логарифмов: и получаем общее решение.

2) Функция является однородной 0-го измерения, так как , поэтому данное уравнение – однородное. Сведем его к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой: и получим: - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем: . Вычисляем неопределенные интегралы: , заметив, что . Первый интеграл в правой части вычисляем как интеграл от степенной функции, во втором вынесем знак “–“ и получим табличный интеграл. Решение уравнения в неявном виде имеет вид: , где . Подставим значение Р в полученное решение: . Общее решение дифференциального уравнения: .

Заметим, что для успешного решения дифференциального уравнения, необходимо верно определить тип уравнения, что бы правильно выбрать подстановку, всякий раз приводящую его к уравнению с разделяющимися переменными, и достаточно хорошо уметь вычислять неопределенные интегралы: пользоваться таблицей (приведенной в материалах первого семестра) и знать методы интегрирования.

Линейные дифференциальные уравнения.

Вид линейного дифференциального уравнения: у΄ + f (x) у = φ(х), если f(x) непрерывная функция, а φ(х) ≠ 0. При φ(х) = 0 уравнение становится уравнением с разделяющимися переменными.

Общее решение линейного дифференциального уравнения можно найти двумя методами:

• методом подстановки (метод Бернулли);

• методом вариации произвольного постоянного (метод Лагранжа).

Метод Бернулли (метод подстановки) состоит в том, что решение уравнения ищется в виде произведения двух вспомогательных функций: у(х) = U(x)V(x), где U(x)) ≠ 0 и V(x) ≠ 0. Тогда в уравнение необходимо подставить функцию у(х) и её производную: y΄(x) = U΄(x)V(x) + U(x)V΄(x). После подстановки получим уравнение U΄(x)V(x) + U(x)V΄(x) + f (x) U(x)V(x) = φ(х), которое можно сгруппировать 1) U΄(x)V(x) + U(x)(V΄(x) + f (x)V(x)) = φ(х) или