Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » Документы » СР №2 - Дифференциальные уравнения

СР №2 - Дифференциальные уравнения

2021-08-17СтудИзба

Описание файла

Документ из архива "СР №2 - Дифференциальные уравнения", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГТУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГТУ, его также можно найти и в других разделах. .

Онлайн просмотр документа "СР №2 - Дифференциальные уравнения"

Текст из документа "СР №2 - Дифференциальные уравнения"

СР2 содержит 10 заданий (дифференциальных уравнений). Требуется определить тип дифференциального уравнения и метод его решения. Время выполнения – 30 минут.

Дифференциальные уравнения

  1. Основные понятия и определения

  2. Общее и частное решения дифференциального уравнения

  3. Дифференциальные уравнения первого порядка

  4. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида

f (x,y,y΄)=0

Общее решение: у = у(х,с), где с – const (геометрически, это семейство первообразных).

Частное решение (задача Коши) – это решение при вычисленной сonst (с) по заданным начальным условиям: у(х0) = у0 (геометрически, это единственная кривая семейства первообразных, проходящая через заданную точку).

П ример 1. Найти общее решения дифференциального уравнения: у΄ = 1 и частное при начальных условиях: у(1) = 2.

Запишем у΄ = и подставим в уравнение: или dy = dx . Этот


прием называется “разделить переменные”. Далее интегрируем


и имеем – общее решение:

Геометрически это – семейство прямых, смещенных по оси оу на const (с). Так как у(1) = 2, то есть х0 = 1, у0 = 2, то, подставив их в общее решение: 2 = 1 + с, находим с = 1. Частное решение данного уравнения имеет вид: уч.р = х + 1. Геометрически это обозначает, что из семейства первообразных выбрана единственная прямая, проходящая через точку А с координатами А(1; 2)


Порядок уравнения определяется порядком старшей производной, присутствующей в уравнении:

f (x,y,y΄,у˝) = 0 – уравнение 2-го порядка;

f (x,y,y΄,у˝, у΄΄΄ ) = 0 – уравнение 3-го порядка;

f (x, у΄΄΄ ) = 0 или y˝΄(x) = f(x) – уравнения 3-го порядка, заданные соответственно неявно или явно;

f (x,y,y΄,у˝,……, у(n) ) или y(n)(x) = f(x) – уравнения n-го порядка.

Общее решение уравнения n-го порядка:

у = у(х; с1; с2;……,сn), где сi (i [1, n]) – неопределенные константы.

Частное решение (задача Коши) для уравнения n-го порядка – это решение при вычисленных сonst (сi) по заданным начальным условиям, количество которых равно порядку уравнения:

у(х0) = у0; у΄(х0) = у΄0; у˝(х0) = у˝0;……, у(n-1)0) = .

Дифференциальные уравнения первого порядка

Типы дифференциальных уравнений и методы их решения сведем в таблицу.

Название

Вид уравнения

Метод решения

С разделяющимися переменными


у΄= f (x) g (у)=

f (x) g (у)dx = dy

Проинтегрировать, разделив


переменные f(x)dx =

Однородные

у΄= f (x,у) или


у΄=

Подстановка у = Р(х)х и ее производная у΄ = Р΄х + Р приведут к уравнению с разделяющимися переменными

Уравнения, сводящиеся к однородным

Если , то подстановка приведёт к однородному уравнению: .

Если , то подстановка приведёт к уравнению с разделяющимися переменными.

Линейные

у΄ + f (x) у = φ(х)

Иногда удается найти решение х = х(у,с), если его можно представить:

х΄ + f (у) х = φ(у)

Подстановка уоб.р = u(x)v(x) и ее производная у΄ = u΄v + v΄u приведут к двум уравнениям с разделяющимися переменными, при решении которых будут найдены обе вспомогательные функции: u(x) ≠ 0 и v(x) ≠ 0.

хоб.р = u(у)v(у)

Бернулли (частный случай линейного уравнения)

у΄ + f (x) у = φ(х)уm

Подстановка у = u(x)v(x) и ее производная у΄ = u΄v + v΄u приведет к 2 уравнениям с разделяющимися переменными.

А подстановка приведет к линейному уравнению.

В полных дифференциалах

Р(x,y)dx + Q(x,y)dy =0,


Если

Если

Р(x,y)dx + Q(x,ydy) = dU и из dU=0 находят решение

U(x,y) = c (сconst).

Можно подобрать интегрирующий множитель

или

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения: у΄ = x(y2 + 1).

Запишем и подставим в уравнение: . Данное уравнение с разделяющимися переменными, так как справа произведение функций, каждая из которых зависит от одной переменной х или у. Разделим переменные: и проинтегрируем: . Оба интеграла табличные, записываем первообразные (const достаточно записать один раз): .

Общее решение, записанное в неявном виде, как в данном случае, называют общим интегралом дифференциального уравнения. Разрешим уравнение относительно у и получим общее решение уравнения: .

Однородные уравнения: или в правой части уравнения имеют однородную функцию.

Функция y = f(x, y) называется однородной функцией n-го измерения, если f(tx,t y) = tn f(x, y).

Пример 3. Проверить, являются ли функции: 1) f(x, y) = x3 +3xy2, 2) однородными. Если функция однородная, то какого измерения.

Вычислим функции в f(tx,t y).

1) Так как f(tx ,ty) = t3 x3 + 3tx t2 y2 = t3(x3+3xy2), то функция является однородной 3-го измерения.

2) Функция однородная нулевого измерения, так как n=0.

Свойства однородных функций:

  • сумма однородных функций, одного измерения – однородная функция того же измерения;

  • произведение однородных функций – однородная функция, измерение которой равно сумме измерений, перемножаемых функций;

  • частное однородных функций – однородная функция, измерение которой равно разности измерений делимого и делителя.

Покажем, что однородное дифференциальное уравнение подстановкой у = Р(х)х сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Положим , тогда для f(t x, t y) = f(x, y) будем иметь - однородную функцию.

Введем неизвестную функцию Р(х) и будем искать решение однородного уравнения в виде у = Р(х)х, где . Подставим данную функцию и ее производную: у΄ = Р΄(х)х + Р(х) в уравнение, опустив аргумент функции Р(х), : – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем - это общий интеграл дифференциального уравнения. Вычислим интегралы: ln(x) = Ф(Р) + с и заменим : ln(x) = Ф( ) + с – решение дифференциального уравнения в неявном виде.

Пример 4. Найти общие решения дифференциальных уравнений:

1) ; 2) .

1) Функция в правой части уравнения – однородная. Подстановка: . Уравнение после подстановки становится уравнением с разделяющимися переменными. Делим переменные и интегрируем: . В найденном решении const подставлена под знаком логарифма для удобства дальнейших преобразований, что можно сделать только на первом этапе нахождения первообразных. Тогда преобразуем полученный результат, используя свойства логарифмов: и получаем общее решение.

2) Функция является однородной 0-го измерения, так как , поэтому данное уравнение – однородное. Сведем его к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой: и получим: - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем: . Вычисляем неопределенные интегралы: , заметив, что . Первый интеграл в правой части вычисляем как интеграл от степенной функции, во втором вынесем знак “–“ и получим табличный интеграл. Решение уравнения в неявном виде имеет вид: , где . Подставим значение Р в полученное решение: . Общее решение дифференциального уравнения: .

Заметим, что для успешного решения дифференциального уравнения, необходимо верно определить тип уравнения, что бы правильно выбрать подстановку, всякий раз приводящую его к уравнению с разделяющимися переменными, и достаточно хорошо уметь вычислять неопределенные интегралы: пользоваться таблицей (приведенной в материалах первого семестра) и знать методы интегрирования.

Линейные дифференциальные уравнения.

Вид линейного дифференциального уравнения: у΄ + f (x) у = φ(х), если f(x) непрерывная функция, а φ(х) 0. При φ(х) = 0 уравнение становится уравнением с разделяющимися переменными.

Общее решение линейного дифференциального уравнения можно найти двумя методами:

  • методом подстановки (метод Бернулли);

  • методом вариации произвольного постоянного (метод Лагранжа).

Метод Бернулли (метод подстановки) состоит в том, что решение уравнения ищется в виде произведения двух вспомогательных функций: у(х) = U(x)V(x), где U(x)) 0 и V(x)0. Тогда в уравнение необходимо подставить функцию у(х) и её производную: (x) = (x)V(x) + U(x)(x). После подстановки получим уравнение (x)V(x) + U(x)(x) + f (x) U(x)V(x) = φ(х), которое можно сгруппировать 1) (x)V(x) + U(x)((x) + f (x)V(x)) = φ(х) или

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5288
Авторов
на СтудИзбе
417
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее