СР №2 - Дифференциальные уравнения
Описание файла
Документ из архива "СР №2 - Дифференциальные уравнения", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве НГТУ. Не смотря на прямую связь этого архива с НГТУ, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "СР №2 - Дифференциальные уравнения"
Текст из документа "СР №2 - Дифференциальные уравнения"
СР2 содержит 10 заданий (дифференциальных уравнений). Требуется определить тип дифференциального уравнения и метод его решения. Время выполнения – 30 минут.
Дифференциальные уравнения
-
Основные понятия и определения
-
Общее и частное решения дифференциального уравнения
-
Дифференциальные уравнения первого порядка
-
Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижения порядка
Дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида
f (x,y,y΄)=0
Общее решение: у = у(х,с), где с – const (геометрически, это семейство первообразных).
Частное решение (задача Коши) – это решение при вычисленной сonst (с) по заданным начальным условиям: у(х0) = у0 (геометрически, это единственная кривая семейства первообразных, проходящая через заданную точку).
П ример 1. Найти общее решения дифференциального уравнения: у΄ = 1 и частное при начальных условиях: у(1) = 2.
Запишем у΄ = и подставим в уравнение: или dy = dx . Этот
прием называется “разделить переменные”. Далее интегрируем
и имеем – общее решение:
Геометрически это – семейство прямых, смещенных по оси оу на const (с). Так как у(1) = 2, то есть х0 = 1, у0 = 2, то, подставив их в общее решение: 2 = 1 + с, находим с = 1. Частное решение данного уравнения имеет вид: уч.р = х + 1. Геометрически это обозначает, что из семейства первообразных выбрана единственная прямая, проходящая через точку А с координатами А(1; 2)
Порядок уравнения определяется порядком старшей производной, присутствующей в уравнении:
f (x,y,y΄,у˝) = 0 – уравнение 2-го порядка;
f (x,y,y΄,у˝, у΄΄΄ ) = 0 – уравнение 3-го порядка;
f (x, у΄΄΄ ) = 0 или y˝΄(x) = f(x) – уравнения 3-го порядка, заданные соответственно неявно или явно;
f (x,y,y΄,у˝,……, у(n) ) или y(n)(x) = f(x) – уравнения n-го порядка.
Общее решение уравнения n-го порядка:
у = у(х; с1; с2;……,сn), где сi (i [1, n]) – неопределенные константы.
Частное решение (задача Коши) для уравнения n-го порядка – это решение при вычисленных сonst (сi) по заданным начальным условиям, количество которых равно порядку уравнения:
у(х0) = у0; у΄(х0) = у΄0; у˝(х0) = у˝0;……, у(n-1)(х0) = .
Дифференциальные уравнения первого порядка
Типы дифференциальных уравнений и методы их решения сведем в таблицу.
Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения: у΄ = x(y2 + 1).
Запишем и подставим в уравнение: . Данное уравнение с разделяющимися переменными, так как справа произведение функций, каждая из которых зависит от одной переменной х или у. Разделим переменные: и проинтегрируем: . Оба интеграла табличные, записываем первообразные (const достаточно записать один раз): .
Общее решение, записанное в неявном виде, как в данном случае, называют общим интегралом дифференциального уравнения. Разрешим уравнение относительно у и получим общее решение уравнения: .
Однородные уравнения: или в правой части уравнения имеют однородную функцию.
Функция y = f(x, y) называется однородной функцией n-го измерения, если f(tx,t y) = tn f(x, y).
Пример 3. Проверить, являются ли функции: 1) f(x, y) = x3 +3xy2, 2) однородными. Если функция однородная, то какого измерения.
Вычислим функции в f(tx,t y).
1) Так как f(tx ,ty) = t3 x3 + 3tx t2 y2 = t3(x3+3xy2), то функция является однородной 3-го измерения.
2) Функция однородная нулевого измерения, так как n=0.
Свойства однородных функций:
-
сумма однородных функций, одного измерения – однородная функция того же измерения;
-
произведение однородных функций – однородная функция, измерение которой равно сумме измерений, перемножаемых функций;
-
частное однородных функций – однородная функция, измерение которой равно разности измерений делимого и делителя.
Покажем, что однородное дифференциальное уравнение подстановкой у = Р(х)х сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Положим , тогда для f(t x, t y) = f(x, y) будем иметь - однородную функцию.
Введем неизвестную функцию Р(х) и будем искать решение однородного уравнения в виде у = Р(х)х, где . Подставим данную функцию и ее производную: у΄ = Р΄(х)х + Р(х) в уравнение, опустив аргумент функции Р(х), : – уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем - это общий интеграл дифференциального уравнения. Вычислим интегралы: ln(x) = Ф(Р) + с и заменим : ln(x) = Ф( ) + с – решение дифференциального уравнения в неявном виде.
Пример 4. Найти общие решения дифференциальных уравнений:
1) Функция в правой части уравнения – однородная. Подстановка: . Уравнение после подстановки становится уравнением с разделяющимися переменными. Делим переменные и интегрируем: . В найденном решении const подставлена под знаком логарифма для удобства дальнейших преобразований, что можно сделать только на первом этапе нахождения первообразных. Тогда преобразуем полученный результат, используя свойства логарифмов: и получаем общее решение.
2) Функция является однородной 0-го измерения, так как , поэтому данное уравнение – однородное. Сведем его к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой: и получим: - уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные и проинтегрируем: . Вычисляем неопределенные интегралы: , заметив, что . Первый интеграл в правой части вычисляем как интеграл от степенной функции, во втором вынесем знак “–“ и получим табличный интеграл. Решение уравнения в неявном виде имеет вид: , где . Подставим значение Р в полученное решение: . Общее решение дифференциального уравнения: .
Заметим, что для успешного решения дифференциального уравнения, необходимо верно определить тип уравнения, что бы правильно выбрать подстановку, всякий раз приводящую его к уравнению с разделяющимися переменными, и достаточно хорошо уметь вычислять неопределенные интегралы: пользоваться таблицей (приведенной в материалах первого семестра) и знать методы интегрирования.
Линейные дифференциальные уравнения.
Вид линейного дифференциального уравнения: у΄ + f (x) у = φ(х), если f(x) непрерывная функция, а φ(х) ≠ 0. При φ(х) = 0 уравнение становится уравнением с разделяющимися переменными.
Общее решение линейного дифференциального уравнения можно найти двумя методами:
-
методом подстановки (метод Бернулли);
-
методом вариации произвольного постоянного (метод Лагранжа).
Метод Бернулли (метод подстановки) состоит в том, что решение уравнения ищется в виде произведения двух вспомогательных функций: у(х) = U(x)V(x), где U(x)) ≠ 0 и V(x) ≠ 0. Тогда в уравнение необходимо подставить функцию у(х) и её производную: y΄(x) = U΄(x)V(x) + U(x)V΄(x). После подстановки получим уравнение U΄(x)V(x) + U(x)V΄(x) + f (x) U(x)V(x) = φ(х), которое можно сгруппировать 1) U΄(x)V(x) + U(x)(V΄(x) + f (x)V(x)) = φ(х) или