КР №1 - Интегралы

Контрольная работа 1.

Контрольная работа является итоговой по практическим навыкам вычисления интегралов по фигуре и соответственно мере фигуры: двойных в декартовой, полярной и обобщенной системах координат; тройных в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат; криволинейных I рода на плоскости и в пространстве для линий, заданных параметрически, в декартовой или полярной системах координат; поверхностных I рода.

Контрольная работа содержит пять заданий практического характера.

Вариант контрольной работы с ответами и рекомендациями при подготовке к ней.

1. Вычислить в ДСК: (Ответ: 4.)

2. Вычислить в ПСК: .

3. Вычислить объём тела, ограниченного заданными поверхностями:

.

4. Найти площадь части поверхности S, проектирующейся на область D.

S: y = x² – z²; (Ответ:

5. Найти заряд кривой L, если плотность заряда в каждой её точке равна модулю ординаты этой точки.

Рекомендации при подготовке к контрольной работе.

Решите предложенный контрольный вариант:

• в задаче 1 для более простых вычислений важен порядок интегрирования;

• для правильной расстановки пределов интегрирования необходимо

геометрическое представление объекта интегрирования;

• по всем предложенным задачам будет проведено консультативное занятие на

лекции.

PS: КР планируется на 7 (контрольной) неделе на практическом занятии.

Некоторые напоминания при вычислении интегралов по фигуре (по мере фигуры) с примерами.

Вычисление двойных интегралов.

• Если область интегрирования D ограничена слева прямой x = a,

справа прямой x = b, снизу функцией y = φ(х),

сверху непрерывной функцией y = ψ(х), то

• Если область интегрирования D ограничена снизу прямой y = c,

сверху прямой y = d, слева непрерывной функцией

x = x₁(х), справа непрерывной функцией x = x₂(х), то

.

Правые части приведенных формул называются двукратными (повторными) интегралами. Внешний интеграл всегда имеет переменными интегрирования константы, внутренний – в общем случае функции. Двойной интеграл вычисляется последовательным вычислением определенных интегралов от внутреннего интеграла к внешнему. Все табличные формулы интегрирования и методы вычисления неопределенных интегралов применимы для вычисления кратных интегралов (нахождение первообразных) с последующим применением формулы Ньютона-Лейбница.

Рекомендации по вычислению кратных интегралов.

1. Необходимо изобразить область интегрирования.

2. У внешнего интеграла пределы всегда постоянные.

3. Вычисляя внутренний интеграл по переменной у (или х), переменную х (или у) считаем const.

4. Можно поменять порядок интегрирования: внешний вычислять по у, а внутренний – по х. Пределы интегрирования в этом случае меняются не формально, а из уравнений линий, ограничивающих заданную область.

5. Если области ограничены окружностями, то вычисления проще выполнять в полярной системе координат.

6. Все табличные формулы для неопределенного интеграла применимы для вычисления кратных интегралов.

П ример 1. Вычислить двойной интеграл от функции по области

D : треугольник с вершинами в точках А(0;0), В(5;0), С(5;5).

Область ограничена прямыми: прямой АС (у = х),

прямой х = 5 (0 ≤ у ≤ х) и осью ОХ (у = 0; 0 ≤ х ≤ 5).

Вычислим двойной интеграл по треугольной области АВС (заштрихована), выбрав следующий порядок интегрирования: во внешнем интеграле по х, во внутреннем – по у.

.

Поменяем порядок интегрирования: во внешнем интеграле по у, во внутреннем – по х. Тогда 0 ≤ у ≤ 5, а у ≤ х ≤ 5.

От порядка интегрирования зависит трудоемкость вычислений.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл по области D: треугольник с вершинами в точках

А(-2;0), В(2;-4), С(2;1).

Область ограничена прямыми: прямыми АС (её уравнение у = ), АВ (её уравнение у =- х - 2),

ВС(её уравнение х = 2).

Вычислим двойной интеграл по треугольной области Δ_АВС, выбрав следующий порядок интегрирования: во внешнем интеграле по х, во внутреннем – по у. Это рациональное решение.

Вычислим двойной интеграл по треугольной области Δ_АВС, выбрав другой порядок интегрирования: во внешнем интеграле по y, во внутреннем – по x. Это не рациональное решение, так как область интегрирования D необходимо разбить на две области: D₁ – Δ_АВД и D₂ –Δ_АСД.

Для области D₁: – 4 ≤ y ≤ 0, а x меняется от прямой АВ до прямой ВД, то есть – (-y – 2) ≤ х ≤ 2.

Для области D₂: 0 ≤ y ≤ 1, а x меняется от прямой АC до прямой ВД, то есть – 4y - 2 ≤ х ≤ 2.

Отметим, что уравнения прямых АВ: у =- х – 2, АС: у = , ВС: х = 2 в этом случае разрешены относительно переменной у (х = f(y)).

Получим уравнения прямых АВ: х = –у – 2, АС: х = 4у – 2, ВС: х = 2

= + =

{ отметим, что в отличие от первого варианта решения, здесь нужно вычислить два двойных интеграла} = ☺ Ответ тот же? Проверьте!

При переходе от прямоугольных декартовых координат (x,y) к полярным координатам (ρ,φ), связанным соотношениями , происходит преобразование двойного интеграла по следующей формуле: , где – якобиан преобразования . Если область интегрирования D ограничена двумя лучами φ = α и φ = β, выходящими из полюса, и двумя кривыми, заданными функциями ρ = ρ₁(φ) и ρ =ρ₂(φ), то двойной интеграл вычисляется по формуле (полюс совмещен с О, полярная ось с Ох): .

Пример 3. Вычислить двойной интеграл по области D, заданной неравенствами: х² + у² ≤ -4х и у ≤ -х.

Решение. Построим область интегрирования.

Линия, заданная уравнением х² + у² = -4х, окружность (х + 2)² + у² = 4 радиуса R = 2 c центром в (-2,0).

Линия, заданная уравнением у = -х, прямая, проходящая через II и IV четверти.

Область интегрирования, соответствующая неравенствам, заштрихована на рисунке.

Перейдем к полярным координатам: ≤ φ ≤ , полярный радиус меняется от 0 до окружности. Запишем уравнение окружности в полярной системе координат: . Тогда 0 ≤ .

Подынтегральную функцию так же запишем в полярной системе координат .

Далее можем провести вычисления:

.

Заметим, что двойной интеграл является обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных.

Вычисление тройных интегралов.

Тройной интеграл является обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных.

Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла.

Пусть в замкнутой области V Oxyz (в пространстве R⁽³⁾) задана непрерывная функция u = f(x,y,z).

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.

Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов от внутреннего к внешнему, у которого пределы интегрирования всегда должны быть постоянными (const).

Пусть область интегрирования V – тело, ограниченное

cнизу поверхностью z= (x,y),

сверху поверхностью z = H(x,y), то есть h(x,y) ≤ H(x,y), h(x,y) и H(x,y) – непрерывные функции, проектирующиеся в область D хоу,

боковая поверхность – цилиндрическая, образующие которой параллельны оси oz, а направляющей является граница области D хоу.

Тогда для любой непрерывной в области V функции f(x,y,z):

.

Если область интегрирования D хоу ограничена слева прямой x = a, справа прямой x = b, снизу функцией y = φ(х), сверху непрерывной функцией y = ψ(х), то .

Если область интегрирования D ограничена снизу прямой y = c, сверху прямой y = d, слева непрерывной функцией x = x₁(х), справа непрерывной функцией x = x₂(х), то .

Некоторые приложения тройного интеграла.

1. Если в каждой точке области V плотность тела μ(x,y,z)>0, то - масса тела.

2. Если в области V f(x,y,z) = 1, то - объем тела.

Пример 4. Вычислить тройной интеграл по области V, ограниченной плоскостями: x + y + z = 2, z = 1, x = 0, y = 0, z = 0.

Р ешение. Изобразим тело – это пирамида АВСД. Плотность тела в каждой точке – переменная величина, пропорциональная х. Изобразим бласть D xoy – это треугольник. Замечание. Изображать тело бывает достаточно трудно, поэтому достаточно изобразить его проекцию.

Вычислим тройной интеграл, расставив пределы интегрирования: =

{подошли к вычислению двойного интеграла; расставим пределы интегрирования, зная проекцию тела на плоскость хоу – треугольник} =

.

Цилиндрическая и сферическая системы координат используются для упрощения вычислений тройных интегралов.

Если проекции тела на координатные плоскости – окружности, то проще тройной интеграл вычислять в цилиндрической системе координат.

Если тело ограничено сферами с центром в начале координат и конусами с вершиной в начале координат, то рациональнее вычисления выполнять в сферической системе координат.