1612724574-38f3de39bc5d7c0ab8b41ab161e9e0e0 (Задачи с ответами)

Астрономия для физиков (Сурдин В.Г., НГУ, 2015 г.)

Задачи с ответами

Задача 1: Два астронома с одинаковыми оптическими телескопами диаметром D =10 м находятся – один на Земле, другой на Луне. Кто из них различит более мелкие детали на поверхности соседнего тела, и каков будет их линейный размер?

Реш. 1: Источником возмущения света служит атмосфера Земли. Линейное разрешение составляет L = L, где  - угловое возмущение, L – расстояние от источника возмущения до объекта наблюдения. Пусть  = 1 для ночной атмосферы Земли и  = 3 для дневной.

Будем считать, что земной наблюдатель смотрит на Луну сквозь ночную атмосферу, а лунный наблюдатель смотрит на Землю сквозь дневную атмосферу Земли. Характерную толщину атмосферы примем равной L = 15 км. Тогда атмосферное размытие сделает принципиально возможным наблюдение деталей следующего линейного размера:

– с Луны на Земле днем: 15 км  3/206265 = 22 см;

– с Земли на Луне ночью: 380 000 км  1/206265 = 2 км.

Сможет ли телескоп диаметром 10 м с учетом дифракции на его апертуре реализовать такое разрешение? Дифракционное разрешение (1,22/D) для  = 5500 Å и D = 10 м составляет около 0,014. На расстоянии Земля-Луна это соответствует линейному разрешению 380 000 км  0,014/206265 = 26 м.

Следовательно, возможности наземного телескопа ограничивает неоднородность земной атмосферы, не позволяющая увидеть на Луне детали размером менее 2 километров. А возможности лунного телескопа ограничивает лишь диаметр его объектива, не позволяющий различить на Земле детали размером менее 26 метров. Чтобы реализовать на земной поверхности линейное разрешение в 22 см, лунный астроном должен был бы иметь телескоп диаметром не менее 1 км!

Задача 2: Солнечный ветер (поток протонов, электронов и -частиц) имеет следующие средние параметры в районе земной орбиты: плотность числа частиц около n = 10 см^–3 (можно считать, что в основном это протоны) и скорость около v = 450 км/с. А солнечная постоянная (т. е. интенсивность солнечного излучения вблизи Земли) приблизительно равна I = 1,4 кВт/м². Что оказывает большее давление на абсолютно отражающую плоскость в космическом пространстве – солнечный свет или солнечный ветер?

Реш. 2: Давление солнечного ветра равно удвоенному (из-за отражения) потоку импульса летящих протонов: 2m_pnv² = 2  1,67·10^–27 кг  10⁷ м^–3  (4,5·10⁵ м/с)² = 6,8·10^–9 Н/м².

А давление света – удвоенному потоку импульса квантов: 2I/c = 2  1400 Вт/м² / 3·10⁸ м/с = 9,3·10^–6 Н/м². То есть, давление света в тысячу раз сильнее, чем давление ветра на ту же площадь отражателя.

Тем не менее, см. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D1%83%D1%81

Задача 3: Солнечный ветер (поток протонов, электронов и -частиц) имеет следующие средние параметры в районе земной орбиты: плотность числа частиц около n = 10 см^–3 (можно считать, что в основном это протоны) и скорость около v = 450 км/с. А солнечная постоянная (т. е. интенсивность солнечного излучения вблизи Земли) приблизительно равна I = 1,4 кВт/м². В какой из этих двух форм Солнце теряет больше энергии-массы?

Реш. 3. Будем считать солнечный ветер сферически симметричным с такими же параметрами, как у орбиты Земли (хотя это не совсем так). Тогда удельный поток массы солнечного ветра составит m_pnv = 1,67·10^–27 кг  10⁷ м^–3  4,5·10⁵ м/с = 7,5·10^–15 кг м^–2 с^–1. Для солнечного ветра эквивалентный удельный поток массы составляет I/c² = 1400 Вт м^–2 / (3·10⁸ м/с)² = 1,6·10^–14 кг м^–2 с^–1. То есть, в форме излучения Солнце теряет вдвое больше массы, чем в форме корпускулярного потока.

Сложив оба потока (2,4·10^–14 кг м^–2 с^–1) и умножив на площадь сферы радиусом 1 а. е., [4(150 млн км)² = 2,8·10²³ м²], получим полный темп потери массы Солнцем: 6,7·10⁹ кг/с или 2·10¹⁷ кг/год. Учитывая полную массу Солнца (2·10³⁰ кг), видим, что относительная потеря массы в нашу эпоху составляет 10^–13/год.

Задача 4: Если темной ясной ночью на вершине горы зажечь спичку, то на каком расстоянии L ее будет видно? А если дело происходит не на Земле, а на Луне?

Реш. 4: Предельная чувствительность зрения человека обычно принимается равной 6·10^–17 Вт [Флиндт Р. Биология в цифрах. М.: Мир, 1992, с.141]. Это соответствует приблизительно 100 квантам света в секунду. Примем для нашей задачи полную мощность спички 1 Вт, ее КПД в оптическом диапазоне 10%, диаметр зрачка d = 7 мм и условие различимости огонька глазом – оптический поток 10^–16 Вт. Тогда при отсутствии поглощения света расстояние определим из условия:

1 Вт  0,1  (/4  d²) / (4L²) = 10^–16 Вт

Отсюда

L = 55 км.

Однако это справедливо лишь в вакууме, т. е. на Луне, причем высота горы должна быть более 1 км, чтобы с равнины на расстоянии 55 км была видна ее вершина (проверьте!)

Но на Земле даже в чистой атмосфере свет поглощается; в оптическом диапазоне ослабление света звезды, наблюдаемой в зените составляет 0,23^m [Мартынов Д.Я. Курс практической астрофизики]. Высота однородной атмосферы на Земле (т. е. толщина слоя воздуха, имеющего приземную плотность и по числу молекул в проекции на луч зрения эквивалентного нашей атмосфере в зените) составляет 8 км. Если наблюдатель смотрит вдоль земной поверхности, то на расстоянии 55 км этот эффект ослабит свет на 0,23^m  (55 км / 8 км) = 1,6^m, или в 2,512^1,6 ≈ 4,4 раза. Причем это минимальная оценка для совершенно чистого воздуха. Поэтому расстояние, полученное для безвоздушного пространства, нужно сократить, как минимум, до D из условия (55/D)² = 2,512^{0,23(D/8 км)} . Получим около 34 км.

Задача 5: Почему звезды-гиганты и звезды-карлики одинаковых спектральных классов имеют разную температуру поверхности? Какие из них горячее?

Реш. 5: Карлики горячее, поскольку для получения одинаковой степени ионизации и возбуждения элементов (которыми и определяется вид спектра) при более высокой плотности необходима более высокая температура. Высокая плотность в атмосфере карликов связана с их большей силой тяжести, дающей меньшую шкалу высот, при которой заметная оптическая толща набирается уже в более плотных областях. В протяженной атмосфере гигантов та же толща набирается еще в очень разреженных, верхних областях атмосферы.

Задача 6: Почему в недрах звезд термоядерные реакции идет вплоть до железа, а первичный космологический нуклеосинтез практически остановился на гелии?

Реш. 6: По мере выгорания легких элементов в ядре звезды температура и плотность растут со временем, что позволяет формироваться все более сильно связанным ядрам тяжелых элементов. А в ранней Вселенной в результате быстрого расширения температура и плотность уменьшались. Когда температура снизилась настолько, что синтез легких элементов еще мог протекать и при этом ядра дейтерия и гелия уже не разрушались, для синтеза более тяжелых элементов температура и плотность стали уже малы. Произошла так называемая «закалка» – химический состав вещества стабилизировался.

Задача 7: Почему в недрах звезд для переработки заметной доли водорода в гелий требуются миллиарды лет (в лучшем случае – миллионы), а в эпоху Большого взрыва, когда температура и плотность вещества были примерно такими же, как в недрах звезд, за первые 3 минуты после начала расширения Вселенной вещество на четверть стало гелием?

Реш. 7: В недрах звезд нет свободных нейтронов, поскольку время их жизни порядка 10 мин. Поэтому в синтезе гелия необходима реакция превращения протона в нейтрон, самая медленная в цепи термоядерных реакций. В ранней Вселенной в первые минуты расширения нейтронов было почти столько же, сколько и протонов, поэтому реакция их объединения в дейтерий и далее в гелий шла очень быстро. Через 5 минут температура и плотность снизились и реакция прекратилась.

Задача 8: Оптическая толща газово-пылевого облака для света составляет  = 1 (т. е., проходя сквозь облако, свет ослабевает в e раз). Как изменится значение , если облако сожмется настолько, что его радиус сократится в 10 раз?

Реш. 8: По определению, оптическая толща есть  = kL, где k – удельный коэффициент поглощения (на единицу плотности среды и единицу расстояния пути светового луча),  – плотность среды, L – путь луча. При сжатии облака в 10 раз его плотность возросла в 1000 раз, следовательно, значение  увеличилось в 100 раз.

Задача 9: Земля остановилась на орбите. Через какое время она упадет на Солнце?

Реш. 9: Падение по радиусу к Солнцу с расстояния R можно представить как движение по предельно сжатому эллипсу с большой полуосью а = R/2. Время падения t равно половине орбитального периода Р на этой орбите. Значение P легко определяется из 3-го закона Кеплера путем сравнения с движением Земли: (P / 1 год)² = (0,5 R / R)³. Отсюда P = 1/2^3/2 года, а t = P/2 = 1/2^5/2 = 65 суток.

Задача 10: Предположим, что в ядре Солнца мгновенно прекратились термоядерные реакции. Когда и как мы сможем заметить это на Земле?

Реш. 10: Если в нашем распоряжении имеется детектор нейтрино, то через 8 мин 20 с (плюс время срабатывания самого детектора) он отметит прекращение термоядерных реакций в центре Солнца. Но оптическое излучение при этом не изменится. Оно будет поддерживаться гравитационной энергией Солнца (т. е. его медленным сжатием). Характерное время этого процесса называется временем Кельвина-Гельмгольца t_KH = GM²/2RL, где M, R и L – масса, радиус и светимость звезды. Для Солнца () значение t_KH составляет GM_²/2R_L_ ≈·10⁷ лет. То есть, заметить изменение оптических характеристик Солнца мы сможем не ранее чем через миллион лет!

Задача 11: Лунные затмения происходят, когда Луна попадает в тень Земли, а солнечные – когда Луна «наползает» на диск Солнца. Но угловой размер земной тени у орбиты Луны в несколько раз больше углового размера солнечного диска. Почему же тогда солнечные затмения происходят в несколько раз чаще лунных?

Реш. 11: За счет горизонтального параллакса, наблюдая из разных точек Земли, мы имеем возможность смещать видимое положение лунного диска относительно солнечного; ведь Луна к нам намного ближе, чем Солнце, следовательно, ее параллакс намного больше. Поэтому в условии наступления солнечного затмения есть свободный параметр – положение наблюдателя на Земле (в основном это касается географической широты наблюдателя, поскольку Луна сама передвигается в направлении, близком к долготному). А в условии наступления лунного затмения этого свободного параметра нет, поскольку Луна и тень Земли находятся на одинаковом расстоянии от нас. Изменение точки наблюдения на Земле не меняет условия наступления лунного затмения – оно либо есть, либо его нет.

Можно рассуждать и по-другому. Условием солнечного (хотя бы частного) затмения служит попадание лунной полутени на Землю: диаметр «мишени + ударника» (12742 км, Земля + 10183 км, полутень Луны у Земли) составляет 22926 км. Условием лунного (теневого) затмения служит попадание земной тени на Луну: диаметр «мишени + ударника» (1 диаметр Луны + 2,7 диаметра Луны, тень Земли у Луны = 3,7  3475) составляет 12858 км. Важно, что нужно брать не площади мишеней, а диаметры, поскольку происходит сканирование по одной из координат (практически по эклиптической долготе). Итак, для лунного затмения условие почти вдвое более жесткое, чем для солнечного. Поэтому и затмения лунные происходят вдвое реже, чем солнечные.

Если принять во внимание полутеневые лунные затмения, то полный диаметр (19451 км, полутень Земли у Луны + 3475 км, диаметр Луны) = 22926 км, то есть ровно такой же, как и для частных (как минимум) солнечных затмений.

Задача 12: В книге Дж. К. Роулинг «Гарри Поттер и философский камень» перечислены предметы, необходимые ученикам Школы чародейства и волшебства «Хогвартс». Оказалось, что молодым волшебникам среди прочего требуются и телескопы, поскольку они должны изучать астрономию: «Каждую среду ровно в полночь они приникали к телескопам, изучали ночное небо, записывали названия разных звезд и запоминали, как движутся планеты». Вопрос: если каждый раз наблюдения проводились в одно и то же время суток, то как же ученики могли изучить разные звезды?

Реш. 12: Одно и то же солнечное (и основанное на нем гражданское, т. е. поясное, декретное, зимнее, летнее) время соответствует разному звездному времени, от которого зависит положение звезд над горизонтом. Поэтому, если "каждую среду ровно в полночь" наблюдать звездное небо, то в течение полугода можно изучить его полностью.

Задача 13: Энди Вейер в своем фантастическом романе «Марсианин» (М.: АСТ, 2015), так описывает спуск астронавтов на поверхность Марса с корабля «Гермес», обращающегося на низкой околомарсианской орбите: «Сначала мы покинули "Гермес", снизились и сбросили орбитальную скорость, чтобы начать падать. Все шло гладко, пока мы не вошли в атмосферу. Если вас пугает турбулентность на реактивном лайнере, летящем со скоростью 720 км/ч, представьте, каково приходится при 28 000 км/ч» (с. 33). Вы не заметили ошибки в словах автора?