5.2 Объем шара и площадь сферы в разных метрических пространствах (2015 Лекции (Майсурадзе))
Описание файла
Файл "5.2 Объем шара и площадь сферы в разных метрических пространствах" внутри архива находится в папке "2015 Лекции (Майсурадзе)". Документ из архива "2015 Лекции (Майсурадзе)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "(ммо) методы машинного обучения" из 10 семестр (2 семестр магистратуры), которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "5.2 Объем шара и площадь сферы в разных метрических пространствах"
Текст из документа "5.2 Объем шара и площадь сферы в разных метрических пространствах"
Объем шара и площадь сферы в разных метрических пространствах
Чтобы говорить об объеме тела, в пространстве должна быть введена мера 
. Чтобы говорить о шарах, в пространстве должна быть введена метрика 
.
Замкнутый шар(радиус r, центр c) = 
. Далее рассматриваем только замкнутые шары. Замкнутый шар – всегда замкнутое множество в топологии, порожденной своей же метрикой.
Граница множества – это его граничные точки. Граничная точка множества – это точка (либо множества, либо нет), в любой окрестности которой есть точки как множества, так и не множества.
Сфера(радиус r, центр c) = 
. При таком определении сфера может оказаться пустым множеством или иметь ненулевой объем.
Важно: граница шара и сфера в общем случае не совпадают. Это принципиально разные множества.
Важно: граница шара и граница сферы в общем случае не совпадают. Это принципиально разные множества.
В общем случае метрического пространства трудно говорить о площади поверхности шара. Для этого поверхность должна быть пространством со своей мерой.
Важно: даже в интуитивно простых случаях площадь сферы не равна производной объема по расстоянию.
В общем случае метрического пространства объем шара зависит не только от радиуса, но и от положения центра шара. Далее рассматриваются только примеры метрик, в которых размер и форма шара не зависит от положения центра.
Гипотеза: если метрика в 
порождена нормой, удовлетворяющей классическому определению, то объем шара (в традиционной мере) зависит от радиуса только множителем 
. Т.о. достаточно указать только объем единичного шара, чтобы определить объем любого шара. Это скорее свойство меры. Для примеров это верно.
Евклидово пространство ![]()
размерности n
размерности n
Площадь сферы равна производной объёма по радиусу.
Определение Г-функции: 
.
Свойства Г-функции: 
, 
, 
,
| n=1 | V=2r | S=2 |
| n=2 | V= | S= |
| n=3 | V= | S= |
Пространство Чебышёва ![]()
размерности n
размерности n
Площадь сферы равна производной объёма по радиусу.
Пространство городских кварталов ![]()
размерности n
размерности n
Примечания
Термины: unit disk, unit ball, open unit disk, closed unit disk, unit circle
Преобразование на комплексной плоскости переводит открытый единичный круг во всю плоскость: 
Приближение окружности восьмиугольниками: если описанный вокруг обычной плоской евклидовой окружности восьмиугольник уменьшить в 
раз, т.е. масштабировать с коэффициентом 
, то получим вписанный восьмиугольник. Отклонение менее 8%.
Непонятное утверждение. Полученная из нормы единичная окружность может иметь периметр от 6 до 8. Правильный шестиугольник <= … <= параллелограмм.
