L_6_5_Slozhnoe_dvizhenie_tverdogo_tela (лекции теормех)

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА.

Пусть твердое тело, положение которого определяется системой координат , движется относительно некоторой подвижной системы отсчета , которая в свою очередь перемещается по отношению к неподвижной (основной) системе . Тогда движение, скорость и ускорение точки , рассматриваемые по отношению к системе , являются относительными, а по отношению к системе – абсолютными.

Движение подвижной системы по отношению к неподвижной системе является для движущейся точки переносным движением, а скорость и ускорение той неизменной связанной с подвижной системой отсчета точки пространства, в которой в данный момент времени находится точка тела, являются переносными.

Абсолютное движение тела является сложным движением, состоящим из относительного движения и переносного движения. Задача изучения сложного движения твердого тела сводится к задаче определения зависимостей между кинематическими характеристиками абсолютного, относительного и переносного движений этого тела. Как было установлено, сложное движение тела состоит из простейших движений: поступательного движения и вращения около неподвижной точки. Поэтому для установления характера абсолютного движения твердого тела следует определить результат сложения элементарных движений.

СЛОЖЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ ТВЁРДОГО ТЕЛА.

Кинематическое состояние твёрдого тела в тот момент, когда скорости всех его точек одинаковы по величине и по направлению, будем считать мгновенно-поступательным движением твёрдого тела Пусть твердое тело совершает мгновенно-поступательное движение относительно подвижной системы отсчета , и скорость точки в момент времени равна . Переносное движение предполагается также мгновенно-поступательным и определяется движением точки , скорость которого в момент времени равна . Тогда скорость произвольной точки тела по отношению к абсолютной системе отсчета определяется векторной суммой и является одинаковой для всех точек тела. Следовательно, результатом сложения двух мгновенно-поступательных движений твердого тела является мгновенно-поступательное движение со скоростью, равной векторной сумме скоростей складываемых движений. При сложении поступательных движений твёрдого тела со скоростями , абсолютное движение оказывается поступательным со скоростью , равной векторной сумме скоростей складываемых движений: .

СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ТВЁРДОГО ТЕЛА

Кинематическое состояние твёрдого тела в тот момент , когда скорость любой его точки может быть определена аналогично случаю вращения тела вокруг оси: , является мгновенно-вращательным движением твёрдого тела. Мгновенно-вращательное движение твёрдого тела по отношению к подвижной системе отсчета является его относительным вращением. Пусть скорость точки тела в этом движении в момент времени определяется выражением , где есть радиус-вектор точки относительно точки , расположенной на линии действия вектора мгновенной угловой скорости относительного вращения в подвижной системе отсчета . Мгновенно-вращательное движение подвижной системы отсчета относительно абсолютной системы кординат с угловой скоростью в момент времени является переносным движением. При этом скорость точки подвижного пространства , совпадающей с точкой тела, равна , где есть радиус-вектор точки относительно точки на мгновенной оси переносного вращения. Скорость точки тела в абсолютном движении определяется суммой

. (1)

Заметим, что векторы угловых скоростей и являются скользящими векторами и могут быть приложены в любой точке соответствующей линии действия. Обозначив и радиус-векторы начала координат неподвижной системы отсчета относительно точек и , представим векторы и в равенстве (1) в виде сумм: и . С учетом новых обозначений равенство (1) может быть записано в виде:

, , (2)

. (3)

Обозначив вектор, соединяющий точку с точкой , перепишем выражение вектора :

. (4)

При определенном значении вектора выражение (4) представляет скорость мгновенно-поступательного движения твердого тела. Из равенства (2) следует, что в общем случае движение твердого тела складывается из мгновенно-поступательного движения со скоростью и мгновенно-вращательного движения с угловой скоростью . Характер абсолютного движения твердого тела зависит от взаимного расположения и величин складываемых угловых скоростей и . Возможны следующие случаи.

1. . В этом случае . Совокупность двух мгновенных вращений вокруг параллельных осей с равными по величине и противоположными по направлению угловыми скоростями составляет пару вращений. Расстояние между мгновенными осями вращений и называют плечом пары. Из равенств (2),(4) следует, что абсолютная скорость произвольной точки тела определяется как момент пары угловых скоростей переносного и относительного вращений и не зависит от положения начала подвижной системы координат. Это означает, что все точки твердого тела совершают движение с одинаковой скоростью, и абсолютное движение твердого тела является мгновенно-поступательным.

2. . Если мгновенная угловая скорость абсолютного вращения отлична от нуля, выбором начала неподвижной системы координат абсолютное движение твердого тела в общем случае можно представить как винтовое движение, при котором скорость мгновенно-поступательного движения и угловая скорость мгновенно-вращательного движения являются коллинеарными, и выполняется условие

. (5)

Для определения положения абсолютной системы отсчета будем рассматривать равенство (4) как уравнение относительно неизвестного вектора :

. (6)

Решение уравнения (6) имеет вид

, (7)

где – произвольная скалярная величина. Учитывая условие (5), равенство (7) можно записать в сокращенном виде:

. (8)

Рассмотрим по отдельности три различных случая взаимного расположения осей переносного и относительнго вращений и твердого тела.

2.1. Оси и пересекаются. В этом случае за точки и приложения векторов и можно принять точку пересечения осей и . Тогда и из равенства (8) определяется мгновенная ось абсолютного вращения , из выражения (4) следует, что скорость поступательного движения равна нулю , и абсолютное движение твердого тела является мгновенно-вращательным:

.

Вектор угловой скорости абсолютного вращения определяется векторной суммой угловых скоростей складываемых вращений.

При сложении мгновенных вращений твёрдого тела вокруг мгновенных осей, пересекающихся в одной точке, абсолютное движение оказывается мгновенно-вращательным движением вокруг мгновенной оси вращения, проходящей через точку пересечения осей складываемых вращёний:

.

2.2. Оси вращений и не пересекаются: , . В этом случае существует общий перпендикуляр к осям и , и точки пересечения его с мгновенными осями вращений примем за точки и приложения векторов мгновенных угловых скоростей и . Тогда выполняются равенства , следовательно, , и равенство (8) принимает вид:

. (9)

С учетом равенства можно получить аналогичное выражение для :

. (10)

Выражения (9),(10) определяют прямую , параллельную вектору мгновенной угловой скорости абсолютного вращения , проходящую через начало неподвижной системы координат. Вследствие равенства (5) вектор скорости точки также направлен вдоль прямой . Если на прямой определить направление единичным вектором , то она становится мгновенной винтовой осью абсолютного движения твердого тела. Тогда равенства (9),(10) можно заменить более простыми соотношениями

, , (11)

где – соответственно проекции векторов на мгновенную винтовую ось. Полагая , получаем три коллинеарных вектора, удовлетворяющих следующим отношениям:

. (12)

Для определения скорости поступательного движения воспользуемся равенством (4). Используя выражение (9) и, принимая во внимание равенство , представим равенство (4) в следующем виде:

. (13)

Равенство (12) может быть преобразовано следующим образом:

Из проведенных рассуждений можно сделать следующее заключение.

При сложении двух мгновенных вращений твердого тела вокруг непересекающихся осей абсолютное движение является винтовым движением. Мгновенная винтовая ось пересекает общий перпендикуляр к осям складываемых вращений, и точка пересечения делит кратчайшее расстояние между осями складываемых вращений на части, обратно пропорциональные проекциям угловых скоростей на винтовую ось. Мгновенная угловая скорость абсолютного вращения равна векторной сумме угловых скоростей относительного вращения и переносного вращения: . Вектор скорости поступательного движения твердого тела определяется выражением

. (13)