л.8 формула Пуассона,установившийся режим (Лекции по УрМатФизу)

Уравнение колебаний в неограниченном пространстве. Формула Пуассона.

Рассмотрим задачу во всем R³ для уравнения

u_tt = a²u, (1)

где u = u(t,M) = u(t,x,y,z), c начальными условиями

u(0, M)= (M); u_t (0, M)= (M). (2)

Применим к (1) преобразование Лапласа по временной переменой t .

e^-pt u_tt dt = a² e^-pt u dt (3)

Интегрируя по частям два раза по t в левой части равенства (3), получим

+ p + p² e^-pt u dt = a² e^-pt u dt. Пользуясь начальными условиями (2), приходим к уравнению

 (M)  p(M) + p²U(p. M) = a² U(p. M), (4)

где U(p, M) = e^-pt u dt – образ Лапласа искомой функции по переменной t . Уравнение(4) переписывается в виде

 U(p. M)  U(p. M) =  (M)  (M), (5)

как неоднородное уравнение типа Гельмгольца, с правой частью  (M)  (M).

Ранее было получено фундаментальное решение уравнения  U  ² U = (M, M₀ ) в виде  равное  в нашем случае. Заметим, что этому уравнению удовлетворяет также и функция  , и возникает вопрос о выборе знака в показателе экспоненты. Но, так как задача решается во всем пространстве, а по определению образа Лапласа Rep  0, при  0, то второе решение соответствует решению, экспоненциально растущему на бесконечности, и должно быть отброшено. Тогда, решение уравнения (5) выписывается по общему правилу в виде

U(p, M)= . (6)

Остается лишь перейти от изображения U(p, M) к оригиналу u(t,M) с помощью интеграла Меллина. Получим

u(t,M) = dp. (7)

Считая возможным в (7) переставлять порядок интегрирования по пространственным переменным и p, согласно теории обобщенных функций, приходим к двум интегралам

; и = . Оба эти интеграла формально расходятся и могут быть рассматриваемы лишь как обобщенные функции. При этом не имеет значения, по какой из вертикальных прямых на комплексной плоскости переменного p идет интегрирование. Поэтому, можно положить  = 0, и p = i . Тогда, первый интеграл примет вид интегрального представления  - функции

=  ( ); (8)

а второй, очевидно, есть

 ( ). (9)

Следовательно, равенство (7) может быть переписано в виде

u(t,M)= + . (10)

Очевидно, что носитель  - функции в пространстве переменных t, x’, y’, z’ ; сосредоточен на многообразии, определяемом уравнением = 0, задающим в этом пространстве конус с вершиной в точке M’ = M, и углом раствора  , где tg = a.Для удобства дальнейшего вычисления интегралов в равенстве (10) удобно перейти к сферическим координатам, приняв за начало этой системы координат точку M’ = M:

x’  x = rsin cos ; y’  y = rsin sin ; z’  z = rcos. Элемент объема становится равным r²sindrd d, а равенство (10) переписывается в виде

u(t,M) = + . (11)

Носитель  - функции сосредоточен на многообразии r = at, и для корректного вычисления ее действия введем вспомогательную радиальную переменную = , что преобразует интегралы в (11) к виду

; .

В результате, выражение (11) приводится к виду

u(t,M) = + ,

или, возвращаясь к прежней переменной r , к виду

u(t,M) = + , (12)

где d = sind d , - элемент площади единичной сферы. Если обозначить, для краткости, = M_at[ ] ; = M_at[ ], то формула (12), которую называют формулой Пуассона, запишется в виде

u(t,M) = tM_at[ ] + tM_at[ ]. (13)

Заметим при этом, что зависимость правой части (12), (13) от точки M - через радиус r, который на самом деле есть r_MP , где P – точка на сфере S_at с центром в точке M .

Метод спуска.

Исходя из формулы (12) можно получить решения исходной задачи в неограниченном пространстве для размерностей 2 и 1, то есть в R² и R¹ .

1.Пусть искомая функция u, а также начальные условия, - функции  и  не зависят от переменной z . Тогда, интегрирование по верхней полусфере r = at может быть заменено интегрированием по кругу, _at -пересечению сферы с плоскостью переменных x, y . При этом, элементы площади на сфере и в круге связаны равенством

d = dScos,

где cos = = , а { x, y} – координаты точки M . Кроме того, в интегралах формулы (12) d = dS/(at)² = . То же самое справедливо и для интеграла по нижней полусфере. Складывая выражения, получим

u(t,M)= [ + ], (14)

- формулу Пуассона для случая R² .

2. Рассмотрим теперь случай R¹ , то есть, уравнения колебаний бесконечной струны

u_tt = a²u _xx , с начальными условиями u(0, x)= (x); u_t (0, x)= (x).

В интегралах формул (12), (13) введем сферическую систему координат, направив полярную ось вдоль оси x .Единственная переменная интегрирования  связана с координатой точки наблюдения x и сферическими координатами соотношением x   = rcos ; следовательно, d = rsin d . Следовательно, элемент поверхности dS выражается в виде dS = = rd d , а элемент телесного угла d – в виде d = d d / r. Тогда, исходя из общей формулы (12), учитывая, что r = at, границами области интегрирования по являются точки x – at ; x + at, и подынтегральные функции не зависят от  , получим

u(t,x) = + . (15)

Выполняя в (15) дифференцирование по t , получим

u(t,x) = + , - (16).

Формулу Даламбера, - решение задачи о возбуждении бесконечной струны начальным отклонением (x); и начальной скоростью (x).

Особенности характера распространения волн в трехмерном и двумерном случаях.

Рассмотрим вначале трехмерный случай. Пусть начальные данные (M); (M) являются финитными функциями, отличными от нуля в компактной области T₀ . Выберем точку наблюдения M₀ вне области T₀ .

рис. 1

Согласно общей формуле (12) , для каждого момента времени t состояние среды u( M, t) в точке M₀ определяется начальным состоянием в точках, лежащих на сфере радиуса at, с центром в M₀ . Для всех значений времени t  d/a = t₁ , сфера не пересекается с носителем начальных данных T₀ , и возмущение u(M, t) в точке равно нулю ( волна не дошла до точки наблюдения M₀ ). Для всех моментов времени d/a = t₁  t  D/a = t₂ сфера пересекает носитель T₀ , u(M₀, t) 0, и точка M₀ находится в возбужденном состоянии. Для всех моментов времени t  D/a = t₂ сфера снова не пересекается с носителем T₀ , u(M, t)= 0, точка M₀ - в невозбужденном состоянии (волна прошла точку наблюдения ).

Таким образом, распространение волны в трехмерном пространстве характерно наличием резко обозначенных переднего и заднего фронтов возмущения. Если представить себе распределение возмущения в пространстве в некоторый фиксированный момент времени t₀ , то точка M находится в возбужденном состоянии, если сфера пересекает область начальных возмущений T₀ . Иначе говоря , геометрическое место точек W, в которых возмущение отлично от нуля, состоит из точек P , являющихся центрами сфер радиуса at₀ , с P  W . Внешняя и внутренняя границы множества этих центров являются передним и задним фронтом распространяющейся волны.

Иная картина распространения волнового возмущения имеет место в двумерном случае.

Дело в том, что интегрирование в формуле Пуассона (14) осуществляется не по сфере, а по кругу , радиуса at, с центром в точке наблюдения M. Если начальные возмущения заданы в области S₀ плоскости (x, y), то состояние u(t, M₀) среды в точке M₀, лежащей вне области S₀ , в момент времени t определяется начальными значениями в точках P, принадлежащих кругу радиуса at с центром в M₀ . Поэтому, для моментов времени t  d/a = t₁ (d – расстояние от M₀ до ближайшей точки области S₀ ) u(t, M₀)= 0 ( до точки M₀ возмущение еще не дошло). Если же t  t₁ , область интегрирования захватывает S₀, частично, или полностью. При этом, u(M₀,t) 0. Возмущение

u(M₀, t)при этом вначале возрастает, по мере того, как область интегрирования накрывает область S₀ , а затем, учитывая характер зависимости возмущения от времени в формуле (14), начинает убывать до нуля при t  . Физический смысл такого поведения возмущения состоит в том, что у распространяющейся на плоскости волны есть резко очерченный передний фронт, но нет заднего фронта. Имеет место явление последействия, которое исчезает лишь для бесконечно больших значений времени.

Случай неоднородного уравнения.

Рассмотрим, в заключение, задачу о вынужденных колебаниях

u_tt = a ²u + f(M, t),

переписав его для удобства в виде

u_tt = u + g(M, t), (17)

где g(M, t)= f(M, t). Функция f(M, t) – плотность распределения источников, отличная от нуля в ограниченной области  .

Для упрощения дальнейших выкладок возьмем начальные условия однородными: