л.8 разделение переменных, редукция (Лекции по УрМатФизу)

Редукция обшей краевой задачи к задаче с однородными краевыми условиями. Общая схема разделения переменных.

Выпишем постановки одномерных краевых задач для уравнений колебаний струны (стержня) и теплопроводности в общем случае, с учетом возможных неоднородных краевых условий и неоднородного уравнения, учитывающего наличия сторонних источников возбуждения.

u_{t t} = a² u_xx + g(x, t). (1)

u_x(0 ,t) – hu(0,t) =  (t) ; u_x( l ,t) + hu(l ,t) = (t) , (2)

u(x, 0) = (x); u_t(x, 0) = (x); (3)

u_t = a² u_xx + f(x, t), (4)

u_x(0 ,t) – hu(0,t) =  (t) ; u_x( l ,t) + hu(l ,t) = (t) , (5)

u(x, 0) = (x), (6)

в предположении достаточной гладкости функций  (t) ,  (t).

Первый шаг редукции таких задач к задачам, решаемым методом разделения переменных, состоит в замене искомой функции u(x, t) на такую вспомогательную функцию v(x, t) , для которой краевые условия (2), (5) становятся однородными. Пользуясь линейностью исходных краевых задач, представим решение u(x, t) в виде

u(x, t) = v(x, t) + (x, t) , (7)

добавляя к v(x,t) функцию (x, t) = (t) x + (t), линейную по переменной x , с коэффициентами, зависящими только от переменной t. Подставляя (7) в краевые условия (2), (5) поучаем равенства

v_x (0, t) + (t) – h v(0, t) – h(t) =  (t) ; v_x (l, t) + (t) – h v(0, t) – h(t)l – h(t) =  (t). Для того, чтобы функция v(x, t) удовлетворяла однородным краевым условиям при x = 0 и x = l , достаточно потребовать, чтобы коэффициенты (t) и (t) удовлетворяли уравнениям

(t) – h(t) =  (t); (1 – hl) (t) – h(t) =  (t). (8)

Решая эту линейную систему уравнений, получим

(t) = ; (t) = ,

(x, t) = x + . (9)

Подставляя u(x, t) в виде (7), где (x, t) имеет вид (9), в уравнения задач (1) – (3) и (4)- (6), получим

v_{t t} = a² v_xx + G(x, t), (10)

v_x(0 ,t) – hv(0,t) = 0; v_x( l ,t) + hv(l ,t) =0, (11)

v(x, 0) = (x); v_t(x, 0) = (x); (12)

v_t = a² v_xx + F(x, t), (13)

v_x(0 ,t) – hv(0,t) = 0; v_x( l ,t) + hv(l ,t) =0, (14)

v (x, 0) =  (x), (15)

где G(x, t) = g(x, t) –  _{t t} (x, t); F(x, t) = f(x, t) –  _t (x, t); (x) = (x) – (x,0); (x) =(x) –  _t (x,0), - известные функции.

Замечание. В случае более простых краевых условий второго рода u_x(0 ,t) = 0; u_x( l ,t) = 0, (при h = 0 ) функция (x, t) ищется как квадратичная: (x, t) = (t) x² + (t) x , что приводит, прежним способом, к равенствам (t) =(t) ; (t) = ; и однородным краевым условиям второго рода для функции v(x, t) . В случае краевых условий первого рода u(0,t) = 0; u(l,t) = 0, функция (x, t) = (t)x + (t), - линейна, где (t) = ;(t) =(t).

Общая схема разделения переменных.

Пусть задачи (1) – (3) и (4) - (6) уже сведены к задачам (10) – (12) и (13) - (15) с однородными краевыми условиями 1 – го, 2 – го, или 3 – го рода. Согласно общему методу разделения переменных, решение ищется в виде

v(x, t) = , (16)

где X_n(x) - собственные функции краевой задачи для О.Д.У. :

+ _n X_n(x) = 0; (17)

соответствующие собственным значениям { _n } .

Согласно теоремам Стеклова, набор {X_n(x)} собственных функций является полной ортогональной системой функций в пространстве L₂[0;l], которую можно сделать нормированной. Любая дважды непрерывно дифференцируемая по x функция, которой является также и искомое решение v(x, t) , может быть разложена по базису {X_n(x)}, в ряд Фурье, сходящийся в пространстве C[0;l] .

В случае простейших краевых условий первого и второго рода эти функции известны в явном виде: X_n(x) = sin ; и X_n(x) = cos соответственно.

Правые части G(x, t) ; F(x, t) в уравнениях (10), (13) также могут быть разложены в ряды Фурье по тому же базису:

G(x, t) = , F(x, t) = . (18)

Подставляя ряды (16), (18) в эти уравнения, с учетом уравнения (17), считая обоснованными операции дифференцирования, и приравнивая коэффициенты при базисных функциях {X_n(x)}, получим следующие О.Д.У. для неизвестных коэффициентов T_n(t) :

+ a²_n T_n(t) = g _n (t); (19)

+ a²_n T_n(t) = f _n (t). (20)

Уравнение (19) – неоднородное О.Д.У. второго порядка, а уравнение (20) – неоднородное О.Д.У. первого порядка. Общие решения соответствующих им однородных Д.У. выписываются стандартно в виде

T_n(t) = cos + sin (21)

T_n(t) = . (22)

Частные решения неоднородных уравнений (19), (20) строятся методом вариации постоянных. При этом, в случае уравнения (19),

(t)= – + ; (t) = + ; (23)

А в случае уравнения (20),

C_n (t) = + C _n . (24)

Следовательно, решение задачи (10) – (12) принимает вид ряда Фурье

v(x,t) = + + , (25)

а решение задачи (13) - (15) :

v(x,t) = + . (26)

Первые слагаемые в (25), (26) соответствуют вынужденным возмущениям под действием сторонних источников, задаваемых неоднородностями G(x, t) и F(x, t) в уравнениях (10), (13). Остальные слагаемые обусловлены действием начальных возмущений, соответствующих начальным условиям (12), (15). Неопределенные константы ; ; C_n вычисляются, подставляя решения (25), (26) в эти условия, если предварительно разложить неоднородности (x); (x) в ряды Фурье по базису {X_n(x)}:

(x) = ; (x) = , (27)

где  _n = ;  _n = . (28)

В результат получим

= ; = для задачи (10) – (12), и

= для задачи (13) - (15).

Окончательные выражения для решений этих задач выписываются в виде

v(x,t) = + + , (29)

v(x,t) = + , (30)

где коэффициенты  _n ,  _n рядов Фурье задаются формулами (28). Возвращаясь к исходным постановкам (1) – (3) и (4) – (6) рассматриваемых задач, решения u(x, t) получим из (29), (30) добавлением к ним известной функции (x, t).