л.6 ф-я Грина ур-я теплопроводности, метод отр-ний (Лекции по УрМатФизу)

Решение одномерного уравнения теплопроводности на бесконечной прямой.

Рассмотрим однородное уравнение теплопроводности

u_t = a² u_xx , (1)

с начальным условием

u(x, 0) = (x), (2)

в том случае, когда влиянием краев области распространения тепла (краев области непрерывности коэффициента теплопроводности) можно пренебречь.
Это означает, что рассматривается ограниченный интервал времени [0, T], в пределах которого тепловой поток еще не достиг границ. В этом случае удобно рассматривать задачу (1), (2) на бесконечном интервале    x  . Для решения такой задачи удобно применить к уравнению (1) преобразование Фурье, потребовав, чтобы решение u(x,t) было равномерно убывающей функцией при |x|  . обозначив образ Фурье решения относительно пространственной переменной через

U(, t) = , получим относительно U(, t) , после двукратного интегрирования по частям, О.Д.У. первого порядка вида

U _t (, t) + a²² U(, t) = 0. (3)

Общее решение уравнения (3) запишется в виде

C() . (4)

Неопределенная константа C() должна быть определения в явном виде с помощью начального условия (2). Для этого возьмем от решении (4) обратное преобразование Фурье

u(x,t) = , (5)

и, положив в (5) t = 0, получим равенство

= (x). (6)

Из равенства (6) следует, что C() = (), где() – образ Фурье функции (x). , задающей распределение температуры u(x,t) в начальный момент времени.

Следовательно,

u(x,t) = , (7)

- явное решение поставленной задачи на бесконечной прямой. Подставим выражение для () в интеграл (7):

, и изменим порядок интегрирования по  и  :

u(x,t) = . (8)

Рассмотрим отдельно внутренний интеграл . Выпишем общий показатель подынтегральной экспоненты – a²² t + i(x   ) , - полином второго порядка, и выделим в нем полный квадрат:

– [(a )² – – ] – = – [a – ]² – . Тогда, рассматриваемый интеграл примет вид

. (9)

В оставшемся интеграле сделаем замену переменной интегрирования a – = , что приводит интеграл к виду

. (10)

В интеграле (10) интегрирование ведется по прямой параллельной действительной оси и лежащей в нижней полуплоскости комплексного переменного на расстоянии . Но поскольку подынтегральная функция является аналитической во всей комплексной плоскости, то контур интегрирования можно сдвинуть параллельно вверх на тот же отрезок, вплоть до совпадения с действительной осью, придя к интегралу = . Окончательно, получим

. (11)

После подстановки этого выражения в качестве внутреннего интеграла в (8), получим

u(x,t) = . (12)

Функцию G(x, ,, t) трех переменных , - ядро интегрального оператора в (12), называют функцией Грина уравнения теплопроводности на бесконечном интервале    x  , или фундаментальным решением. В этих обозначениях решение задачи (12) может быть записано в виде

u(x,t) = (13)

Замечание. Если отсчет времени начинается не с нуля, а с произвольного начального значения t ₀ , то выражение для функции Грина имеет вид

. (14)

Если обозначить через  , то выражение (14) примет вид

, (15)

позволяющий исследовать качественно поведение этой функции при различных значениях входящих переменных. Так как при малых значениях  экспонента в числителе очень быстро убывает с ростом величины от нуля и далее, а сама функция (15) четна относительно точки , то ее график является острым пиком с амплитудой , быстро стремящимся к нулю по обе стороны от точки . По мере увеличения  амплитуда пика убывает, а область существенного отличия функции (15) от нуля симметрично увеличивается : пик постепенно расплывется, становясь все более пологим.

В качестве примера применения формулы (13) рассмотрим задачу с начальным условием

(x) =

Тогда

u(x,t) = + ,

что легко преобразуется к виду

u(x,t) = + , (16)

В интегралах формулы (16) сделаем замену переменного = . Получим

u(x,t) = + . (17)

Обозначая неотрицательную величину = f(x,t), правую часть (17) можно переписать в виде

– + + .

В интегралах, содержащих отрицательные пределы интегрирования, заменим переменную  на –  , и, приводя подобные члены, получим

+ = + , так как = / 2. Окончательно,

u(x,t) = + , (18)

где (z) = , - табличный интеграл ошибок.

Из формулы (18) видно, что предельный тепловой режим при t   соответствует значению(0) = 0 , и предельной температуре u = , т. е. полному ее выравниванию на всей прямой с данным предельным значением. Аналогично, при x = 0 (в точке разрыва начальных значений) температура всегда постоянна и равна тому же значению .

Задача на полупрямой.

Пусть теперь область пространства, где строится решение есть полупрямая 0  x  . Физически это соответствует случаю, когда начальное распределение температуры таково, что за рассматриваемый отрезок времени тепловой поток успевает достичь левого края области, но не достигает ее правого края. На границе области, как обычно, требуется поставить краевое условие. Будем считать, что если краевое условие было в начале неоднородным ( на границе задан принудительный температурный режим u(0,t) = (t), или u_x (0,t) = ₁ (t), - заданный тепловой поток), то стандартная редукция к задаче с однородным краевым условием путем добавления к решению явной функции проведена. То есть, мы имеем дело с однородным краевым условием первого u(0,t) =0, или второго

u_x (0,t) =0 рода.

Докажем, что для построения решения такой краевой задачи, как и в случае уравнения колебаний струны, достаточно продолжить начальное условие u(x,0) = (x) на полупрямую    x  0 четным или нечетным образом.

Теорема. Решение краевой задачи u_t = a² u_xx ; u(x, 0) = (x) ; на интервале 0  x  

с краевым условием u(0,t) =0 (или u_x (0,t) =0) может быть построено как решение задачи на всей прямой    x  , если продолжить функцию (x),задающую начальное условие, в область    x  0 нечетным (или четным) образом.

Действительно, пусть  (x) =

Запишем решение (x,t) продолженной задачи в виде (12), и рассмотрим его в точке x = 0 :

(0,t) = = + , и заменим в первом интеграле переменную  на   . Получим

+ = 0, То есть, (x,t) удовлетворяет краевому условию первого рода.

В случае четного продолжения  (x) = взяв первую производную по x от (x,t) в формуле (12), и положив x = 0 получим

_x(0,t) = + = + = 0, что и требовалось.