л.5 ур-е теплопроводности и диффузии (Лекции по УрМатФизу)

Распространение тепла в пространстве и уравнение диффузии.

Физической основой для вывода уравнения распространения тепла в некотором объеме вещества является закон Фурье для случая распространения тепла в однородном тонком стержне, температуру в любом поперечном сечении которого можно считать постоянной:

Количество тепла Q , проходящее через площадку S за время  t в направлении вдоль x :

Q =  k(x, u) S t. (1)

Здесь  / x– производная по нормали к площадке в направлении передачи тепла, u(x, t), - температура,

k(x, u) – коэффициент теплопроводности. Знак минус присутствует (1) ввиду того, что тепло переходит от более нагретого объема к менее нагретому. В общем трехмерном случае u и k являются функциями всех трех переменных x, y, z . Выделим параллелепипед с вершиной в точке (x, y, z), и ребрами величины (x, y,  z). Тогда, общий баланс тепла, прошедшего через две противоположные грани, ортогональные оси x , есть

 k(x+ x, y, z , u) y z  t + k(x , y, z , u) y z  t..

Аналогичные балансы потоков тепла могут быть записаны относительно оставшихся двух пар противоположных граней:

 k(x, y+ y, z , u) x z  t + k(x , y, z , u) x z  t;

 k(x, y, z + z , u) xy  t + k(x , y, z , u) xy t.

При достаточно малых величинах граней (x, y,  z). все три выражения могут быть с достаточной степенью точности переписаны с помощью формулы конечных приращений в виде

 k(x, y, z , u) x y z  t;  k(x, y, z , u) x y z t;

 k(x, y, z , u) x y z  t.

Сумма всех трех слагаемых дает поток тепла Q₁, уходящего через поверхность параллелепипеда за время  t, и равна, очевидно, выражению

Q₁ =  div{ k(x, y, z , u)gradu(x, y, z)} x y z  t. (2)

С другой стороны, то же приращение тепла Q в объеме параллелепипеда может быть подчитано с помощью формулы, определяющей количество тепла Q₂, которое нужно передать однородному телу, чтобы повысить его температуру на величину u за промежуток времени  t:

Q₂ = cx y z u_t  t. (3)

Здесь c – удельная теплоемкость материала;  - его плотность; xy z –объем.

В рассматриваемом объеме могут также действовать сторонние источники тепла, воздействие которых можно описать плотностью распределения источников F(x, y, z, t). Суммарное выделение тепла в рассматриваемом объеме за время  t определится как

Q_F = F(x, y, z, t) x y z  t. (4)

Общий баланс тепловых потоков записывается как Q_F  Q₁ = Q₂ , что приводит к равенству

F(x, y, z, t) x y z  t + div{ k(x, y, z , u)gradu(x, y, z)} x y z  t. = cx y z u_t  t. (5)

В силу произвольности величин x, y,  z,  t, из равенства (5) следует уравнение

F(x, y, z, t) + div{ k(x, y, z , u)gradu(x, y, z)} = c u_t . (6)

В достаточно узком температурном интервале, когда коэффициент теплопроводности k не зависит от температуры u, уравнение (6) становится линейным. В наиболее простом случае, когда все величины c,  , k являются константами, уравнение приобретает наиболее простой вид

u_t = a² u + f(x, y, z, t), (7)

где a² = k / c , f(x, y, z, t) = F(x, y, z, t) / c .

Краевые и начальные условия.

Так как уравнения (6), (7) по временной переменной t , - д. у. первого порядка, то ставится одно начальное условие: u(x, y, z, 0) = (x, y, z). Краевые условия могут быть нескольких типов:

1. На границе S тела поддерживается заданная температура

u|_S = (t).

2. На границе тела задан тепловой поток. Исходя из закона Фурье, имеем

k = q, или = q / k = h.В случае теплоизолированной границы = 0.

3. На границе S поддерживается теплообмен по закону Ньютона q = (u₁  u) , где  - коэффициент теплообмена; u₁ - температура внешней среды вне границы S . Если тот же тепловой поток q записать через закон Фурье q = k , то краевое условие примет вид ( + hu) =(t), где h =  / k; (t) = h u₁ (t).

Замечание. В одномерном случае, когда распространение тепла происходит вдоль достаточно тонкого стержня длины l, задача приобретает вид уравнения теплопроводности

F(x, t) + { k(x,u) u(x)} = c u_t ; с краевыми условиями одного из трех типов: u(0,t) = (t), u(l,t) = (t); u_x (0,t) = ₁ (t), u_x (l,t) = ₁ (t); ( + hu) = (t), ( + hu) =  (t).

Уравнение диффузии.

Если некоторый объем заполнен газообразным веществом с неравномерной концентрацией, то происходит диффузия этого вещества из мест с более высокой концентрацией, в места с более низкой концентрацией. Будем рассматривать процесс диффузии в объеме, заполненном пористым веществом, считая, что концентрация газа (или раствора) внутри описывается функцией u(x,y,z,t). Вывод уравнения диффузии вполне аналогичен выводу уравнения теплопроводности (6), за исключением физического смысла входящих функций и констант. Основной закон, описывающий массу газа, протекающего через площадку S за промежуток времени  t

Q =  D(x, y ,z ,t) S t (8)

носит название закона Нернста. Здесь D(x, y ,z ,t) - коэффициент диффузии. Аналогично предыдущему, для малого параллелепипеда имеем поток вещества в виде

Q = div{ D(x, y,z,t) gradu(x, y, z, t)} x y z  t. (9)

Кроме того, есть еще два потока вещества: Q₁ = F(x, y, z, t) x y z  t., - приток вещества за счет источников, и Q₂ =  quxyzt., - убыль вещества за счет поглощения в среде пропорционально коэффициенту поглощения q. Сумма этих потоков может быть приравнена изменению количества вещества в рассматриваемом объеме за отрезок времени t, пропорционально скорости u_t изменения концентрации, с коэффициентом пропорциональности (x, y, z, t), который носит название коэффициент пористости: Q + Q₁ + Q₂ = (x, y, z, t) u_t xyzt. В результате, приходим к уравнению диффузии

 u_t = div{ Dgradu} qu + F. (10)

В общем случае все величины, входящие в уравнение (10), зависят от x, y, z, t. В одномерном случае, когда рассматривается диффузия вещества внутри тонкой полой трубки, и все коэффициенты пропорциональности являются константами, уравнение приобретает вид

u_t = a² u_xx  u + f(x, y, z, t), (11)

где a² = D / ,  = q / , f(x, y, z, t) = F /  .

Единственное начальное условие имеет вид u(M, 0) = (M), - заданной начальной концентрации. Краевые условия могут быть также трех типов: 1) u|_S = u₀ ,- на границе поддерживается заданная концентрация; 2) = 0, - вещество не диффундирует через границу; 3) D = (u₁  u) , - через границу идет диффузия с коэффициентом проницаемости , а u₀ и u₁ - заданные функции времени.