л.5 решение ур. Лапласа в круге и шаре (Лекции по УрМатФизу)
Описание файла
Документ из архива "Лекции по УрМатФизу", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "уравнения математической физики (умф)" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "л.5 решение ур. Лапласа в круге и шаре"
Текст из документа "л.5 решение ур. Лапласа в круге и шаре"
Краевые задачи для гармонических функций в круге и шаре. Формулы Пуассона.
I. Задача на плоскости.
Рассматривается следующая краевая задача Дирихле для функции, гармонической в круге.
(1)
Здесь S - граница круга, радиуса а; f(P) – заданная известная функция (распределение электростатического потенциала на окружности r = a ) Задачу (1) удобно решать в полярных координатах r ; . Тогда, u = u(r, ),
u = 
+ 
= 0, - (2)
Уравнение Лапласа в полярных координатах. Краевое условие на границе круга принимает вид
u(a, ) = f( ). (3)
Переменные r, принадлежат интервалам 0 r a ; 0 2.
Замечание. Аналогичным образом выглядит и постановка внешней первой краевой задачи вне круга, где a r ; 0 2 , с условием ограниченности решения u в бесконечно удаленной точке.
Поскольку искомое решение u(r,), должно быть однозначным по угловой координате: u(r, + 2) = u(r,) , то частные решения уравнения (2) будем искать в виде
u n (r,) = a n ( r )cosn + b n ( r )sinn . (4)
При подстановке (4) в уравнение (2), собирая подобные члены при линейно независимых функциях cosn и sinn , т.е.:
(
a n ) cosn + (
b n) sinn = 0,
Получим для функций a n ( r ), b n ( r ) одинаковые ОДУ вида
a n= 0 ; b n = 0, (5)
являющиеся простейшими уравнениями типа Эйлера, частные решения которых имеют вид 
. Очевидно, что мы ищем решение задачи внутри круга ограниченное в нуле, поэтому, для внутренней задачи мы выбираем решение
. Наоборот, в случае внешней задачи в неограниченной области нам необходимо иметь решение. Ограниченное в бесконечности, и для этой задачи выбирается решение
.
Таким образом, внутри круга частные решения уравнения Лапласа берутся в виде
u n (r,) = (c n cosn + d n sinn ), (6)
и полное решение рассматриваемой краевой задачи имеет вид ряда
u (r,) = 
(c n cosn + d n sinn ), (7)
где c n ; d n - обычные неопределенные константы. Эти константы вычисляются, используя краевое условие (3):
u (a,) = 
(c n cosn + d n sinn ) = f( ). (8)
Ряд в(8) является рядом Фурье заданной периодической функции f( ), с периодом 2 , и коэффициентами Фурье c n ; d n . Стандартный ряд Фурье этой функции имеет вид:
f( ) = 
+ 
(p n cosn + qn sinn ), (9)
где p0 = 
; pn = 
; qn = 
.
Используя эти равенства. Получаем окончательное решение задачи в виде6
u (r,) = + 
( pn cosn + qn sinn ). (10)
Замечание. Соответствующее решение аналогичной краевой задачи вне круга имеет, очевидно, вид
u (r,) = + 
( pn cosn + qn sinn ). (11)
I I . Формула Пуассона плоской задачи.
Рассмотрим теперь функцию Грина внутренней задачи для круга, т.е. функцию
G( M, M0), удовлетворяющую краевой задаче
(12)
В (12) 
- регулярная часть функции Грина, удовлетворяющая уравнению Лапласа в круге всюду. В предыдущей лекции такая функция была построена в явном виде, с использованием комплексных координат на плоскости:
= 
. (13)
Воспользуемся теперь третьей формулой Грина из лекции о фундаментальных решениях уравнения Лапласа:
=
. (14)
Заметим, что фундаментальное решение в этой формуле можно заменить функцией Грина уравнения Лапласа в области, поскольку она содержит в себе фундаментальное решение, а обе функции u(M) и гармоничны в данной области. Но функция Грина, в отличие от фундаментального решения, удовлетворяет на границе однородному краевому условию. Следовательно, получаем
=
. (15)
Применим формулу (15) для случая круга, взяв в качестве G( M, M0) явный вид (13) этой функции. Достаточно лишь переписать соответствующее выражение в полярных координатах:
= 
; 
= 
.
Тогда, выражение (13) примет вид
= 
+ 
. (16)
Производная по нормали в (15) совпадает с 
, что при r0 = a (то есть,- на границе круга) приводит к выражению
=
. (17)
С учетом (17), и того, что 
= a d , окончательное выражение для решения краевой задачи в кругe имеет вид
= 
. (18)
Выражение (18) носит название интеграла Пуассона. Оно позволяет выписать решение краевой задачи Дирихле в круге не прибегая к ряду Фурье (11), воспользовавшись только интегрированием явного выражения по угловой координате, что удобно при расчетах.
III . Метод электростатических изображений для трехмерной задачи Дирихле в шаре.
Будем рассматривать теперь краевую задачу (1) внутри шара радиуса a . Предварительно построим функцию Грина для этой области. Несмотря на то, что в трехмерном пространстве нет комплексных координат, метод электростатических изображений применим и в этом случае.
Напомним, что фундаментальное решение уравнения Лапласа в R3 имеет вид
= 
, (19)
где 
= 
- декартово расстояние в сферических координатах. Здесь
- угол между двумя единичными векторами в направлении точек M и M0 из начала координат: = 
.
Функция (19) описывает электростатическое поле, создаваемое в окружающем пространстве электрическим зарядом единичной амплитуды, расположенном в точке с координатами r = r0 ;
=
; =0 .
Покажем, что если взять луч, исходящий из центра сферы в направлении = ;=0 , то есть. проходящий через точку расположения точечного источника, находящегося внутри сферы радиус а , на расстоянии 
а, и поместить на продолжении этого луча вне сферы точечный источник противоположного знака в точке, радиус которой 
связан с равенством
= 
, (20)
то можно подобрать амплитуду A этого источника так, что сумма полей данного источника и исходного обратятся в ноль всюду на поверхности сферы:
Суммарное поле двух источников имеет вид
(21)
Полагая в (21) r = а , находим значение A = 
, при котором выражение (21) обращается в ноль на поверхности сферы. Следовательно, функция Грина внутренней краевой задачи Дирихле для шара имеет вид
=
.
(22)
Замечание. Равенство (20) обычно называют соотношением обратных радиусов. Второе слагаемое формулы (22) является регулярной частью 
функции Грина, т.е. функцией, гармонической всюду внутри сферы.
Теперь можно построить решение краевой задачи Дирихле (1) для шара, пользуясь представлением (15) , где интегрирование ведется по поверхности сферы S .
В данном случае достаточно просто вычислить нормальную производную
= 
.
Тогда, полагая правую часть краевого условия задачи (1) известной функцией f(, ) угловых координат и учитывая, что = a2 sin d d , получим трехмерный вариант интеграла Пуассона
= 
. (22)
