л.4 функции Грина кр. задач для ур. Лапласа на плоскости (Лекции по УрМатФизу)

Функции Грина краевых задач для уравнения Лапласа на плоскости.

Определение. Функцией Грина G краевой задачи для уравнения Лапласа в области D называется такое его решение, которое удовлетворяет этому уравнению всюду внутри области, за исключением одной точки M₀  D , удовлетворяет на границе области однородному краевому условию L G = 0 , и имеет в точке M₀ особенность, соответствующую полю точечного источника с единичным зарядом, находящимся в данной точке.

Рассмотрим внутреннюю краевую задачу для функции Грина уравнения Лапласа внутри круга радиуса r =1 с краевым условием Дирихле. Строится решение следующей задачи

1. G = 0 всюду внутри , за исключением точки M₀  , в которой сосредоточен единичный заряд, и поле, создаваемое этим зарядом является фундаментальным решением = уравнения Лапласа на плоскости .

2. = 0 .

Здесь (r , ) - полярные координаты точки наблюдения, (r₀ , ₀ ) - полярные координаты точки источника.

Из определения функции Грина следует, что она должна состоять из двух слагаемых:

= + , (1)

где - регулярная часть функции Грина, удовлетворяющая уравнению Лапласа всюду в области , и неоднородному краевому условию

= – . (2)

В случае произвольной и даже гладкой границы области D способа построения регулярной части функции Грина в явном виде не существует. Однако, для круга такая возможность имеется. Покажем, что в этом случае

= , (3)

Где правая часть в (3) записана через комплексные координаты точки наблюдения

z = r , z₀ = r₀ .

Действительно, точка особенности функции (3) z = 1/ расположена вне окружности r = 1, очевидно удовлетворят уравнению Лапласа в форме

4 = 0. Н границе круга |z|=1 = = = , что совпадает с – = , если записать также через комплексные координаты.

Таким образом, полное выражение для функции Грина G задачи Дирихле внутри единичной окружности приобретает вид

= . (4)

Если в описанной задаче радиус круга не единичный, а произвольный r = a , нетрудно получить выражение для функции Грина и в этом случае, если масштабировать переменные: z  z /a ; z₀  z₀ /a. Подставляя эти значения в (4), после простых преобразований получаем выражение для функции Грина в виде

= . (4)

Функция Грина уравнения Лапласа в полуплоскости и в полупространстве..

Рассмотри краевую задачу на полуплоскости y  0 для функции Грина уравнения Лапласа с краевым условием

= 0 . (5)

Как и в предыдущем случае, = + .

А функция - регулярная часть функции Грина, не имеет особенностей при y  0 и удовлетворяет краевому условию

= – . (6)

Нетрудно убедиться, что такой функцией является

= – . (7)

Действительно, при y = 0 = = , то есть, краевое условие(6) выполняется, а особая точка этой функции расположена в области

y  0 , при x = x₀ , y = – y₀ , то есть, за пределами области, где строится решение.

Окончательное выражение для функции Грина полуплоскости приобретает вид

= (8)

Более короткая запись для функции Грина может быть получена, если снова воспользоваться комплексными координатами:

= . (9)

Замечание. Метод построения функций Грина (4), (9) носит название метода электростатических изображений ввиду того, что дополнительный точечный источник противоположного знака помещается в точку, являющуюся зеркальным отражением точки основного источника относительно границы полуплоскости (окружности). В случае окружности, точку с координатами z = a²/ , где расположено изображение, называют точкой, гармонически сопряженной точке относительно окружности радиуса a . Она очевидно лежит на одном луче, исходящим из центра окружности, с точкой , а радиусы этих точек связаны равенством r r₀ = a² .

Оказывается, что и в трехмерном случае решение задач построения функций Грина с краевым условием Дирихле внутри шара и в полупространстве z  0 может быть осуществлено методом электростатических изображений.

Рассмотрим теперь задачу Дирихле для произвольной плоской замкнутой ограниченной области D с гладкой границей S . Будем считать, что эта область принадлежит комплексной плоскости: z = x +iy .

Из т.ф.к.п. известно, что существует такая регулярная аналитическая функция

w = f(z) , которая отображает эту область на единичный круг на плоскости комплексного переменного w = u + iv (теорема Римана ) . Тогда, на плоскости w функции Грина имеет вид

= . (10)

Подставляя в (10) значение w = f(z) , получим

= . (11)

Выражение (11) дает возможность построить функцию Грина уравнения Лапласа в ограниченной области с кусочно-гладкой границей, если удается подобрать функцию комплексного переменного f(z) , конформно отображающую эту область на единичную окружность. Построить такую функцию в явном виде удается для очень немногих случаев.

Рассмотрим, наконец, задачу Дирихле для произвольной плоской неограниченной области D с гладкой границей S . Будем считать, что эта область также принадлежит комплексной плоскости: z = x +iy . По теореме Римана, существует аналитическая функция w = f(z), отображающая эту область на полуплоскость (например, - нижнюю), с границей Imw = 0. Тогда, функция Грина уравнения Лапласа

Для такой полуплоскости дается выражением (9):

= . (12)

Возвращаясь к переменной z на исходной плоскости, получим функцию Грина неограниченной области в виде

= . (13)

Замечание. Если можно построить аналитическую функцию, конформно отображающую внешность замкнутой ограниченной области на внешность единичного круга, то формулу (11) можно применять и для построения функции Грина внешней задачи для уравненеия Лапласа в неограниченной плоской области.

Примеры.

1. Функция w = f(z) = отображает внешность эллипса с полуосями a и b на внешность единичной окружности. Функция Грина внешней краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа в случае эллипса выписывается по формуле (11).

3. Функция w = f(z) = i отображает полосу | Imz |  1 в верхнюю полуплоскость Imw  0. Следовательно. функция Грина краевой задачи Дирихле для уравнения Лапласа в этой полосе имеет вид

= .