л.4 решение Даламбера (Лекции по УрМатФизу)

Уравнение колебаний бесконечной и полу бесконечной струны, формула Даламбера, метод отражений.

Рассмотрим уравнение колебаний однородной натянутой струны

u_{t t} = a² u_{x x} (1)

на бесконечном интервале    x  ., с начальными условиями общего вида

u(x, 0) = (x) , u_t(x, 0) = (x). (2)

Такая постановка задачи является, разумеется, идеализированной (бесконечные струны не существуют). Это лишь означает, что начальные возмущения, распространяющиеся по струне с конечной скоростью, не успевают за рассматриваемый конечный отрезок времени достичь концов струны, и их влияние можно не учитывать, считая струну бесконечной.

Уравнение (1), будучи уравнением гиперболического типа с постоянными коэффициентами, приводится к каноническому виду методом характеристик: вводя новые переменные  = x + at ;  = x  at, приводим уравнение к виду

u_ = 0. (3)

Общим решением этого уравнения является функция u( ,) = f() + g( ), или, в старых переменных

u(x , t) = f(x + at) + g(x  at ), (4)

где f и g - произвольные дважды дифференцируемые функции.

Оставшиеся неиспользованными пока начальные условия (2) нужны для определения конкретного вида функций f и g. Удовлетворяя начальным условиям (2),получим систему уравнений

f(x) + g(x) = (x); (5)

f ’(x)  g’ (x) =  (x)/a .

Проинтегрировав второе уравнение, получим f (x)  g (x) =  (x)/a ; где  (x) - первообразная функции (x). Складывая это равенство с первым уравнением (5), получим

f (x) = (x)/2 +  (x)/2a ; (6)

а из (6) и первого уравнения (5) следует

g(x) =(x)/2   (x)/2a . (7)

Возвращаясь к равенству (4), получим решение в виде

u(x , t) = ( x + at)/2 +  (x + at)/2a +( x  at)/2   (x  at)/2a .

Объединяя первое и третье слагаемое этой формулы, а также второе и четвертое, приходим к формуле Даламбера

u(x , t) = + , (8)

поскольку первообразную  (x) всегда можно представить через интеграл .

Чаще всего начальное возбуждение струны задается либо только начальным отклонением ((x) = 0), - щипковые музыкальные инструменты, либо только начальным импульсом (ударом): (x) = 0, - клавиры (рояли, пианино, клавесин, клавикорды). В первом случае решение задается только первым слагаемым формулы (8), а во втором, - только вторым слагаемым.

В первом случае решение состоит из полу-суммы двух волн (любая функция вида f (x  at) является распространяющейся волной), бегущих справа налево, - ( x + at),и слева направо, - ( x  at). Пусть начальное возмущение отлично от нуля на конечном интервале [x₀ ,x₁]. На диаграмме (x, t) распространение начального отклонения изображается в следующем виде

Профиль волнового возмущения остается неизменным на семействе характеристик x  at = const,и отличен от нуля лишь в полосах x₀  const x₁ , что означает распространение волн в пределах полос, ограниченных характеристиками x  at = x ₀ , x  at = x₁ , проходящими через крайние точки интервала [x₀ ,x₁]. Пользуясь данной диаграммой, можно построить суммарный профиль волн в любой фиксированный момент времени. Если, например, профиль имеет вид равностороннего треугольника, то суммарный профиль в разные моменты времени будет иметь вид

В случае возбуждения струны только начальным импульсом решение содержит лишь второе слагаемое формулы (8):

u(x , t) = .

Рассмотрим простейший случай, когда начальный импульс постоянен и отличен от нуля на конечном интервале [x₀ ,x₁], и его амплитуда равна 2a. При этом, решение будет разностью

u(x , t) =  (x + at)   (x  at) (9)

двух первообразных подынтегральной функции. В данном случае эта первообразная

 () = . там, где начальный импульс отличен от нуля, и  () = 0 там, где он равен нулю. Следовательно,

 (x + at) = - волновой фронт перемещается налево; (10)

 (x  at) = - волновой фронт перемещается направо. Здесь в средних строчках величина  x₀ играет роль неопределенной константы, возникающей при интегрировании, которая выбирается так, чтобы при t = 0 прямая проходила через точку x = x₀ .

Графически, суммарное возмущение может быть изображено в каждый фиксированный момент времени сложением этих волновых фронтов, имеющих (с учетом знака) вид

Последовательные результаты такого сложения в моменты времени t_j = j(x₁ – x₀) /4a

( j = 0, 1, …) изображены на следующих рисунках

Задача возбуждения полу бесконечной струны.

Случай полу- бесконечного интервала 0  x   с точки зрения физики означает, что рассматриваются лишь такие значения временной переменной t , при которых начальные возмущения струны не успели дойти до ее правого конца, и его влияние можно не учитывать, считая, что он расположен бесконечно далеко от левого конца. В этом случае, к исходной постановке, - уравнениям (1), (2), добавляются краевые условия первого или второго рода: u(0, t) = 0 , или u_x(0, t) = 0. (Условие жестко закрепленного края, или свободного края, например, упругого стержня).

Решение такой задачи можно свести к решению ее же на бесконечном интервале    x   , применив метод отражения, суть которого содержится в условии нижеследующей теоремы.

Теорема (метод отражений). . Решение краевой задачи u_t = a² u_xx ; u(x, 0) = (x) ; u_t(x, 0) = (x) на интервале 0  x   с краевым условием u(0,t) =0 (или u_x (0,t) =0) может быть построено как решение задачи на всей прямой    x  , если продолжить функции (x), (x), задающие начальные условия, в область    x  0 нечетным (или четным) образом.

Вначале рассмотрим случай краевого условия u(0, t) = 0 , и построим функции  (x) и  (x) следующего вида:

 (x) =  (x) = . (11)

Применяя формулу Даламбера (8) с начальными условиями  (x) и  (x) на всей числовой прямой    x  , и обеспечивая, тем самым, удовлетворение уравнению (1) и начальным условиям (2) при x  0 , вычислим, чему равна функция u(x , t) при x = 0:

u(0 , t) = + ,или, подставляя сюда явный вид (11) функций  ,  ,

u(0,t) = +  . Меняя переменную  на   во втором интеграле, получим

u(0 , t) = + = 0, то есть, краевое условие выполняется. В случае краевого условия второго рода, построив продолжения начальных условий в виде

 (x) =  (x) = . (12)

из той же формулы (8) получим производную u _x (x , t) в виде

u _x (x , t) = + .

В точке x = 0:

u _x (0 , t) = + .

Учитывая продолжение (12) для функции  (x) , и тот очевидный факт, что четное продолжение для функции  (x) приводит к нечетному продолжению ее производной, получим

u _x (0 , t) = + = 0.