л.3 фундаментальное решение, комплексная форма (Лекции по УрМатФизу)

Фундаментальные решения уравнения Лапласа.

Комплексная форма для плоских задач.

Получим вначале основные интегральные тождества, связывающие пару дважды непрерывно дифференцируемых функций, заданных в области D с границей D = S, имеющей непрерывную нормаль вдоль всей границы S (формулы Грина).

Пусть u(M) и v(M) - две такие функции . Рассмотрим векторное поле (M)= u(M) v(M). Применяя к ему формулу Гаусса – Остроградского

= , и учитывая, что (u(M) v(M)) = u(M) v(M)+ u(M)v(M); v(M)|_{M S} = , получаем первую Формулу Грина

+ = .

Если теперь в равенстве (1) переставит u и v местами, получим формулу

+ = .

Вычитая (1) из (2), получаем вторую формулу Грина

= .

Рассмотрим уравнение Лапласа во всем пространстве R² или R ³ :

 u = 0,

где  = в R² и  = в R ³ .

и, вводя вместо декартовых, полярные или сферические координаты, рассмотрим частный случай решений, зависящих только от радиуса r .

В плоском случае это будет соответствовать уравнению

= 0, которое заменой приводится к уравнению = 0, с очевидным решением . Тогда, очевидно, u = Clnr. Поскольку С – произвольная константа, в дальнейшем ее будет удобно взять в виде  . Получаем простейшее решение нашего уравнения в виде

= (1)

Заметим, что (1) удовлетворяет уравнению Лапласа всюду в R², кроме точки r = 0. где имеет логарифмическую особенность (обращение в бесконечность). Таким образом, решение (1), с точностью до умножения на константу, равно логарифму расстояния от точки r = 0.

Но начало координат может быть выбрано в произвольной точке плоскости R² . Если переместить его в другую произвольную точку M₀ с полярными координатами (r₀ , ₀ ), то расстояние от нее до произвольной точки M с координатами (r ,  ) выразится, по теореме косинусов, в виде R(r ,  ; r₀ , ₀ ) = . Иначе говоря, наше решение может быть записано в виде

= . (2)

Если пользоваться декартовыми координатами, то R = , и (2) перепишется в виде

= . (3)

В более коротких обозначениях:

= . (4)

Определение. Решения уравнения Лапласа вида (2), (3), или (4) будем называть его фундаментальным решением на плоскости R² .

Физически, это решение соответствует электростатическому потенциалу, создаваемому в пространстве бесконечной нитью линейного электрического заряда.

Рассмотрим теперь случай трехмерного пространства R ³, и будем также искать решение уравнения Лапласа, независящее от угловых координат  и  :

= 0, эквивалентное, очевидно, уравнению = С, интегрируя которое, получим u =  . Константу С здесь будет удобно выбрать в виде С =  , приведя решение к форме

= . (5)

Как и в плоском случае, (5) удовлетворяет уравнению Лапласа всюду в R³, кроме точки r = 0. где имеет особенность (обращение в бесконечность) первого порядка. Таким образом, решение (5), с точностью до умножения на константу, равно обратной величине расстояния от точки r = 0.

Перенося начало координат в произвольную точку M₀, со сферическими координатами (r₀, ₀, ₀ ), получим для произвольной точки M со сферическими координатами (r, ,  )

= , (6)

где = - декартово расстояние в сферических координатах. Здесь - угол между двумя единичными векторами в направлении точек M и M₀ из начала координат: = .

Если пользоваться декартовыми координатами, то R = , и (6) перепишется в виде

= . (7)

В более коротких обозначениях:

= . (8)

Определение. Решения уравнения Лапласа вида (6), (7), или (8) будем называть его фундаментальным решением в пространстве R³ .

Физически, это решение соответствует электростатическому потенциалу, создаваемому в пространстве электрическим зарядом, сосредоточенном в точке M₀ .

Пусть нам дана область D с гладкой границей S и функция u, которая имеет вторые непрерывные производные в области D и непрерывна в замкнутой области D  S . Применим в этой области вторую формулу Грина к этой функции и фундаментальному решению уравнения Лапласа. При этом, ввиду того, что в точке M = M₀ имеет особую точку, выделим эту точку малым шаром радиуса  со сферической поверхностью _ , и применим формулу Грина к этим двум функциям в области _ , заключенной между S и _

= .

Так как функция в области _ является регулярной гармонической, то второе слагаемое в объемном интеграле обращается в ноль:

= . (9)

Рассматривая отдельно поверхностный интеграл по сфере _ , можно поместить начала координат в центр этой сферы, точку M₀ . Тогда, = r =  , , =

 ²sindd. А интеграл по _ переписывается как двойной, по  и , от 0 до 2, и от 0 до  , соответственно:

 . (10)

В формуле (10) в каждом из интегралов можно применить теорему о среднем значении, получив выражение

  ,

поскольку = 4 . Здесь и - значения данных функций в некоторой точке сферы _ . В результате, приходим к равенству

= +   . (11)

В равенстве (11) от параметра  зависит лишь левая часть и первое слагаемое правой части, причем при   0  M₀ , правая часть стремится к пределу  , плюс интеграл по поверхности S , не зависящий от  , а, _  D. Следовательно, и интеграл в левой части (11) стремится к конечному пределу

как несобственный интеграл. Окончательно, получаем формулу

=  , (12)

называемую обычно третьей формулой Грина. Обратим внимание, что если выбрать в качестве u функцию гармоническую в области D , то объемный интеграл в (12) обратится в ноль, и третья формула Грина для гармонических функций примет вид

= . (13)

Совершенно аналогично, можно получить такие же формулы для R² с фундаментальным решением . Они имеют вид

=  ,

= .

Здесь L – граница двумерной области D на плоскости.

Комплексная форма фундаментального решения в двумерном случае.

Возьмем теперь фундаментальное решение (4)

= двумерного случая и запишем декартово расстояние = через комплексные координаты точек ( x , y),

( x₀ , y₀):

z = x + iy ; z₀ = x₀ + iy₀ : = = . В результате, запишется в виде

= . (14)

В т.ф.к.п. нередко вводят следующие операции: = ; = . Очевидно, что = .

С их помощью можно переписать оператор Лапласа  в виде  = 4 . То есть, для любой функции u(x,y) = u( , ), удовлетворяющей уравнению Лапласа

 u(x,y) = 0, его можно переписать в виде

4 u( , ) = 0. (15)

Покажем, что в форме (14) удовлетворяет уравнению (15). Для этого достаточно представить его в виде   , после чего равенство (15) становится очевидным.