л.3 ур-е колебаний струны, стержня (Лекции по УрМатФизу)

Уравнение поперечных колебаний тонкой упругой струны и продольных колебаний упругого стержня.

Будем считать, что колебания струны происходят в одной плоскости, то есть, ее смещение от положения равновесия можно описать одной функцией u(x,t) , где x - пространственная координата вдоль невозмущенной струны, t – время, u – декартова координата в той же плоскости, ортогональная x . Струна рассматривается как гибкая упругая нить. Математически выражение свойства гибкости заключается в том, что напряжения, возникающие в струне, направлены всегда по касательной к профилю возмущенной струны в каждый момент времени (струна не сопротивляется изгибу). Величина натяжения в струне, возникающего за счет ее упругости, вычисляется по закону Гука. Будем рассматривать малые поперечные колебания струны, что означает, что можно пренебречь величиной u_x по сравнению с единицей.

Рассмотрим силы, действующие на малый участок струны x. Внешние силы, действующие на струну, также как и силы инерции, направлены в поперечном направлении, вдоль оси u . Проекция сил натяжения на ось x равна T(x + x)cos( x + x ) – T(x)cos(x), а на вертикальную ось:

T(x + x)sin( x + x ) – T(x)sin(x). Выразим cos и sin через тангенс: cos = =  1, так как, (u_x)² мало по сравнению с единицей, и, следовательно, можно считать, что проекция сил натяжения T(x + x) – T(x) на ось x не зависит от переменной t. Сумма проекций всех сил, действующих на участок струны, на ось x должна быть равна нулю (колебания имеют поперечный характер), то есть, T(x + x) – T(x) = 0. Так как приращение x произвольно , то отсюда следует, что T(x + x) = T(x) = T ₀ , - сила натяжения не зависит также и от x. Аналогично, sin = =  u_x . Следовательно, проекция сил натяжения на ось u равна

T₀ (u_x (x + x , t ) – u_x ( x, t))  T₀ u_{x x} x, если использовать формулу конечных приращений. Сила инерции вдоль оси u равна произведению ускорения на массу участка струны, то есть (x)x u_{t t} , где (x) - погонная плотность струны. Она направлена противоположно сумме сил натяжения и внешних сил, распределенных с плотностью p(x, t) . Следовательно, полный баланс сил вдоль оси u равен

[T ₀ u_{x x} + p(x, t) – (x) u_{t t} ] x = 0. В силу произвольности x , отсюда следует уравнение в частных производных

u_{t t} = a² u_{x x} + g(x, t). (1)

Здесь a² = T₀ / (x), g(x, t) = p(x, t) / (x).

Замечание. Если упругие свойства струны меняются от точки к точке, что соответствует переменному модулю упругости k(x) в законе Гука, то баланс сил натяжения, действующих на участок струны следует писать в виде k(x + x)u_x (x + x , t ) –

k(x)u_x ( x, t))  ( k(x) ), и уравнение (1) примет более общий вид

(x)u_{t t} = ( k(x) ). + p (x, t). (2)

Рассмотрим теперь упругий стержень постоянного поперечного сечения S с плотностью (x).

Упругие продольные колебания материала стержня описываются функцией u(x,t), характеризующей продольное отклонение малого слоя стержня [x , x+ x] от положения равновесия. По формуле конечных приращений, u( x+ x,t)  u(x,t) + u_x(x,t)  x . Следовательно, относительное удлинение стержня в каждой точке описывается величиной u_x(x,t) . Но тогда, по закону Гука, напряжение T в каждой точке (сила натяжения) равна ESu_x(x,t), где E - модуль упругости Юнга. Равнодействующая сил натяжения, действующая на участок стержня [x , x+ x] : T(x +  x) – T(x) = ES[u_x(x+  x ,t) – u_x(x ,t)]  ES u_xx (x ,t)  x . В стержне действуют также внешние силы, распределенные с плотностью p(x, t), так что на рассматриваемый участок действует суммарная сила

S  x p(x, t). Двум этим силам противодействует, по принципу Даламбера, сила инерции – (x)u_{t t} S  x . Общий баланс сил для выбранного участка стержня имеет вид

– (x)u_{t t} S  x + ES u_xx (x ,t)  x + S  x p(x, t) = 0 . (3)

Сократив в (3) объемный множитель S  x , получим уравнение продольных колебаний упругого стержня в виде

E u_xx (x ,t) + p(x, t) = (x)u_{t t} .

Если (x) = const, то уравнение принимает вид

u_{t t} = a² u_xx + g(x, t). (4)

Здесь a² = E /  , g(x, t) = p(x, t) /  .

Замечание. Если, как и в случае струны, модуль Юнга E является переменной величиной:

E = k(x), то уравнение (3) приобретает вид (2).

Краевые условия.

На краях струны или упругого стержня, если их длина ограничена и равна l, должны соблюдаться свои условия, соответствующие состоянию этих точек, которое, вообще говоря, отличается от состояния внутренних точек. Так, например, простейшие условия, соответствующие жесткому закреплению краев, если x  [0, l] , требуют пребывания этих точек в невозмущенном состоянии во все моменты времени. Математически, это соответствует краевым условиям первого рода:

u(0,t) = 0; u(l, t) = 0. (5)

Наоборот, если края свободны (не закреплены), то в точке x = 0 отсутствует сила натяжения, и баланс сил на отрезке [0,  x] запишется в виде

ES u_x(  x ,t) + S  x p(x, t) – (x)u_{t t} S  x = 0. (6)

Устремляя в равенстве (6)  x к нулю, получим краевое условие второго рода

u_x( 0 ,t) = 0. Точно также, на правом конце получим аналогичное условие второго рода

u_x(l ,t) = 0, если  x 0 в балансе сил для отрезка [ l –  x, l]:

– ES u_x( l –  x ,t) + S  x p(x , t) – (x)u_{t t} S  x = 0.Итак, условие незакрепленных краев соответствует краевым условиям второго рода

u_x( 0 ,t) = 0, u_x(l ,t) = 0. (7)

Замечание. Краевые условия второго рода (7) физически применимы, в основном, к случаю продольных колебаний упругих стержней, так как в случае струны незакрепленный край означает отсутствие натяжения струны и невозможность поперечных колебаний.

Рассмотрим теперь наиболее общий случай краевых условий, - упругое закрепление краев (например, с помощью пружины). В этом случае в балансе сил появляется дополнительное слагаемое – ku(0,t), или – ku(l,t), - упругое противодействие отклонению от положения равновесия. Общие балансы сил на правом и левом конце будут иметь вид

ES u_x(  x ,t) + S  x p(x, t) – (x)u_{t t} S  x – ku(0,t) = 0.

– ES u_x( l –  x ,t) + S  x p(x , t) – (x)u_{t t} S  x – ku(l,t), = 0.

Устремляя  x к нулю, получим краевые условия третьего рода

u_x( 0 ,t) – hu(0,t) = 0; u_x( l ,t) + hu(l ,t) =0 , (8)

где h = k/ ES.

Начальные условия.

Поскольку по временной координате t уравнения (2), (4) имеют второй порядок, для выделения единственного решения, как будет доказано в последствии, необходимо поставить два начальных условия. В общем случае они сводятся к заданному отклонению от положения равновесия в начальный момент времени t = 0 , и заданному значению скорости (импульса) отклонения в этот момент. Математически это выражается в виде двух равенств

u(x, 0) = (x), u_t(x, 0) = (x), (9)

где (x) и (x), - заданные функции.