л.2 принцип макс. для гарм. ф-й, теор-мы единст-ти (Лекции по УрМатФизу)

Принцип максимума для функции, гармонической в области и теорема единственности

решения краевых задач.

1. Напомним вначале основные интегральные тождества, связывающие пару дважды непрерывно дифференцируемых функций, заданных в области D с границей D = S, имеющей непрерывную нормаль вдоль всей границы S (формулы Грина).

Первая Формула Грина

+ = . (1)

Если теперь в равенстве (1) переставит u и v местами, получим формулу

+ = . (2)

Вычитая (1) из (2), получаем вторую формулу Грина

= . (3)

Пусть теперь одна из функций u или v будет фундаментальным решением уравнения Лапласа, например, v =  (M, M₀). То есть, v удовлетворяет во всем пространстве уравнению v(M, M₀) = – (M, M₀). А вторая функция u - гармоническая, то есть, удовлетворяет в области D уравнению  u(M) = 0. Тогда из тождества (3) следует третья формула Грина

u(M₀) = . (4)

Рассмотрим теперь один частный случай, когда u – гармоническая функция, а v  1 во всей области. Тогда, из второй формулы Грина в форме (2) очевидно следует тождество

 0. (5)

Если обратиться к постановке краевой задачи Неймана для уравнения Лапласа в области D:

 u(M) = 0 в D; _S = f(P),

То из тождества (5) следует, что неоднородность f(P) в краевом условии должна удовлетворять требованию

 0, (6)

Которое является необходимым условием существования решения такой задачи (равенство нулю полного заряда на границе области).

2. Теорема о среднем значении.

Пусть теперь формула (4) применяется к гармонической функции u(M) и фундаментальному решению (M, M₀) по сфере (или кругу, в случае R ² ), радиуса a , с центром в точке M₀ . Рассмотрим вначале двумерный случай с  (M, M₀) = . При выборе начала координат в точке M₀ , фундаментальное решение становится функцией от радиальной переменной:  = , то есть константой на окружности S: r = a . Тогда, первый интеграл в (4) равен

= 0 , ввиду (5). Следовательно,

u(M₀) = – , поскольку на окружности S = . Получаем

u(M₀) = . (7)

Формула (7) выражает тот факт, что гармоническая функция в центре круга равна среднему арифметическому своих значений на его границе (2a – длина окружности). Формуле (7) можно придать другую форму, если учесть, что она справедлива для любого круга радиуса

0  r  a. Тогда, вместо (7) имеем

u(M₀) = , или 2 r u(M₀) = . Интегрируя последнее равенство по r от 0 до a, получим

u(M₀) = . (8)

Формула (8) означает, что что гармоническая функция в центре круга равна среднему арифметическому своих значений по всей площади круга (a ² - площадь круга).

Аналогичное построение проводится и для трехмерного случая. При этом,  (M, M₀) = , то есть, , если начало координат – в центре сферы . Тогда из представления u(M₀) = – следует теорема о среднем значении в виде

u(M₀) = . (9)

Здесь 4a ² – площадь сферы . Выписывая (9) для сферы произвольного радиуса r от 0 до a, и интегрируя по r , как и прежде, равенство 4 r ² u(M₀) = , получаем

u(M₀) = , (10)

где V_a = 4/3a ³ - объем сферы.

3. Принцип максимума.

Теорема. Функция u(M), гармоническая в области D с границей D = S, и непрерывная в D S может достигать своего максимального (минимального) значения лишь на границе S области.

Пусть функция u(M), вопреки утверждению теоремы, имеет максимальное значение в некоторой внутренней точке M₀ области D. Построим шар (круг) с центром в точке M₀ , максимального радиуса, вписанный в область D . Он будет иметь с границей S по крайней мере одну точку касания. Применим к этому шару формулу средних значений (10), или (9).

Очевидно, что каждое из этих равенств невозможно, если на границе  этого шара (круга) значения функции u(M) равномерно меньше чем u(M₀). С другой стороны, эти значения ни в одной точке такой сферы (окружности) не могут, по нашему предположению, превышать значения u(M₀) . Преодолеть это противоречие можно лишь в том случае, если u(M)_  u(M₀). Но так как  имеет общие точки с границей S области, то значение u(M₀) принимается функцией u(M) по крайней мере в одной точке границы. Поскольку в качестве M₀ может быть взята произвольная точка области D, то наше предположение приводит к выводу о том, что если что функция u(M) принимает максимальное значение во внутренней точке области D, то это возможно лишь в случае u(M)  const всюду в D S.

Доказательство для случая минимального значения гармонической функции в области проводится точно также.

Следствие. Если для трех гармонических в области D функций u₁(M), u(M), u₂(M) на ее границе S справедливо неравенство u₁(P)  u(P)  u₂(P), то это же неравенство справедливо для них во всей области D.

Доказанный принцип максимума (минимума) позволяет достаточно прости доказать единственность решения краевой задачи Дирихле для функции, гармонической в области. Действительно, такая краевая задача имеет следующую постановку:

(11)

Здесь f(M) и g(P) - заданные непрерывные функции . Справедлива

Теорема единственности. Задача (11) имеет единственное решение.

Для доказательства достаточно предположить существование двух разных решений u₁(M) и u₂(M) задачи (11) и взять их разность v(M) = u₁(M)  u₂(M). Очевидно, что v(M) удовлетворяет однородной задаче

И поскольку максимальное (минимальное) значение v(M) принимает лишь на границе S. а оно равно 0, то v(M)  0 всюду в D S, То есть всюду в D S u₁(M)  u₂(M).

Данная теорема справедлива для задачи (11) как в R³ , так и в R² .

4. Теоремы единственности решений внешних задач.

Кроме краевых задач для гармонических функций в ограниченной области, существует аналогичный класс задач в неограниченных областях, таких как R³ \ D, R² \ D, содержащих бесконечно удаленную точку, и требующих априорной информации о поведении решения в этой точке. Начнем рассмотрение с задач в R³ \ D:

(12)

Если не ставит условие заданного поведения решения на бесконечности, то простейший пример показывает, что решение может быть не единственным. Пусть D является шаром, радиуса a . И пусть внешняя краевая задача имеет вид

где - const. тогда всем условиям такой задачи удовлетворяют два решения: u₁(M) = , и

u₂(M) = .

Теорема единственности внешней краевой задачи в R³ .

Задача (12) имеет единственное решение, если оно удовлетворяет дополнительному условию = 0. (13)

Для доказательства, поместим область D внутрь шара достаточно большого радиуса R и предположим существование двух разных решений u₁(M) и u₂(M) задачи (12), удовлетворяющих условию (13). Каждое из них на границе шара имеет оценку |u₁(M)/  ₁; |u₂(M)/  ₂ , где ₁ и ₂ - достаточно малые числа, ввиду условия (13). Тогда, их разность v(M) = u₁(M)  u₂(M) в двухсвязной области  с границами S и _R – сферой радиуса R , удовлетворяет краевой задаче

(14)

Где  = max{₁ , ₂ } . Следовательно, согласно принципу максимума, всюду в области  справедлива оценка . так как R произвольно, и при R  ,  0, то отсюда следует, что v(M)  0 всюду в R³ \ D, то есть, u₁(M)  u₂(M).

В случае двумерных внешних краевых задач в R² \ D:

(15)

требование (13) оказывается завышенным, что демонстрируется элементарным примером:

Решение этой задачи u(M)  в R² \ D. Однако, классу функций, удовлетворяющих условию (13) оно не принадлежит.

Теорема единственности внешней краевой задачи в R³ .

Решение задачи (15) единственно, если оно равномерно ограничено в бесконечности:

, (16)

где N – фиксирование положительное число.

Пусть, как и прежде, v(M) = u₁(M)  u₂(M) – разность двух различных решений задачи (15), удовлетворяющая однородной задаче (15) и условию |v(M)| = |u₁(M)  u₂(M)|  |u₁(M)| + |u₂(M)|  N₁ + N₂ = N. Взяв некоторую внутреннюю точку M₀ , построим две окружности: радиуса R, с центром в точке M₀ , целиком принадлежащую области D, и вторую окружность с тем же центром, радиуса R₁ , целиком содержащую область D внутри себя. Построим функцию

= . (17)

Здесь - текущий радиус из точки M₀ в произвольную точку M R² \ D. При этом,  R, и R₁  R. Таким образом, в числителе дроби (17) – положительная гармоническая в R²\D функция, в знаменателе – положительная константа. То есть, функция положительная и гармоническая в R²\D. Кроме того, на окружности радиуса R₁ она принимает значение N, и положительное значение на границе S области D . Следовательно, согласно следствию из принципа максимума, функция является мажорантой для модуля функции v(M):

|v(M)|  (18)

во всей двухсвязной области между границей S и внешней окружностью. Если зафиксировать произвольную точку M в этой двухсвязной области, и устремить радиус R₁ внешней окружности к бесконечности, то очевидно, что  0. Тогда, из неравенства (18) получаем v(M) = 0 , откуда следует единственность решения задачи (15).