л.1 ур-я в ч. производных 1-го порядка (Лекции по УрМатФизу)

Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка.

I. Линейным однородным уравнением в частных производных первого порядка в R³ называют равенство

P(x,y,z) + Q(x,y,z) + R(x,y,z) = 0 . (1)

Здесь u = u(x,y,z) – искомая функция, P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z) - достаточно гладкие функции своих аргументов. Если рассматривать их как компоненты векторного поля в R³ , то равенство (1) геометрически означает ортогональность этого векторного поля градиенту  u искомой функции. С каждым гладким векторным полем связано понятие векторных линий (или интегральных кривых) этого поля, определяемых как решения системы О.Д.У вида

= = , (2)

которая, введением параметра независимого t , может быть переписана в обычном виде

; ; .

Хорошо известно, что решения системы (2) могут быть выписаны в виде первых интегралов

₁ (x, y, z) = C₁ ; ₂ (x, y, z) = C₂ ; ₃ (x, y, z) = C₃ .

Взяв два из этих интегралов, ₁ (x, y, z) = C₁ ; ₂ (x, y, z) = C₂ , получим двухпараметрическое семейство линий, называемых характеристиками . Покажем, прежде всего, что левая часть любого интеграла  (x, y, z) = C системы (2) удовлетворяет уравнению (1). Действительно, вдоль любой интегральной кривой d  0, так как  =C.

Следовательно, вдоль такой кривой

d  = dx + dy + dz  0 . При этом, dx = Pdt ; dy = Qdt ; dz = Rdt, если x = x(t); y = y(t) ; z = z(t) – интегральная кривая в параметрической форме. Подставляя эти выражения в тождество, получим

( P + Q + R)dt  0 , или, так как dt  0 ,

P(x,y,z) + Q(x,y,z) + R(x,y,z)  0 . (3)

Тождество (3) означает, что интеграл удовлетворяет уравнению (1). Если теперь взять два любых первых интеграла ₁ (x, y, z) = C₁ ; ₂ (x, y, z) = C₂ системы (2), то

(₁ (x, y, z); ₂ (x, y, z)), где  - произвольная дифференцируемая функция, также будет ее интегралом, поскольку вдоль интегральных кривых (₁ (x, y, z); ₂ (x, y, z)) = ( C₁; C₂ ) = C . Получаем, что

u(x ,y, z) = (₁ (x, y, z); ₂ (x, y, z)) (4)

является решением уравнения (1). Покажем, что такое решение является единственным, то есть, если (x,y,z) - решение уравнения (1), то существует такая дифференцируемая функция (p, q) двух переменных, что (x,y,z) = (₁ (x, y, z); ₂ (x, y, z)).

Действительно, так как все три функции (x,y,z) ; ₁ (x, y, z); ₂ (x, y, z) являются решениями уравнения (1), то

P + Q + R = 0;

P + Q + R = 0; (5)

P + Q + R = 0.

Равенства (5) – однородная линейная система трех алгебраических уравнений относительно функций P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z), которые, очевидно, не равны нулю тождественно. Следовательно, определитель этой системы должен быть равен нулю:

= 0. (6)

Но этот определитель является якобианом функций (x,y,z) ; ₁ (x, y, z); ₂ (x, y, z), причем, ввиду независимости первых интегралов₁ (x, y, z); ₂ (x, y, z) , по крайней мере, один из миноров второго порядка ; ; отличен от нуля. В курсе математического анализа доказывается теорема о том, что в этой ситуации функция (x,y,z) является функционально зависимой от функций ₁ (x, y, z); ₂ (x, y, z). Что выражается в виде равенства

 =(₁ (x, y, z); ₂ (x, y, z). Это и доказывает наше утверждение.

II. Нелинейным (квазилинейным) неоднородным уравнением в частных производных первого порядка называют уравнение вида

P(x,y,z) + Q(x,y,z) = R(x,y,z) . (7)

Здесь z = z(x, y) – искомое решение, от которого зависят также коэффициенты уравнения (7). Это уравнение можно привести к линейному однородному, если искать решение в виде неявной функции

u(x,y,z(x, y)) = 0. (8)

Действительно, если z(x, y)) – решение уравнения (7), превращающее равенство (8) в тождество, то +  0; +  0; и подставляя значения производных =  / ; =  / , в уравнение (7), получим уравнение (1):

P(x,y,z) + Q(x,y,z) + R(x,y,z) = 0 .

Следовательно, процедура построения решения уравнения (7) сводится к предыдущей, но решение z = z(x, y) находится как неявная функция

(₁ (x, y, z); ₂ (x, y, z)= 0. (9)

III. Предыдущие решения не были единственными, в силу произвольности функции . Задачи на построение единственного решения ставится следующим образом.

Найти решение уравнения (1), или (7), проходящее через кривую, заданную уравнениями

₁ ( x, y, z)= 0, ₂ ( x, y, z)= 0.

Задача решается следующим образом. Если два первых интеграла ₁ (x, y, z) = C₁ ;

₂ (x, y, z) = C₂ системы (2) построены, составляется система четырех уравнений

₁ (x, y, z) = C₁ ;

₂ (x, y, z) = C₂ ; (10)

₁ ( x, y, z)= 0 ;

₂ ( x, y, z)= 0,

из которой последовательно исключаются переменные x, y, z. Остается одно равенство( C₁; C₂ ) = 0 , или C₁ =  (C₂ ), связывающее константы C₁; C₂ , причем функция , или  явно определена. После этого единственное решение задачи выписывается в виде (4), если решается задача с уравнением (1), или в виде (9), если решается задача с уравнением (7).

Замечание. Задача может иметь неединственное решение, если окажется, что два последних равенства системы (10) являются первыми интегралами системы (2), то есть, линия, ими определяемая является характеристикой. В этом случае через такую линию проходит бесконечное множество интегральных поверхностей.

Примеры.

1. Найти общий интеграл уравнения

+ = 1.

Составляя характеристическую систему уравнений dx = dy = dz , находим два первых интеграла этой системы в виде x – y = C₁ ; z – x = C₂ . Общее решение выписывается при этом в виде ( x – y ; z – x) = 0, где  - произвольная дифференцируемая функция. Можно выписать решение и в виде, разрешенном относительно z :

z = x + ( x – y ), где  - также произвольная дифференцируемая функция.

2. Построить интегральную поверхность уравнения

x – y = 0, проходящую через кривую x = 0 ; z = y² .

Интегрируя систему уравнений = = , получаем два первых интеграла:

z = C₁ ; x² + y² = C₂ . Исключая x , y , z из системы уравнений

z = C₁ ; x² + y² = C₂ ; x = 0 ; z = y² , получаем связь между C₁ и C₂ в виде C₁ = C₂ , откуда следует z = x² + y² .