л.1 постановки задач. ур. Лапласа (Лекции по УрМатФизу)

Постановки основных краевых задач для уравнения Лапласа.

Многие задачи физики и естествознания допускают в качестве своей математической модели простейшее уравнение эллиптического типа

 u = 0, (1)

где  = , в случае двумерных задач (нет зависимости решения u от третьей координаты), или  = в трехмерном случае (зависимость решения от всех трех координат). Уравнение (1) называется уравнением Лапласа.

Определение. Функция u(x,y,z) (или u(x,y), в двумерном случае), удовлетворяющая в некоторой области пространства (ограниченной, или неограниченной) уравнению (1) называется гармонической в этой области.

Приведем некоторые примеры физических задач, приводящих к уравнению Лапласа.

1. Стационарное тепловое поле.

В предыдущей части курса было получено нестационарное уравнение теплопроводности

u_t = a ² u . (2)

При t   решение u такого уравнения перестает зависеть от времени (температурный режим становится стационарным). То есть, начиная с некоторого момента времени распределение температуры в пространстве от времени практически не зависит от времени. Следовательно, левая часть уравнения (2) обращается в ноль, и установившееся распределение температуры описывается уравнением Лапласа (1).

Если задача для уравнения (2) решается в некоторой области D, с границей S, то на этой границе должны выполняться некоторые предельные граничные условия. В случае уравнения теплопроводности такие условия были рассмотрены в предыдущем разделе. Они сохраняются и в стационарном случае уравнения (1):

а) u | _S = f(P); - на границе поддерживается постоянная температура.

в) = g(P); - на границе поддерживается постоянный тепловой поток; (3)

г) + hu = q(P); - теплообмен с внешней средой по закону Ньютона.

Здесь f, g, q - известные функции. Краевые условия (3) носят названия условий первого, второго и третьего рода. Задачу с краевым условием а) называют еще задачей Дирихле , а с условием в) - задачей Неймана.

1. Потенциальное течение жидкости.

При безвихревом (ламинарном) течении несжимаемой жидкости ее скорость v в каждой точке является потенциальным вектором, который может быть представлен как градиент некоторой скалярной функции, u - потенциала скоростей:

v =  grad u .

Если в рассматриваемом объеме отсутствуют источники жидкости, то это выражается равенством

div v = 0.

Подставив в это равенство предыдущее выражение для скорости, получаем равенство

div grad u =  u = 0, - уравнение Лапласа для потенциала скоростей.

Наиболее распространенное краевое условие в этом случае, - условие жесткой стенки: нормальная компонента скорости равна нулю, что приводит к краевому условию Неймана:

= 0.

При этом, в случае наличия источников, уравнение Лапласа может быть неоднородным (иметь правую часть).

1. Электростатическое поле.

Пусть в однородной проводящей среде имеется некоторое распределение электрических зарядов, плотность которых описывается функцией ( x,y,z). Известно, как следствие из системы уравнений Максвелла, что электростатическое поле E связано с этой функцией равенством

divE = 4( x,y,z). (4)

Кроме того, из второго уравнения Максвелла , в случае независимости полей от времени следует , - потенциальность электрического поля. Следовательно, существует скалярная функция u(x,y,z), - потенциал электростатического поля, такая, что

E =  grad u. (5)

Подставляя поле E из равенства (5) в (4), получим для u

 u =  4( x,y,z), (6)

- неоднородное уравнение Лапласа, которое часто называют уравнением Пуассона.

Если задача решается в некоторой области, граница которой является идеальным проводником, то естественное краевое условие на этой границе – равенство нулю на этой границе касательной компоненты электрического поля E , что соответствует краевому условию первого рода для потенциала u :

u | _S = 0 .