16-20(готово) (Готовые билеты 2006-го года)

Билет №16.

1.Дать определение порядка малости (роста) одной бесконечно малой (большой) ф-ции относительно другой. Привести примеры выделения главной части бесконечно малых и бесконечно больших ф-ций

Пусть при 0<C<+∞, тогда: а) если ф-ции α(х), (х) б.м. при хх0, то ф-ция α(х) наз. б.м. порядка k(малости) относительно (х) при хх0; б) если ф-ции α(х), (х) б.б. при хх0, то ф-ция α(х) наз. б.б. порядка k(роста) относительно (х) при хх0.

Пусть при 0<C<+∞, тогда , где ф-ция (х) б.м. или б.б. при хх0; ф-ция С((х))^k называется главной частью б.м. или б.б. ф-ции α(х).

Пример: Найти порядок малости относительно х и главную часть б.м. при х0 ф-ции . Порядок малости определяется k из условия, 0<C<+∞, при k=2/3. Отсюда следует, что порядок малости k=2/3, т.е. f(x)~2х^2/3 при х0 или f(x)=2x^2/3+o(x^2/3).

Найти порядок роста относительно х и главную часть б.б. при х+∞ функции . f(x)=2x^2/3+3*x^3/2=3x^2/3(1+(2/3)*x^(-5/6))~3x^2/3 при х+∞, поскольку . Таким образом, главная часть б.б. при х+∞ ф-ции f(x) есть 3х(3/2), порядок роста относ. Х равен 3/2.

2. Сформулировать и доказать достаточное условие монотонности дифференцируемой функции.

f(x) дифференцируема в Х и f’(x)≥0 (f’(x)≤0 для хХ  f(x) возрастает (убывает) для хХ.

Док-во. Пусть х1,х2Х и х1<x2. Применяя к f(x) теорему Лагранжа на отрезке [x1,x2] имеем f(x2)-f(x1)=(x2-x1)*f’(c), где х1<c<x2, но f’(c)≥0, поэтому f(x2)≥f(x1), т.е. f(x) возрастает на Х. Аналогично убывание.Если f(x)>0 для хХ, то f(x) строго возрастающая ф-ция на Х, но ф-ция f(x) может возрастать на Х и в то же время иметь в некоторых точка f’(x)=0. Пусть ф-ция f(x) непр в промежутке, содер т х0, говорят, что в точке х0 ф-ция f(x) имеет максимум (минимум), если  такая окрест. точки х0, что в каждой точке х≠х0 этой окрест. выполняется условие f(x)<f(x0) (f(x)>f(x0)), т.е. значение f(x0) является наиб (наим) в окрест. т.

3. Исследовать функцию и построить ее график.y=3-2/x-1/x^2.

D(y)=R {0}; ф-ция общего вида; непериодичная.х=0 – вертикальная асимптота. y=3 – горизонтальная асимптота. 3)y’=2/x^2+3/x^3; x=-1 – точка максимума.

4)y’’=-4/x^3-6/x^4; x=-3/2 – точка перегиба, от -∞ до -3/2 выпукла вниз, дальше вверх.

Билет №17.

1. Дать определение одностороннего предела функции при хх0 и доказать теорему о связи между пределом функции и ее односторонним пределами.

1) предела слева.Пусть f(x) определена на пром-ке (а; х0). Тогда говорят, что предел слева в т. х0 равен А (limf(x)=A хх0-0), если ε>0 ∂>0:x(x0-∂,x0) вып. f(x) Uε(A).

2) предел слева.Пусть f(x) определена на пром-ке (x0; b). Тогда говорят, что предел справа в т. х0 равен А (limf(x)=A при хх0+0), если ε>0 ∂>0:x(x0,x0+∂) вып. f(x) Uε(A).Теорема: пусть f(x) определен в проколотой окрестности U∂(x0). Тогда limf(x)=A xx0   limf(x)=A xx0+0 и одновременно  limf(x)=A xx0.

Д ок-во: т.к. limf(x)=A xx0ε>0 ∂1>0: x(x0;x0+∂1)=>f(x)U∂1(x0); Аналогично limf(x)=A xx0ε>0 ∂2>0: x(x0-∂2;x0)=>f(x)U∂2(x0);

Очевидно, что ∂(∂1, ∂2), но с другой стороны (x-∂;x0) (x0;x0+∂)=U∂(x0) проколота

2. Сформулировать основные правила дифференцирования (производна суммы, произведения, частного) и доказать одно из них.

1. Производная константы равна 0 (c=const)’=0;

2. Пусть u(x) и v(x) дифференцируемы в т. Х, тогда ф-ции u(x)v(x), u(x)*v(x), u(x)/v(x) так же дифференцируемы в этих точке x:

(u(x)v(x))’=u’v’; (u*v)’=u’*v+u*v’; (u/v)’=(u’*v-u*v’)/v^2.

Докажем последнее:

3. Исследовать функцию и построить ее график.

y=x/lnx.ОДЗ x>0. общего вида, непериодичная. асимптот нет.y’=xln(x)=ln(x)+1=> x=e^-10.3y’’=1/x – точек перегиба нет.

Билет №18.

1. Дать определение сходящейся последовательности и доказать ее ограниченность.

Если liman=AR при n∞, то такая последовательность наз. сходящейся.

Теорема: всякая сходящаяся последовательность является ограниченной.

Док-во. Дано liman=AR при n∞. Пусть ε=1=>NN, n≥N:|an-A|< ε; |an-A|<1;

|an|≤1+|A|(1). Положим M=max{|a1|,|a2|,...,|an-1|,|A+1|} Докажем, что n вып. |an|≤M, т.е. это и будет ограничением последовательности. Пусть n<N, тогда |an|<M. Пусть n≥N, для таких an верно нер (1). |an|≤|A|+1=>|an|+1≤M. Вывод |an|<M.

2. Вывести формулы для нахождения производных сложных и обратных функций.

Производная сложной функции. xyz=f(x) (т.е. z(y(x))). Если y=y(x) – диф-ма в т.х0, а z=z(y) диф-ма в т y0=y(x0), то сложная функция z=z(y(x)) тоже дифференцируема в т х0, причем f’(x0)=z’(y0)*y’(x0). Z’x=Z’y*Y’x.

Док-во Введем вспом ф-цию g(x)= (z(y)-z(y0))/(y-y0) и одновременно z’(y0) (y≠y0)(1.

= =z’(y0)=g(y0). Рассмотрим ф-цию y=y(x). По условию она дифференцируема в т х0=> по теореме о непрерывности дифференцируемой ф-ции она также дифференцируема в т х0. g(y)-тоже сложная ф-ция, т.е. g=g(x), причем у нее внутри y(x) и внешняя g(y) – непр.=> по теореме о непрерывности сложной ф-ции g(y(x))) непр. В x0.

Из (1) => z(y)-z(y0)=z’(y-y0)*g(y)(2). Верно при: При y≠y0, т.к. выражается из первой строки (1). При y=y0: z(y)-z(y0)=z’(y0)g(y0)=>z(y)-z(y0)=(y-y0)g(y0).

Перепишем равенство (2) в виде

z(y(x))-z(y(x0))=(y(x)-y(x0))*g(y(x));

g(x)-f(x0)=(g(x)-g(x0))g(y(x0)).

Рассмотрим

Производная обратной ф-ции.

Пусть y=y(x) – определена, монотонна и непр в U∂(x0) и пусть y’(x0) R {y’(x0)≠0}. Тогда обратная ф-ция x=x(y) диф-ма в x0 y0=y(x0) и x’(y0)=1/y’(x0), т.е. y’_x=1/x’_y.

Док-во. По теореме о непр. Ф-ции x=x(y) непр в т y0.

(4)F(x)=(y(x)-y(x0))/(x-x0) (x≠x0) и одновременн y’(x0), x=x0. f(x) непр в x0. = =y’(x0)=f’(x0);

x=x(y) непр. в т y0. Рассм обр. ф-цию x=x(y): y(x)y – теперь аргумент, xx(y) –ф-ция. Если х≠х0, то у≠у0=>равенство (4) при у≠у0 можно записать так: f(x(y))=(y-y0)/(x(y)-y0).

Составляем предел:

= = = = .

3. Исследовать ф-цию и построить ее график y=(3-x)^1/3+(1-x)^1/3.

1) D(y)=R, нечетная, непериодичная.2) асимптот нет, т.к. при поиске второго предела равен бесконечности.3) ф-ция убывает на всей ОДЗ. x=2 (значения при х=1 и х=3 учитываем) получаем точки перегиба от -∞до1 выпукла вверх, 1 до 2 вниз, от 2 до 3 вниз, от 3 до ∞ вниз.

Билет № 19.

1. Дать определение конечного предела по Коши при хх0 и доказать теорему о сохранении знака ф-ции своего предела.

Пусть задана ф-ция fX->R и задано A R расширенной, x0R расшир., тогда А называется пределом ф-ции f(x) при x->x0 и обозн. A=limf(x) при x->x0, если ε>0 ∂>0: xпроколотой U∂(x0)=> f(x0) Uε(A).

Теорема. Если limf(x)=AR xx0, A≠0, то∂>0:xU∂(x0)проколотой выполняется: 1) f(x)>0, если А>0; 2) f(x)<0, если А<0.

Док-во. От противного. Предположим ∂>0:x:U∂(x0)прокол. Вып. F(x)<0, но тогда {xn}(посл. Гейне) {f(xn)}A. Но т.к. {f(x)}<0, то {f(xn)}<0, но тогда limf(xn)<0 n∞, но это противоречит тому, что А>0.

2. Рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на замкнутом интервале(отрезке). Привести пример.

1) Находим значение функции на концах отрезка.

2) Находим экстремумы функции. Значение ф-ции в точках экстремума.

3) Сравниваем полученные значения.

Пример:… моно взять ф-цию из билета и с ней поработать.

3. Исследовать функцию и построить ее график: y=(1-x^3)^1/3.

1) D(y)=R, нечетная, непериодичная.2) асимптота y=-x.3) y’=, фун уб наОДЗ.

Билет №20.

1. Сформулировать свойства б.м. ф-ций и доказать одно из них.

Теорема 1. (о связи ф-ции, ее предела и б.м.)

limf(x)=AR xx0f(x)=A+α(x), где α(x)-б.м. при хх0.

До-во: т.к. limf(x)=AR xx0, то ε>0 ∂>0:xU∂(x0)прок. Вып. |f(x)-A|<ε(1). Обозн f(x)-A=α(x), тогда (1) перепишется так: |α(x)|<ε(2), т.е. α(x)-б.м. при xx0. Выражаем f(x)=a+α(x).

Теорема 2 о сумме б.м.

Если α(х)-б.м. и (х)-б.м. при хх0 g(x)= α(х)+ (х) – б.м. хх0.

Теорема 3 произведение б.м. на ограниченную.

Если α(х) – б.м., (х) – огран. U∂(x0), то α(х)(х) при хх0.

2. Сформулировать правило логарифмического дифференцирования и рассказать о его применении. Привести примеры.

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать. К таким случаям можно отнести степенно-показательные ф-цию y=u^v, где u=u(x) и v=v(x) – заданные дифференцируемые ф-ции от х. Найдем производную этой ф-ции: lny=v*lnu => (1/y)*y’=v’*lnu+v*(1/u)*u’ =>y’=y*(v’*lnu+v*(1/u)*u’), y’=u(^v)*(v’*lnu+v*(1/u)*u’).Пример ф-ция:из задачи.

3. Исследовать ф-цию и построить ее график: y=(2-x)*e^(2x-1).

1) ф-ция общего вида, непериодичная.

2) асимптот нет.

17(*;/)

16

19.

20.

18

18

18