Расчет трехшарнирных рам на неподвижную и подвижную нагрузки

22

Московский государственный университет

путей сообщений (МИИТ)

Кафедра «Строительная механика»

Г.А. Нольде, В.Д. Рыбин, В.А. Дибров

Расчет трехшарнирных рам

на неподвижную и подвижную нагрузки

Рекомендовано редакционно-издательским

Советом университета в качестве

методического указания

для студентов строительных специальностей

Москва - 2007

Московский государственный университет

путей сообщений (МИИТ)

Кафедра «Строительная механика»

Г.А. Нольде, В.Д. Рыбин, В.А. Дибров

Расчет трехшарнирных рам

на неподвижную и подвижную нагрузки

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Строительная механика»

для студентов строительных специальностей

Москва - 2007

УДК 624.07

Н 80

Нольде Г.А., Рыбин В.Д., Дибров В.А. Расчет трехшарнирных рам на неподвижную и подвижную нагрузки: Методические указания. – М.: МИИТ 2007. – 22 с.

Приведены примеры определения опорных реакций и внутренних усилий в трехшарнирной раме от неподвижной нагрузки. Указаны основные приемы построения линий влияния реакций и усилий в трехшарнирной раме

© Московский государственный университет

путей сообщений (МИИТ), 2007

РАСЧЕТ ТРЕХШАРНИРНОЙ РАМЫ

1. Расчет трехшарнирной рамы на действие

неподвижной нагрузки

На рис.1 показана трехшарнирная рама, загруженная неподвижной нагрузкой кН/м. Определим опорные реакции и построим эпюры внутренних усилий: изгибающих моментов , поперечных сил , нормальных усилий . Расчет будем вести аналитическим методом.

Рис. 1

Определение и проверка опорных реакций

Составляя уравнения равновесия системы: сумму моментов всех сил относительно шарнира и сумму моментов правых сил относительно шарнира С - получим систему уравнений, в которые кроме нагрузки войдут только реакции и ,

: ;

; . Решая систему уравнений, получим

кН ; кН.

Реакции и определим из условий равновесия и всех сил, действующих на раму,

; ; кН;

; ; кН.

Для проверки найденных реакций используем те условия равновесия, которые не применялись при их определении: сумму моментов всех сил относительно шарнира и сумму моментов левых сил относительно шарнира

;

.

Оба уравнения равновесия удовлетворяются. Значит, реакции найдены правильно.

Реакции и можно определить другим путем (так же, как и реакции и ), составив уравнения равновесия и . Решив совместно эти уравнения, получим реакции и . Тогда в качестве проверки реакций следует использовать уравнения равновесия и . Этот путь несколько сложнее, так как систему двух уравнений надо решать дважды.

Построение эпюр внутренних усилий

Для определения внутренних усилий , , используем метод сечений, составляя уравнения равновесия для отсеченной части под действием внешних нагрузок (к которым относятся и опорные реакции) и внутренних усилий. Правило знаков для внутренних усилий: ординаты изгибающих моментов будем откладывать со стороны растянутых волокон; поперечные силы положительны, если они вращают выделенный элемент рамы по часовой стрелке; нормальное усилие положительно, если оно растягивающее. На горизонтальных участках ординаты эпюры лучше откладывать, как в балке: положительные ординаты наверх, отрицательные – вниз. На остальных элементах рамы безразлично, с какой стороны откладывать ординаты, важно указать знак. На эпюре продольных сил можно откладывать с любой стороны элементов рамы, обязательно указав знак.

Разделим раму на следующие пять участков (рис.1), в пределах которых закон изменения внутренних усилий остается постоянным: левая стойка А-1, загруженный нагрузкой горизонтальный участок 2-С-3, незагруженный горизонтальный участок 3-4, правая наклонная стойка 5-В, консольная часть рамы 6-7.

Характер изменения внутренних усилий на каждом из этих участков мы знаем заранее (согласно зависимостям между внутренними усилиями и нагрузкой, известными из сопротивления материалов) и воспользуемся этим при построении эпюр. Сразу заметим, что консоль рамы (участок 6-7) не загружена нагрузкой, поэтому все внутренние усилия , , на этом участке равны нулю. В этом легко убедиться, если рассмотреть равновесие отсеченной консоли.

Определим сначала ординаты эпюры поперечных сил . На участке 2-3, загруженном равномерно распределенной нагрузкой , поперечные силы меняются по линейному закону; на всех остальных участках поперечные силы постоянны в пределах длин участков. Для определения поперечных сил составим следующие уравнения равновесия отсеченных частей рамы:

1. (рис.2,а);

кН;

2. ; (рис.2,б);

кН;

3. (рис.2,г,д);

кН;

4. (рис.2,в);

;

кН.

По этим ординатам строим эпюру (рис.3,а). Определим расстояние (рис.3,а) от опоры А до сечения, в котором , (рис.2,е)

; (м).

Это расстояние понадобится для определения экстремального значения момента на участке 2-3.

Определим ординаты эпюры изгибающего момента М.

На участке 2-3, загруженном нагрузкой , изгибающие моменты меняются по закону квадратной параболы, на остальных участках – по линейному закону. В шарнирах А, В, С изгибающие моменты равны нулю. Для определения ординат эпюры М составим следующие уравнения равновесия:

1. (рис.2,а)

кН м (растянуты левые волокна);

2. (рис.2,б)

кН м (растянуты верхние волокна);

3. (рис.2,д)

кН м

(растянуты верхние волокна);

4. (рис.2,г)

кН м

(растянуты верхние волокна);

5. (рис.2,в)

кН м (растянуты правые волокна).

Знак минус у ординат моментов указывает на то, что изгибающие моменты действуют не так, как показано на рис.2, а в противоположную сторону.

Рис. 2

По найденным значениям ординат строим эпюру М (рис.3,б). Ординаты эпюры откладываем со стороны растянутого волокна. Обратим внимание на то, что для построения кривой на участке 2-3 мы имеем три ординаты: в сечении 2 момент кН м, в сечении 3 момент кН м, в шарнире С момент . Но для более точного построения эпюры М определим экстремальное значение момента в сечении на расстоянии

м (рис.3,б) от опоры А (в этом сечении ). Рассмотрев равновесие отсеченной части рамы, показанной на рис.2,е, получим

;

кН м (растянуты нижние волокна).

Определим ординаты эпюры нормальных сил . Для этого составим следующие уравнения равновесия:

1. ; (рис.2,а)

кН (сжатие);

2. (рис.2,б,г,д)

кН (сжатие);

3. (рис.2,в)

;

кН (сжатие)

Рис. 3

2. Построение линий влияния опорных реакций и

внутренних усилий в сечении трехшарнирной рамы Для построения линий влияния опорных реакций и внутренних усилий в сечении К рамы (рис.5) используем аналитический (статический) метод.

2.1. Линия влияния вертикальной реакции

Рассмотрим положение вертикального подвижного груза левее шарнира на расстоянии от опоры (рис.4,а). При таком положении силы известно направление реакции - она проходит через шарнир (только при этом условии момент правых сил относительно шарнира равен нулю). Используем это обстоятельство, составив условие равновесия – сумму моментов относительно точки , в которой пересекаются реакции и (рис.4,а). Дополнительное расстояние м определяем из геометрических соображений.

; ;

.

Ординаты линии влияния :

в т. А , ;

в т. С , .

По этим ординатам строим прямую линии влияния левее шарнира (рис.5,а). Обратим внимание, что эта прямая пересекается с базой линии влияния в точке (рис.5,а).

Рассмотрим положение силы правее шарнира на расстоянии от опоры (рис.4,б). Теперь известно направление реакции - через шарнир . Разложим реакцию на две составляющие и

Рис. 4

в точке - точке пересечения реакции с горизонтальной составляющей реакции на опоре . Составим уравнение равновесия

; ;

.

Ординаты линии влияния :

в т. С ; ;

в т. В .

По этим ординатам строим прямую линии влияния правее шарнира С (рис.5,а).

Таким образом, основным положением силы Р=1 при построении линии влияния является участок левее шарнира С. Построив линию влияния на этом участке, ее можно достроить, соединив ординату в шарнире С с нулевой ординатой на опоре В.

2.2. Линия влияния вертикальной реакции

Если линия влияния вертикальной реакции построена, то проще всего получить уравнение линии влияния из условия (рис.5)

,

откуда при любом положении силы

.

По этому выражению строим линию влияния (рис.5,б).

Другим способом построения линии влияния можно отметить путь, аналогичный построению линии влияния .

Сначала рассматриваем положение груза правее шарнира С (рис.4,б) , реакция проходит через шарнир С. Из условия

получим

.

Ординаты линии влияния на участке ВС:

в т. С х=6, ,

в т. В х=10, .

Далее на участке левее шарнира С достраиваем линию влияния , соединив ординату в шарнире С с нулевой ординатой на опоре А (рис.5,б).

Рис. 5

2.3. Линия влияния распора

При вертикальной подвижной силе Р=1 из условия равновесия следует, что при любом положении силы Р.

Рассмотрим положение силы Р=1 левее шарнира С (рис.4,а). В точке пересекаются направления реакций и , проходящей через шарнир С. Для определения распора используем уравнение равновесия .

,