Расчет статически определимых ферм на неподвижную и подвижную нагрузки

41

Московский государственный университет

путей сообщений (МИИТ)

Кафедра «Строительная механика»

Г.А. Нольде, В.Д. Рыбин, В.А. Дибров

Расчет статически определимых ферм

на неподвижную и подвижную нагрузки

Рекомендовано редакционно-издательским

Советом университета в качестве

методического указания

для студентов строительных специальностей

Москва - 2007

Московский государственный университет

путей сообщений (МИИТ)

Кафедра «Строительная механика»

Г.А. Нольде, В.Д. Рыбин, В.А. Дибров

Расчет статически определимых ферм

на неподвижную и подвижную нагрузки

Методические указания к практическим занятиям

по дисциплине «Строительная механика»

для студентов строительных специальностей

Москва - 2007

УДК 624.07

Н 80

Нольде Г.А., Рыбин В.Д., Дибров В.А. Расчет статически определимых ферм на неподвижную и подвижную нагрузки: Методические указания. – М.: МИИТ 2007. – 42 с.

Приведены примеры определения реакций в опорах и усилий в стержнях балочно-консольной и консольной ферм от неподвижной нагрузки. Указаны основные приемы построения линий влияния усилий в элементах ферм. Определены усилия в стержнях фермы с помощью линий влияния. Приведен пример определения экстремальных значений усилий от подвижной нагрузки

© Московский государственный университет

путей сообщений (МИИТ), 2007

1. РАСЧЕТ ФЕРМ

1.1. Определение усилий в стержнях ферм от неподвижной равномерно распределенной нагрузки.

При расчете на распределенную нагрузку учитывают, что фактически ферма загружена узловыми силами, так как нагрузка непосредственно действует на дополнительные элементы (в мостовых фермах на элементы проезжей части), которые и передают ее в узлы фермы. Поэтому всю распределенную нагрузку можно заменить узловыми силами. Для более краткой записи уравнений равновесия при использовании метода сечений распределенную нагрузку удобнее заменять узловыми силами только на участках рассекаемых панелей.

1.1.1. Определение усилий в стержнях балочно-консольной фермы.

Определим усилия в стержнях, отмеченных чертой на схеме (рис.1) от равномерно распределенной по длине верхнего пояса нагрузки q= 4кн/м. Длина панели d = 6м. Нумерация узлов фермы произвольная.

Используемая система координат показана на рис.1. Исходя из размеров фермы, найдем необходимые в дальнейшем величины:

; ; ; ─ расстояние от точки 13 на направление стержня 6-7.

Для определения усилий в большинстве отмеченных стержней необходимо знать опорные реакции:

; ;

Рис.1

; .

Усилие в стержне 5-7 верхнего пояса ( )

Для определения усилия используем метод сечений и способ моментной точки. Проводим сечение 1-1 (рис.1), нагрузку q на рассекаемой панели 5-7 заменяем двумя узловыми силами (рис.2) и составляем уравнение равновесия в виде суммы моментов левых сил относительно точки 6 –точки пересечения осей двух других рассекаемых сечением 1-1 стержней 6-7 и 6-8 (момент усилий в этих стержнях относительно точки 6 равен нулю).

; - сжатие.

Рис.2

Усилие в стержне 8-10 нижнего пояса ( )

Усилие определим по способу моментной точки. Проводим сечение 2-2 (рис.1), нагрузку на панели 7-9 заменяем узловыми силами и составляем уравнение равновесия – сумма моментов правых сил относительно точки 7 (рис.3)

; - растяжение.

Рис.3

Усилие в раскосе 6-7 ( )

Используем схему сил на рис.2. Из уравнения равновесия в виде суммы моментов левых сил относительно точки 13 (точки пересечения направлений осей стержней 6-8 и 5-7) получим

;

- сжатие.

Усилие в раскосе 7-10 ( )

Это усилие определим по способу проекций, используя схему сил на рис.3.

;

- сжатие.

Усилие в стойке 3-4 ( )

Вырезаем узел 3 (рис.1), нагрузку на участке 1-5 заменяем узловыми силами.

В узле 3 действует сила (рис.4). Из уравнения равновесия для вырезанного узла (рис.4) имеем

; - сжатие.

Усилие в стойке 5-6 ( )

Усилие определяем по методу сечений (сечение 3-3 на рис.1) в сочетании со способом моментной точки, за которую следует принять точку 13. Используем схему сил, показанную на рис.2

- растяжение.

Усилие в стойке 7-8 ( )

Усилие определяем, вырезая нижний узел 8 (рис.1 и рис.5). Уравнения равновесия для узла 8 будут

;

.

Из этих уравнений получим

; .

Учтя, что ранее найдено усилие , имеем

-

растяжение.

1.1.2. Определение усилий в стержнях консольной фермы.

Расчетная схема фермы с равномерно распределенной по нижнему поясу нагрузкой q = 4кН/м показана на рис.6. Воздействие подвесного пролета 10-11 на ферму удобнее заменить узловой силой , равной опорной реакции для подвесного пролета от нагрузки q на нем (рис.7).

Рис.6

Рис.7

Усилие в стержне 3-5 верхнего пояса ( )

Для определения усилия проводим сечение 1-1 (рис.7) и используем способ моментной точки, за которую принимаем точку 4. При этом удобнее рассмотреть равновесие свободной правой части фермы, отсекаемой сечением 1-1. Нагрузку на рассекаемой панели 2-4 заменяем узловыми силами (рис.8).

Рис.8

; .

Исходя из размеров фермы (рис.7), найдем - расстояние от точки 4 до направления 3-5

; .

Окончательно подсчитываем значение усилия

-(растяжение).

Усилие в стойке 3-4 ( )

Усилие определяем по способу моментной точки, используя схему сил, показанную на рис.8. За моментную точку принимаем точку К на пересечении продолжений осей стержней 3-5 и 2-4, находящуюся посредине панели 6-8.

;

- сжатие.

Усилие в стойке 5-6 ( )

Для определения усилия проводим сечение 2-2 (рис.7) и используем способ проекций, рассматривая равновесие правой отсекаемой части фермы. Нагрузку q на рассекаемой панели 4-6 заменяем узловыми силами (рис.9).

Рис.9

;

- растяжение.

1.2. Построение линий влияния усилий в стержнях ферм.

Линии влияния усилий в стержнях ферм будем строить статическим (аналитическим) методом с учетом узловой передачи нагрузки. Аналогично определению усилий в стержнях от неподвижной нагрузки будем применять метод сечений в сочетании со способом моментной точки или способом проекций и метод вырезания узлов.

1.2.1. Построение линий влияния усилий в стержня балочно- консольной фермы.

Для построения линий усилий в стержнях применяем те же способы и приемы, что и при определении усилий в соответствующих стержнях от неподвижной нагрузки (п.1.1.1). При использовании сечений, проходящих между опорами, линии влияния усилий в стержнях строим с помощью линий влияния опорных реакций, которые считаем известными (рис.10,б и 10,в).

Линия влияния усилия в стержне 5-7 (л.в. )

Проведя сечение 1-1 через три стержня (рис.10,а) и используя способ моментной точки (таковой является точка 6), составляем выражения для левой и правой прямых.

Груз слева от сечения (на участке 1-5)

;

Строим левую прямую:

узел 1 - ; узел 5 - .

Груз справа от сечения (на участке 7-13)

;

Строим правую прямую:

узел 7 - ;

узел 11 - ;

узел 13 - .

На участке 5-7 проводим передаточную прямую, соединив ординаты в узлах 5 и 7 прямой (рис.10,г).

Линию влияния можно построить и таким способом. Левую прямую можно получить увеличением ординат линии влияния реакции (л.в. ) в 2.25 раза и переменой знака, а правую прямую - увеличением ординат л.в. в 1.5 раза и тоже с переменой знака. Строим левую прямую, отложив под правой опорой от базиса (линии отсчета) вниз ординату 2.25 (при грузе над правой опорой ) и соединяем ее с нулевой ординатой под левой опорой (точка ). На эту левую прямую (рис.10,г) сносим узлы 1, 3, 5, расположенные слева от сечения 1-1, и выделяем штриховкой линию влияния на участке 1-5 (правее узла 5 левая прямая показана пунктиром). Затем строим правую прямую, отложив под левой опорой вниз ординату 1.5 и соединив ее с нулевой ординатой под правой опорой (точка ). Сносим на правую прямую узлы 7, 9, 11, 13, расположенные справа от сечения 1-1 и выделяем штриховкой л.в. на участке 7-13. Далее строим передаточную прямую при движении груза по рассекаемой панели 5-7, для чего соединяем ординату л.в. при грузе в узле 5 (точка на рис.10,г) с ординатой при грузе в узле 7 (точка ). Для линии влияния передаточная прямая совпала с правой прямой и на рис.10,г выделена более жирной линией.

Следует отметить, что если выражения левой и правой прямых получены из уравнений суммы моментов, то левая и правая прямые должны пересекаться под моментной точкой (точка 6 для л.в. ).

Окончательная л.в. показана на рис.10,г ломаной линией .

Линия влияния усилия в стержне 8-10 (л.в. )

Используем сечение 2-2 (рис. 10,а) и способ моментной точки (точка 7).

Груз слева от сечения (на участке 1-7)

Груз справа от сечения (на участке 9-13)