SEMINAR5 (Семинары), страница 2

Г) Логическая зависимость и независимость высказываний.

Нахождение явного вида логической зависимости

Каждая б.ф. имеет два значения истинности. Следовательно, функций могут образовывать комбинаций значений истинности. По определению, б.ф.: являются независимыми, если в совокупности при всевозможных значениях аргументов они могут принимать все комбинаций значений истинности. Следовательно, для проверки независимости функций необходимо по отношению к базису вычислить их изображающие числа и проверить, образуют ли столбцы набора изображающих чисел все чисел. Если имеются все чисел, то функции независимы.

Например, функции и независимы, так как

Столбцы наборов образуют числа соответственно. Т.е. образуются все чисел.

А функции , , зависимы, ибо столбцы набора

имеют только числа , а числа и отсутствуют, но .

Для того, чтобы найти явную форму логической связи зависимых булевых функций в виде , необходимо найти изображающее число , которое формулируется следующим образом: На тех позициях , где есть числа, полученные в столбцах набора , ставим , в противном случае .

Получим уравнение

Его отрицание

Например, рассмотрим функции:

Из полученного набора чисел отсутствуют числа и .

Следовательно,

Преобразуя это выражение, получим все зависимости между и :

Проверка на совместимость высказываний

Если , то в совокупности все высказывания несовместны, т.е. среди них есть противоречивые. Для исключения противоречивых высказываний необходимо последовательно исключать из произведения по одному , до тех пор, пока не станет .

Например,

При исключении . Следовательно, высказывание противоречит стальным.

Д) Решение булевых уравнений с помощью перестановочной матрицы.

Решение б.у. сводится к выражению одних переменных через другие. Понятие замены переменных в булевой алгебре аналогично этому понятию в обычной алгебре. Общая методика решения булевых уравнений состоит в следующем:

1. По описанию задачи выделяются элементарные высказывания.

2. В соответствии с сутью задачи составляются булевы выражения (уравнения).

3. Определяются изображающие числа булевых функций в соответствующих базисах.

4. Находится соответствие между столбцами, имеющими одинаковые числа с помощью перестановочной матрицы.

5. По полученным изображающим числам восстанавливается явный вид б.ф.

Подводя итог первому вопросу необходимо дать такое резюме:

суть логической выработки смысловой информации с целью получения содержательных выводов состоит в том, чтобы пользуясь некоторыми логическими соотношениями, например: соотношениями эквивалентности, выразить булевы функции, стоящие в правых частях этих соотношений, через логические переменные, от которых зависят правые части (или наоборот). Затем дать интерпретацию полученным формулам на обычном языке.

Учебный вопрос № 2.

Задача обработки разведанных с использованием перестановочной матрицы.

Разведчик, проводивший в течении некоторого времени наблюдения за действиями противника с целью выявления способов преодоления системы ПВО, представил своему командованию доклад следующего содержания:

1. На больших высотах при малой облачности прорыв ПВО производится бомбардировщиками на узком фронте совместно с истребителями.

2. На малых высотах в ночное время или на малых высотах при большой облачности применялись штурмовики и никогда не предпринимался прорыв бомбардировщиков на широком фронте, совместно с помехоносителями.

3. На больших высотах ночью или при большой облачности в дневное время использовался прорыв бомбардировщиков на широком фронте совместно с истребителями или прорыв бомбардировщиков на узком фронте совместно с помехоносителями.

4. При большой облачности ночью или при большой облачности на малых высотах или же при малой облачности на больших высотах применялись либо прорыв бомбардировщиков на узком фронте, либо прорыв на широком фронте совместно с истребителями и помехопостановщиками.

На основе докладов требуется определить:

1. Как влияет на тактику противника:

   1. малые высоты ?

   2. ночное время ?

   3. большая облачность ?

2. При каких условиях будет предпринято:

   1. прорыв обороны ПВО бомбардировщиками на широком фронте

   2. использованы истребители

   3. использованы помехопостанощики

3. Если предположить, что ожидается налет на малых высотах в ясный день, то какова будет тактика противника?

Решение

1. Выделение элементарных высказываний.

2. Выделим основные понятия, использованные в донесении разведчика.

/1/ Высоты - или большие ( ), или малые ( );

/2/ Время проведения операции - или день ( ), или ночь ( );

/3/ Облачность - большая ( ), или малая ( );

/4/ Прорыв бомбардировщиков через систему ПВО - или на широком ( ), или на узком ( ) фронте;

/5/ Средства активной поддержки - или истребители ( ), или штурмовики ( );

/6/ Средства пассивной поддержки - помехопостановщики ( ), или без помехопостановщиков ( ).

В соответствии с перечисленными понятиями введем в рассмотрение след. Элементарные высказывания:

малая высота;

большая высота;

ночь;

день;

большая облачность;

малая облачность;

прорыв обороны ПВО бомбардировщиков на широком фронте;

прорыв обороны ПВО бомбардировщиков на узком фронте;

истребители;

штурмовики;

помехопостановщики;

без помехопостановщиков.

3. Составление булевых выражений.

Донесения разведчика могут быть представлены следующими булевыми соотношениями:

Определение изображающих чисел булевых функций.

Вычислим по отношению к базисам в и в соответственно изображающие числа булевых функций в правых частях произведенных соотношений эквивалентности:

в базисе в

разряды

значения столбцов

в базисе в

разряды

значения столбцов

Легко видеть, что один набор изображающих чисел может получен из другого простой перестановкой столбцов одним единственным способом. Это означает, что существует одно решение как относительно , так и относительно .

4. Составление перестановочной матрицы .

Для преобразования функций от переменных к переменным необходимо осуществить переход от изображающих чисел левого набора функций, вычисленного относительно базиса в , к изображающим числам правого набора функций, вычисленного относительно базиса в .

Этот переход сводится просто к перестановке столбцов при помощи перестановочной матрицы , которая должна быть такой, чтобы:

Запишем элементы матрицы :

.

Тогда:

5. Преобразование переменных от к .

Искомое преобразование переменных есть:

Откуда находим:

1. ,

2. ,

3. ,

Переведем полученные соотношения на обычный язык:

1. на малых высотах будут применяться штурмовики;

2. в ночное время противник будет применять истребители и помехопостановщики или же штурмовики без помехопостановщиков;

3. При большой облачности противник будет применять прорыв обороны ПВО бомбардировщиками на широком фронте совместно с истребителями или прорыв ПВО бомбардировщиками на узком фронте совместно с штурмовиками.

4. Преобразование переменных от к .

Обратное преобразование осуществляется матрицей:

, т.е. и т.д.

И имеет вид

Или в явном виде:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Переводи на обычный язык:

1. прорыв бомбардировщиков на широком фронте будет производится при малой облачности на малых высотах или при большой облачности на больших высотах;

2. истребители будут применяться при действиях на больших высотах;

3. постановщики помех будут использоваться в дневное время на малых высотах или в ночное время на больших высотах.

7. Запись булевых выражений в явной форме.

Для ответа на третий вопрос найдем изображающее число элементов в базисе в и запишем булевы выражения в явной форме:

, тогда .

Таким образом, если ожидается налет противника на малых высотах в ясный день, то прорыв обороны будет осуществляться на широком фронте совместно со штурмовиками и помехопостановщиками.

Методическую разработку составили

подполковник В. Ярошенко

подполковник В. Черкасов

-12-