Лекция 7 (Комплан 2003 лекции)

28

Лекция 7(7 апреля 2003 года).

Далее если брать другую ветвь, формула не меняется, меняются только константы. Т.е. получим уже многозначную функцию (множитель )

5 шаг. Вычисляем производную: Составим соотношение: Чем хорошо отношение? Здесь нет многозначности. У функции есть только полюс 1ого порядка.

6 шаг. Рассмотрим у неё нет особых точек в (она продолжается вдоль любой кривой), тогда по теореме о монодромии голоморфна во всей (однозначна).

7 шаг. Как устроена на ? голоморфна и равна 0 на т.к. рассматривается как прообраз какой-то точки с коэффициентом И применим 4 шаг к точке В результате получим поведение на бесконечности. Теорема Лиувилля: функция голоморфна и ограничена в причём

8 шаг. Осталось проинтегрировать дифференциальное уравнение: это формула Кристофеля-Шварца.

Замечание. 1) Явная формула была получена из общих теорем.

2) Формула содержит вещественных параметров и 2 комплексных: А произвольно задать можно только 3 параметра ых. А остальные надо вычислять, для чего решается другая достаточно сложная задача.

Задача. 1) Конформно отобразить верхнюю полуплоскость на равносторонний треугольник.

2) Конформно отобразить верхнюю полуплоскость на равнобедренный прямоугольный треугольник.

3) Конформно отобразить верхнюю полуплоскость на прямоугольный треугольник с углом в 30⁰.

4) Исследовать группу автоморфизмов для обратной функции.

3⁰. Эллиптический синус.

Р

ассмотрим эллиптический интеграл 1ого рода в нормальной форме Лежандра:

, где параметр.

1) т.к. есть корень, то берём положительный корень из положительного числа – выбрали ветвь. Тогда это частный случай формулы Кристофеля-Шварца. Тогда отображается в многоугольник ? - особые точки четырёхугольник. внутренние углы все

прямоугольник. Как расположен на плоскости?

П

олные эллиптические интегралы:

Исследуем как функцию от параметра 1) функция строго возрастает на интервале

2) её предельные значения: , расходится. Предельный переход под знаком интеграла возможен по теореме Б. Леви о монотонной сходимости.

Рассмотрим Для этого введём: сопряжённый параметр: т.ч. Доказывается заменой переменной в интеграле. Тогда монотонно убывает от до

Следствие. строго возрастает от 0 до на всегда значение

параметра, при котором эта функция принимает любое наперёд заданное значение

можно получить любой прямоугольник

2) Исследуем как полную аналитическую функцию. Функция аналитически

продолжается в нижнюю полуплоскость по примеру Р.-Шварца. 4мя способами:

1-ый способ: через интеграл образом будет симметрия относительно нижней стороны.

2

-ой способ: через интеграл Функция отображает нижнюю полуплоскость на прямоугольник симметричный относительно правой стороны.

3-ий способ: через …

4

-ый способ: через

Будем повторять эти способы до бесконечности из в

Тогда получим многозначную аналитическую функцию с особыми

точками это точки ветвления 2 порядка. Почему 2ого?

Обходим точку 1, её образ: , пол обхода точка лежит симметрично, ещё пол обхода. Это был один полный обход. Второй обход опять симметрии относительно нижней стороны; боковой.

Риманова поверхность: накрытие плоскости; топологически – это плоскость, разбитая на сетку прямоугольников, закрашенных в шахматном порядке. Белые – верхняя полуплоскость. Чёрные – нижняя полуплоскость.

3

) Рассмотрим обратную функцию - эллиптический синус:

конформно отображает прямоугольник И затем по принципу симметрии

продолжается на всю как однозначная аналитическая функция, т.к. прямоугольники

не перекрываются (паркет на плоскости). Но она мероморфная, т.к. есть полюс: образ

т.е. точка:

В

ажные свойства функции периоды этой функции. Хотим сдвинуть на две симметрии относительно боковой стороны. Это симметрия относительно вещественной оси функция не меняется (на плоскости ). Композиция двух симметрий есть сдвиг, т.е. аргумент меняется на , а значение функции не меняется.

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ И АВТОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ

1⁰. Эллиптические функции.

Определение. Пусть функция мероморфная во всей комплексной плоскости . Комплексное число называется периодом функции , если

Замечание. Множество всех периодов данной функции образует группу относительно сложения.

Теорема. Группа периодов мероморфной функции может быть лишь одной из следующего списка.

1)

2)

3)

4)

Замечание. Каждый случай реализуется.

Пример. 1)

2)

3) её группа периодов

4) группа периодов

Определение. Если группа периодов , то функция называется периодической. Если , то функция называется двоякопериодической или эллиптической функцией.

Доказательство теоремы. Надо показать, что других случаев не бывает.

Сначала докажем утверждение: если группа периодов дискретная.

Д

оказательство утверждения: От противного. Пусть существуют разные периоды Можно считать, что Фиксируем отличную от полюса. По теореме ти для голоморфной функции и по теореме об устранимой особой точке Пришли к противоречию.

в дальнейшем и она имеет ненулевой период . Через точку 0 и

проведём прямую Рассмотрим 2 случая: 1) все периоды лежат на 2) это не так.

1

) Обозначим: ненулевой период, ближайший к началу координат. Он сущестыует, т.к. группа периодов дискретна. Тогда все числа будут периодами. Докажем, что других периодов нет. Предположим противное. Пусть есть - период, Рассмотрим он лежит строго между точками Противоречие. Доказали, что это все периоды.

2) Есть Построим треугольник на точках: Найдём период

б

лижайший к Он существует, т.к. группа периодов дискретна. Рассмотрим треугольник.

Свойство: его вершины – периоды, но других периодов – ни внутри, ни на границе нет.

Достроим треугольник до параллелепипеда. Он обладает тем же свойством (его вершины

периоды, других нет (внутри, на границе)). Параллелограмм будем называть основным

параллелограммом периода. Он порождает решётку на плоскости. Узлы решётки, т.е.

где периоды. Мы должны доказать, что других периодов нет. Пусть есть: Он лежит в каком-то параллелограмме. Сдвинем его так, чтобы левая точка была в нуле противоречие при таком же рассуждении как и на прямой.

Определение. Пусть решётка на плоскости (аддитивная подгруппа, изоморфная ).

Основой параллелограмной решётки есть параллелограмм, обладающий следующими свойствами. Его вершины лежат в узлах решётки. Других узлов – ни внутри, ни на границе нет. Другими словами, стороны параллелограмма образуют базис решётки (его существование не доказали в теореме). А !-нен ли параллелограмм? Кроме того, что 4-мя способами можно нарисовать его, вообще способов нарисовать этот параллелограмм бесконечно много. Например:

Задача. Найти группу преобразований основных параллелограммов.

Ответ.