Ю.Е. Куприков - Программа экзамена по функциональному анализу

Программа экзамена

по курсу «Функциональный анализ» для потока экономистов, 5 семестр

Лектор – доцент Куприков Ю.Е.

1. Метрические и топологические пространства. Примеры. Полнота. Теорема о вложенных шарах. Теорема Бэра о категориях.

2. Теорема о пополнении метрического пространства. Сепарабельность. Принцип сжатых отображений.

3. Нормированные пространства. Теорема Хаусдорфа о максимальности (б/д). Базис Гамеля. Норма оператора. Эквивалентность непрерывности и ограниченности. Полнота пространства ограниченных линейных операторов, отображающих одно банахово пространство в другое.

4. Теорема Банаха-Штейнгауза. Теорема о пределе последовательности ограниченных операторов. «Обращение» теорема Банаха-Штейнгауза.

5. Теорема Банаха об открытом отображении.

6. Теорема Банаха об обратном операторе. Примеры неослабляемости требования полноты. Теорема о замкнутом графике.

7. Теорема Хана-Банаха (действительный и комплексный вариант).

8. Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в С[0,1]. Теорема о единственности производящей функции.

9. Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в L_p [0,1].

10. Компактность в метрических пространствах. Теорема о свойствах, эквивалентных вполне ограниченности, компактности и предкомпактности.

11. Теорема об эквивалентности норм в конечномерном нормированном пространстве. Теорема Рисса об ε-перпендикуляре. Некомпактность единичного шара в б/м нормированном пространстве.

12. Теорема Арцела.

13. Слабая сходимость. Критерий слабой сходимости. Теорема Банаха о слабой* компактности единичного шара в пространстве, сопряженном к сепарабельному нормированному.

14. Компактные операторы. Основные свойства. Примеры.

15. Спектр оператора. Теорема о свойствах спектра и спектральном радиусе.

16. Гильбертово пространство. Неравенства Коши-Буняковского и Минковского. Теорема о расстоянии до выпуклого замкнутого множества. Теорема об ортогональном разложении. Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве.

17. Ортогональные системы. Теорема об ортогонализации. Ряды Фурье. Экстремальное свойство рядов Фурье. Неравенство Бесселя.

18. Полные ортонормированные системы. Теорема о разложении в ряд Фурье. Теорема Рисса Фишера. Теорема об изоморфизме сепарабельных гильбертовых пространств.

19. Сопряженный оператор в гильбертовом пространстве. Основные свойства. Критерий компактности оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве.

20. Самосопряженные операторы. Теорема Гильберта-Шмидта.

21. Фредгольмовы операторы. Теорема Фредгольма. «Классические» теоремы Фредгольма.

22. Теорема о структуре спектра компактного оператора в гильбертовом пространстве.