Краткие шпоры

Взять k элементов из n без учета порядка: C_n^k

с учетом порядка A_n^k=^n!/_(n-k)!

Выбор с возвращением n^k

Ковариация

cov(,)=E((-E)(-E))=E-EE D=cov(,)

Корреляция (,)=^cov(,)/_DD *=^-E/_D *=^-E/_D (*,*)=cov(*,*) E*=0 D*=1

ЗБЧ ₁,₂,… E_i=a_i< lim_nP(|^n_i^-na_i/_n|)=0

Корреляционная матрица положительно определена и симметрична

D(₁+…+_n)=_i=1ⁿD(_i)+2_i<jcov(_i,_j)

Теор. Муавра-Лапласа.

S_n=₁+…+_n – число успехов ~ B_i(u,p)

При n равномерно по x P{^S_n^-np/_npq<x}Ф(x)=lim_nP(^_n^-E_n/_Dn<x)=

¹/_{2 -}∫^xe^-u2/2du

Задача: Найти распределение X_(k)

P(X_(k)x)=_i=kⁿC_nⁱ[P(x)]ⁱ[1-P(x)]^n-i=

_i=kⁿC_nⁱ[F(x)]ⁱ[1-F(x)]^n-i_

Эмпирическая ф-ция распределения.

_n(x)=_i=1ⁿI(X_ix) F_n(x)=^_n^(x)/_n F_n[0,1]

Гистограмма. f_n(x)=ⁿ_i/_n|i|, x_i

Св-ва усл. мат. ожидания.

1) c=const и =c E(|)=c

2)  E(|)E(|)

3) |E(|)|E(|||)

4) a и b – const и  aE+bE, то E(a+b|)=aE(|)+bE(|)

5) Если ={,}-трив., то E(|)=E

6) E(|)=

7) E(E(|))=E

8) Если  не зависит от , то E(|)=E

9) Если  - -измерима E||<, E||<, то E(|)=E(|)

10) ₁,₂,… - посл-ть сл. величин. Если |_n| E< и _n, то E(_n|)E(|)

Задача: x=(x₁,…,x_n) B_i(1,) Найти оценку 

~Bi(1,p) E=p x^-оценка  E_x^=¹/_nE_i=1ⁿx_i=E_x_i=  оценка несмещенная состоятельная, по ЗБЧ (т. Бернулли)

P(|^x_i/_n-p|)0, n P_(|x^-|)0_

Задача: x=(x₁,…,x_n) R[a,b]. Док-ть,что T(X)=ⁿ⁺¹/_n-1(X_(n)-X₍₁₎) явл. несм. и сост. функцией (a,b)=b-a

Задача:

EX_(n)=a+ⁿ/_n+1(b-a)  b n

EX₍₁₎=b-ⁿ/_n+1(b-a)  a

EX_(n) = n_a∫^bx^(x-a)n-1/_(b-a)ⁿdx =

n_a∫^b(x-a)n/_(b-a)ⁿd(x-a) + an_a∫^bx^(x-a)n-1/_(b-a)ⁿd(x-a) =

ⁿ/_n+1^(x-a)n+1/_(b-a)ⁿ |_a^b + a^(x-a)n/_(b-a)ⁿ |_a^b = ⁿ/_n+1(b-a)+a_

Задача: x=(x₁,…,x_n) Г(1/,1) плотность ¹/_e^-x/

Г(,): ^{x-1e-x}/_Г(), x>0, 0<<

T(x)=ⁿ/_n+1x^2 несмещенная для ²

Ex_i= Dx_i=² E²=D+(E)²

Ex^2=Dx^2+(Ex^)²=¹/_{n2 i=1}ⁿDx_i+(Ex_i)²=¹/_n²+²²_

Задача: x=(x₁,…,x_n) B_i(1,)

Док-ть, что не  оптим. оценки для ()=ⁿ⁺¹

Пусть E_T(x)=ⁿ⁺¹ P(x_i)~^xi(1-)^1-xi P(x)=^xi(1-)^n-xi

E_T(x)=T(x)^xi(1-)^n-xi = ⁿ⁺¹?

(n+1) раз продифф-ть  слева степень n, справа n+1  противоречие_

Задача: x=(x₁,…,x_n) N(,1)

Док-ть, что F=x^2-¹/_n – несмещенная для ()=²

Ex^2=Dx^2+(Ex^)²=¹/_{n2 i=1}ⁿDx_i+(Ex_i)²=¹/_n+² 

F=¹/_n+²-¹/_n=²_

Для экспоненц. моделей всегда  эффективная оценка

={F(x,), } – экспоненц., если f(x,) – плотность представима в виде: f(x,)=exp{A()B(x)+C()+D(x)}

N(,²), N(,²), Г(,), B(n,), П() – экспоненц.

Задача: Док-ть, что T(x)=max_1inX_i=X_(n) – полная дост. статистика

x_i=¹/_I_[0,] {x_i[0,]} L(x)=(¹/_)ⁿI{maxx_i}  T(x) – дост. ст-ка 

x[0,] p(x,)=^nxn-1/_ⁿ

g(T(x),)h(x), h(x)1

T(x)=X(n) (x)

E_(T)=0, >0

E_(T)=₀∫^(x)^nxn-1/_ⁿdx=0, >0

()^n-1=0  ()0, >0  T(x) – полная_

Задача: x₁,…,x_n – нез. одинак. распр. x_i={1,; 2,; 3,1-2; Найти одномерную дост. статистику

f(x₁)=^I{x1=1}^I{x1=2}(1-2}^I{x1=3}=^I{x13}(1-2}^I{x1=3}

L(x)=^I{xi3}(1-2}^I{xi=3}=^n-I{xi=3}(1-2}^I{xi=3} по т. факторизации T(x)=I{x_i=3} – дост. статистика

I{x_i=3}={^0,x_i^=12; _1,xi=3;

T(x)=^(x_i^-1)(x_i^-2)/_{(3-1)(3-2) }

Оценка макс. правдоподобия нах. через функцию правдоподобия L.