6 (Электродинамика)

2.8.7.Тема 6: Энергия взаимодействия электрических зарядов
и энергия электрического поля

Энергия взаимодействия двух точечных зарядов и .

, где - расстояние между зарядами.

Возьмём два одинаковых металлических шарика радиуса и поместим их на расстоянии таком, что шарики можно считать материальными точками. Один из шариков зарядим зарядом , другой оставим незаряженным. В этом случае из формулы следует, что энергия взаимодействия равна нулю. Соединим шарики проводником на некоторое время. Тогда каждый из шариков будет иметь заряд и энергия взаимодействия станет .

Таким образом, в результате соединения энергия взаимодействия увеличилась от нуля до . Вопрос: откуда взялась энергия?

Согласно закону сохранения энергии, электростатическая энергия шариков могла только уменьшаться. Дело в том, что энергия взаимодействия - энергия заряженных тел, т.е. когда внешние силы сближают уже заряженные тела из бесконечности до расстояния совершая работу. Однако, когда тело заряжается, то внешние силы также совершают работу. В результате чего возникает так называемая собственная энергия заряженного тела. Но эта энергия не учитывается в формуле для . Найдём собственную электростатическую энергию.

Рассмотрим уединённое заряженное тело. Его собственная энергия не зависит от способа получения заряда. Рассмотрим процесс зарядки, при котором вычисления максимально просты. Будем переносить заряд на тело такими малыми частями , что влиянием поля этого заряда на распределение уже перенесённого заряда можно пренебречь.

Тогда работа , совершаемая при перемещении из бесконечности на тело, равна произведению переносимого заряда на потенциал тела . Потенциал металлического тела в любой момент связан с находившимся на нём зарядом соотношением , где - ёмкость уединённого тела и тогда , а работа по переносу всего заряда внешними силами по определению равная электрической энергии заряжения (собственная электрическая энергия) .

Ёмкость шара и его собственная электрическая энергия .

Теперь рассмотрим шарики с учётом собственной энергии. Итак, сначала один шарик заряжен зарядом и его собственная электрическая энергия равна . Энергия незаряженного шарика равна нулю. После того, как шарики соединили проводом и каждый получил заряд , полная электростатическая энергия будет складываться из собственной электрической энергии шариков и энергии взаимодействия , т.е. полная энергия системы .

Разность начальной энергии и конечной : , так как , т.е. в результате заряжения второго шарика общая электрическая энергия уменьшилась, т.е. часть энергии в процессе перешла в другие виды (например, тепловую).

Если использовать полевое представление, то в этом случае изолированный заряд является источником поля . Объёмная плотность энергии пропорциональна квадрату . Для двух зарядов, где по принципу суперпозиций имеем . Первые два слагаемых в правой части соответствуют объёмной плотности собственных энергий зарядов и , а третий член соответствует энергии взаимодействия друг с другом. При этом, поскольку , то , т.е. и здесь собственная электрическая энергия зарядов больше их взаимной энергии, которая может быть и положительной, и отрицательной.

Однако при всех возможных перемещениях зарядов, не изменяющих их формы и размеры, собственная энергия остаётся постоянной, а изменение обусловлено только изменением энергии взаимодействия. Поэтому собственную энергию можно считать аддитивной постоянной добавкой. С другой стороны, энергия электрического поля не является аддитивной, т.е. энергия поля являющаяся суммой полей и не равна сумме энергий слагаемых полей (если только не равно нулю).

58. Показать, что собственная электрическая энергия заряженного зарядом проводящего шара радиуса равна .

В проводящем шаре заряд расположен на поверхности и распределён равномерно с плотностью . Потенциал проводящего шара , объёмная плотность . Используя формулу для энергии имеем .

59. Задача для самостоятельного решения.

Показать, что собственная электрическая энергия шара радиуса заряженного равномерно по объёму общим зарядом равна .

2.8.8.Тема 7: Постоянный ток

2.8.8. 1. Некоторые методы расчёта сопротивлений.

1. Использование прямых определений

6 0. Участок цепи представляет собой тело вращения из однородного материала с удельным сопротивлением . Площадь поперечного сечения тела зависит от по закону (рис. 58). Написать выражение для сопротивления этого участка.

Выберем малый участок длины , на котором площадь поперечного сечения постоянна. Сопротивление этого участка .

Общее сопротивление .

2. Метод эквивалентных схем

6 1. На рис. 59а представлена цепь, сопротивление каждого из проводов . Определить сопротивление всей цепи между точками и .

Существует два способа соединения отдельных сопротивлений в цепь такие, что цепь можно заменить одним эквивалентным сопротивлением.

Первый способ - последовательное соединение сопротивлений, соединение, представляющее из себя цепь без разветвлений. В такой цепи ток один, а общее напряжение между началом и концом цепи равно сумме напряжений на каждом сопротивлении . В этом случае цепь можно заменить одним эквивалентным сопротивлением величины , где - величина -ого сопротивления. Эта формула - следствие условий (1) и (2)

Второй способ - соединение сопротивлений так, чтобы падение напряжений между началом и концом цепи было равно напряжению на каждом сопротивлении , а полный ток, входящий в схему, был равен сумме токов на сопротивлениях: , где - ток через -сопротивление. В такой цепи величина, обратная эквивалентному (общему) сопротивлению цепи равна сумме обратных величин каждого сопротивления: .

Действительно, эта формула есть следствие условий (1) и (2) .

Если задана произвольная электрическая цепь, состоящая из сопротивлений, то общее сопротивление этой цепи ищут, разбивая её отдельные участки на совокупности последовательно и параллельно соединённых сопротивлений; эти совокупности заменяют эквивалентными сопротивлениями и в получившейся схеме эквивалентных сопротивлений опять проделывают те же операции и так до тех пор, пока не останется одно эквивалентное сопротивление. Заметим, что далеко не все совокупности сопротивлений можно разбить на последовательные и параллельные участки. В этом случае используются специальные методы. Вернёмся к задаче.

П ерерисуем схему в более удобном для расчёта виде (рис. 59 ,б). Видно, что схема симметрична относительно , поэтому достаточно рассчитать верхнюю часть. Там на линии имеют место два последовательно соединённые сопротивления. Их эквивалентное сопротивление равно и участок схемы cedf

имеет вид - рис. 59 с, где .

Тогда весь участок cedbf можно представить в виде - (рис. 59 с) с эквивалентным сопротивлением и окончательно схему можно представить в виде - (рис. 59d ), что даёт .

3. Использование полевых представлений

6 2. Тело из плохого проводника имеет форму цилиндрической трубки (рис. 60). Длина трубки радиусы внутренней и внешней поверхностей и , удельное сопротивление вещества . Цилиндрические поверхности трубки покрыты обкладками из идеального проводника и между обкладками создана некоторая разность потенциалов, вследствие чего через стенку трубки идёт ток. Найти сопротивление тела .

Напряжённость поля и плотность тока связаны условием . Если на единице длины цилиндра находится заряд , то напряжённость поля около цилиндра , а разность потенциалов между стенками цилиндра (см. ранее).

По определению, сопротивление , где - ток, идущий от одной стенки к другой стенке цилиндра . Так как .

4. Метод аналогий

М ежду выражениями для дифференциальной формы закона Ома и вектором электростатической индукции имеется определённая аналогия. Обе величины пропорциональны напряжённости поля. На рис. 61 а) задано распределение линий тока в тонкой металлической пластинке, а на рис. 61 в) - картина силовых линий двух точечных зарядов. И линии электрической индукции испытывают преломление на границе соприкосновения двух диэлектриков, и линии тока испытывают преломление на границе соприкосновения двух сред, имеющих неодинаковую удельную электропроводность. На рис. 61в) показано распределение линий тока в круглой пластине, спаянной из двух половинок - медной и свинцовой. Электроды помещены на окружности.

У казанное выше сходство формул для вектора плотности тока и вектора электрической индукции и соответствие в распределении линий тока и линий электрической индукции дополняются практически важной аналогией формул для вычисления проводимости и электроёмкости. По закону Ома, сопротивление цилиндрического слоя проводника длины , сечения и сделанного из материала с удельным сопротивлением равно . Следовательно, проводимость его , где - удельная проводимость материала.