5 (Электродинамика), страница 2

(1), где и - поверхностная плотность заряда на правой и левой сторонах пластины, которая возникает после внесения пластины в поле .

В силу закона сохранения заряда, суммарный заряд пластины не изменится, поэтому (2). Решая систему (1)-(2), получим

Слева от пластины . Справа - .

35. Задача на самостоятельное решение. Металлический шар радиуса помещён в однородное электрическое поле. Изобразить качественно картину силовых линий поля и эквипотенциальных поверхностей.

2.8.5.Тема 4. Модели электростатики: "Одиночные диэлектрики в электростатическом поле"

36. В некоторой точке изотропного диэлектрика с проницаемостью вектор электрического смещения имеет значение . Чему равна поляризованность в этой точке?

Используя соотношения и , находим .

37. Внутри диэлектрика известны и

, где .

а) Определить - плотность связанных зарядов и плотность - свободных зарядов внутри диэлектриков.

б) Чему равна диэлектрическая проницаемость ?

Используем формальные выражения для нахождения и :

38. Показать, что на границе раздела двух диэлектриков силовые линии испытывают преломление (рис. 38).

На границе двух диэлектриков для вектора выполняются условия: (тангенциальные компоненты вектора непрерывны) (нормальные компоненты вектора испытывают скачок) .

Таким образом .

39. Диэлектрическая пластина ширины с проницаемостью , помещена в однородное электрическое поле напряжённости , линии которого перпендикулярны пластине.

а) изобразить линии и .

б) построить качественные графики зависимостей , и потенциала (где - перпендикулярна к пластине).

Вектор направлен вдоль оси , точка находится на середине ширины пластины.

в
) определить поверхностную плотность связанных зарядов на той стороне, в которую входят линии поля из вакуума (рис. 39).

40. Длинная тонкая диэлектрическая палочка помещена в однородное электрическое поле, как показано на рис. 40а. Изобразить качественную картину линий поля и график зависимости от (см. рис. 40б).

41.Показать, что напряжённость поля в средней части длинной и узкой щели, продырявленной в диэлектрике, равна напряжённости поля в диэлектрике, если эта щель расположена параллельно вектору и что равна индукции в диэлектрике, если щель перпендикулярна (рис. 41).

П ерпендикулярная щель.

При отсутствии свободных зарядов в диэлектрике из следует, что или , так как в щели, где находится вакуум (или воздух) , то получаем .

Узкая параллельная щель.

Поскольку тангенциальные составляющие вектора при переходе из одной среды в другую не изменяются, то имеем или .

2.8.6.Тема 5. Модели электростатики: "Комбинации моделей"

Используя базовые модели, можно составить множество различных комбинаций (комбинированных моделей). Поведение и параметры большей части таких комбинированных моделей можно определить только прямым решением составленных для них систем дифференциальных уравнений с соответствующими граничными условиями. Делать выводы относительно конкретного поведения таких моделей на основе качественных рассуждений, опирающихся на фундаментальные законы, общие принципы или физические аналогии не представляется возможным. С другой стороны, далеко не во всех случаях удаётся решить систему уравнений аналитическим способом, что обусловлено математической сложностью. В этих случаях используют численные методы, методы качественной математики и т.п. - в общем, всё, что выходит за рамки курса общей физики. Однако существуют и простые комбинации моделей, поведение которых можно определить прямым использованием готовых формул или специальными методами, работающими в рамках готовых формул. Для таких моделей на основе фундаментальных законов, общих принципов и готовых формул можно предсказать их поведение в конкретных случаях без обращения к дифференциальным уравнениям и их решениям.

Рассмотрим некоторые из таких моделей.

2.8.6.1.Модель: «точечный заряд и сфера».

42. Чему равен заряд заземленной металлической сферы радиуса , если на расстоянии от её центра находится точечный заряд ?

(Рис.43). Найдём свойства, на которые будем опираться. В электростатике проводников это условия ил . Так как сфера заземлена, то потенциал её равен потенциалу Земли и равен нулю. Заряд , помещённый на расстоянии от центра сферы "притянет" к себе на ближайшую к нему часть поверхности сферы отрицательные заряды. На дальнем конце Земли возникнет положительный заряд, но никакой роли в силу его малости и размеров Земли он играть не будет, и мы им пренебрежём. Что касается отрицательного заряда, то величина этого заряда и распределение его по поверхности сферы будут такими, чтобы потенциал поля в каждой точке сферы был равен нулю. Потенциал поля в данной точке в силу принципа суперпозиций равен сумме потенциалов, создаваемых в данной точке зарядом и отрицательными зарядами на поверхности сферы :

(1)

Это уравнение выполняется для всех точек сферы, в том числе и для её центра. Заряд на сфере распределён неравномерно, однако можно разбить поверхность сферы на такие малые кусочки, что по отношению к центру сферы их можно считать точечными и тогда (1) будет иметь вид

или

Так как - одинаково, то имеем , где - полный заряд, наведённый на сферу. Окончательно получаем .

43.Чему равен потенциал изолированного незаряженного металлического шара радиуса , если на расстоянии от его центра находится точечный заряд .

Потенциалы всех точек шара равны. Для центра шара .

По закону сохранения заряда, сумма наведённых положительных зарядов равна сумме наведённых отрицательных зарядов

.

П оэтому .

44.Точечный заряд помещён внутрь проводящей сферы радиуса и находится на расстоянии от его центра. Сфера заземлена. Какие заряды будут индуцированы на внутренней и наружной поверхности сферы, если: а) шар заземлён; б) шар изолирован и не заряжен. (Рис.44).

При помещении вовнутрь полости сферы заряда он начинает притягивать заряды другого знака и отталкивать заряды того же знака, который имеет сам. В результате на внутренней поверхности сферы возникнет индуцированный заряд другого знака, неравномерно распределённый по поверхности. Индуцированные заряды взаимодействуют между собой силами отталкивания, но силы притяжения со стороны заряда удерживают их на месте. Возникшие заряды того же знака, что и , будут отталкиваться как зарядом, так и друг другом. В результате они начнут разбегаться, занимая такие места, чтобы как можно дальше находиться друг от друга и заряда . В результате они попадут на поверхность сферы. Однако условие электростатики для проводников - равенство нулю напряжённости электрического поля внутри проводника. Это значит, что когда электрические заряды попадут на поверхность и "остановятся", то заряды, расположенные на внутренней стороне сферы, и заряд никакого действия уже на них оказывать не будут.

Распределение зарядов на поверхности будет, таким образом, определяться не положением заряда , а условиями, в которые заряды попадут на поверхности. Если поверхность сферическая, то распределение зарядов будет равномерное. Однако, если сфера заземлена, то заряды получат возможность "убежать" на Землю с поверхности сферы, чтобы быть как можно дальше друг от друга.

Таким образом, в случае заземлённой сферы индуцированный заряд на её поверхности будет равен нулю. Внутри поверхности мы можем использовать теорему Гаусса:

, так как, , то .

т.е. индуцированный на внутренней сфере заряд равен по величине помещённому внутрь сферы заряду и противоположен ему по знаку.

Если сфера изолирована, то индуцированные заряды остаются на поверхности сферы. В силу закона сохранения заряда, величина общего индуцированного заряда равна нулю. Значит, заряд на внешней поверхности будет равен заряду на внутренней поверхности сферы, а значит, равен заряду и по величине, и по знаку. При этом для сферы распределение заряда будет равномерным и не будет зависеть от положения заряда внутри полости сферы.

45. Задача для самостоятельного решения. Точечный заряд находится между двумя заземлёнными проводящими концентрическими сферами с радиусами и на расстоянии от центра ( ). Найти величину индуцированных на сферах зарядах.

Итак, заряды, помещённые на сферическую поверхность, равномерно распределяются по ней. А что будет, если проводник не обладает сферической симметрией. Вообще говоря, вопрос распределения зарядов на поверхности проводника очень сложный, поэтому мы можем рассмотреть (в рамках наших средств) только самую простую модель и сделать самые общие выводы.

46. Система проводников состоит из двух сфер, радиусами и , соединённых проводом. Сферы расположены друг от друга далеко и электрически не влияют друг на друга. Определим отношения напряжённостей поля у поверхности каждой из сфер при сообщении системе некоторого заряда.

При помещении зарядов, они будут перемещаться и распределяться так, чтобы потенциалы сфер стали одинаковыми. При этом на одной сфере будет заряд , на другой - общему заряду, помещённому в систему). Поскольку сферы электрически не влияют друг на друга, то заряды на них распределены равномерно. Тогда, отношение напряжённостей каждой из сфер .