2.8.Задачи и их решения

"Трудно отделаться от ощущения, что эти математически формулы

существуют независимо от нас и обладают собственным разумом,

что они умнее тех, кто открыл их, и что мы извлекаем из них больше,

чем было в них первоначально заложено".

Г. Герц

2.8.1. Общие замечания

Все конкретные проблемы в электродинамике принципиально можно решить использованием системы уравнений Максвелла. Существует общая теорема, одна из формулировок которой гласит: электромагнитное поле определяется системой уравнений Максвелла в каждой точке пространства в каждый момент времени, если для момента заданы значения векторов и во всех точках пространства. Однако определить и во всех точках бесконечного пространства мы не можем, поскольку физически наблюдению доступна только часть пространства, поэтому можно ограничиться конечным участком пространства и ввести определённые граничные условия на границах рассматриваемого участка. (Ещё раз подчеркнём, что значения и в момент времени (начальные условия) не выводятся из решений задачи, а задаются в её условии как измеренные физически величины.)

При такой постановке вопроса доказано, что в общем случае, если заданы начальные значения векторов и в каждой точке объёма, ограниченного поверхностью (для ), и если, кроме того, для одного из этих векторов (например, ) известны граничные значения его тангенциальных составляющих на поверхности в течение всего промежутка времени наблюдения от до , то электромагнитное поле в этой области в любой момент времени однозначно определяется уравнениями Максвелла. Однако принципиальная возможность решения далеко не всегда означает практическую возможность решения.

Математические сложности, возникающие при решении электродинамических задач, являются основной проблемой. Чтобы обойти их, редуцируют модели исходных объектов, используют специальные методы или сводят ситуации к уже решённым задачам. Только для очень небольшого числа простых ситуаций с простыми моделями имеют место аналитические решения в элементарных функциях, для части задач удалось найти аналитические решения в специальных функциях, а в основном, особенно для ситуаций, имеющих место в реальной практике, эти задачи решают численными методами.

В курсе общей физики не рассматриваются задачи, решаемые методами, используемыми при решении дифференциальных уравнений в частных производных. Поэтому основная часть задач требует для своего решения использования фундаментальных и феноменологических законов (Кулона, Ома, Ампера, Фарадея, Био-Савара и т.п.), общих принципов (суперпозиций, сохранения, симметрии и т.п.), специальных методах, основанных на базе основных законов и общих принципов.

Задачи, связанные с использованием полевых представлений и требующих знаний математической теории поля, сводятся, по сути, к прямому вычислению полевых математических объектов по заданным правилам (поток, циркуляция, ротор, дивергенция, градиент).

Поэтому общая функциональная схема решения задач, использованная в механике, может быть использована и при решении электродинамических задач. Другими словами, общая функциональная схема решения задач остаётся "старой", но приобретает новое "электромагнитное содержание".

Для решения "электромеханических" задач, например, задач, в условии которых заданы электрические параметры тел, а требуется найти параметры их механического движения, функциональная схема решений будет включать как "механическую", так и "электромагнитную" составляющие.

Для поиска дополнительной информации в электромеханических задачах существуют специфические приёмы, характерные только для таких задач, например, правила Кирхгофа, метод эквивалентных схем, методов изображений и т.п., однако те методы поиска дополнительной информации, которые мы рассмотрели при изучении механики, могут использоваться и при решении электродинамических задач. Поскольку учащиеся уже знакомы с этими методами, то мы не будем рассматривать их все, а рассмотрим только несколько примеров.

2.8.1.1. Ввод новых объектов

Жёсткое тонкое непроводящее кольцо массы , равномерно заряженное зарядом , имеет около точки небольшой зазор размера много меньше, чем радиус кольца. Кольцо расположено в горизонтальной плоскости так, что может свободно вращаться относительно вертикальной оси, проходящей через центр кольца . Покоившееся вначале кольцо пришло во вращение после того, как было включено постоянное

горизонтальное электрическое поле

напряжённости , перпендикулярное .

Найти максимальную скорость точек кольца (рис. 20).

Прямой расчёт разомкнутого кольца очень сложная задача, поэтому введём новый объект - сплошное равномерно заряженное кольцо и поместим в него отрицательный заряд той же линейной плотности, что и положительный на сплошном кольце и равный по объёму зазору, т.е.

, где - радиус кольца. В результате будем иметь сплошное кольцо, равномерно заряженное положительным зарядом и которое в однородном поле вращаться не будет, и отрицательный заряд, который и будет причиной вращения кольца. В электрическом поле на заряд будет действовать сила , возникнет вращательный момент, что приведёт к движению. Анализ движения показывает, что движение будет колебательным (аналогичные задачи мы рассматривали в механике). При колебательном движении максимальная скорость имеет место в положении равновесия, т.е. когда заряд пройдёт дугу . Так как поле однородное, изменение потенциальной энергии при этом

.

Закон сохранения энергии даёт , откуда .

2.8.1.2. Качественный анализ ситуации.

Плоский конденсатор находится во внешнем однородном электрическом поле напряжённости перпендикулярном пластинам, какие заряды окажутся на каждой из пластин, если конденсатор замкнуть проводником накоротко? Пластины конденсатора до замыкания не заряжены. Влиянием силы тяжести пренебречь.

Так как пластины замкнуты, то они имеют один и тот же потенциал, т.е. поле внутри конденсатора равно нулю. Это значит, что на пластинах появились заряды, создавшие поле, напряжённость которого равна по модулю и противоположна по направлению напряжённости внешнего поля. Поскольку напряжённость известна, то заряд .

2.8.1.3. Ввод новых объектов и качественный анализ

На одной из пластин плоского конденсатора ёмкости находится заряд , а на другой . Определить разность потенциалов между пластинами конденсатора.

Введём новый объект заряд (полусумма зарядов пластин, взятая с обратным знаком) и добавим этот заряд на каждую пластину. Тогда конденсатор окажется "нормально" заряженным с зарядами пластин . Разность потенциалов между пластинами будет . Но поля одинаковых зарядов пластин внутри конденсатора компенсируют друг друга. Таким образом, добавленные заряды не изменяют поле между пластинами, а значит, и разность потенциалов. Итак, искомая разность потенциалов равна .

2.8.1.4. Учёт свойств физических величин

В схеме, изображённой на рис.21, э.д.с. батареи , уменьшили на 1,5 В, после чего токи на различных участках цепи изменились. Как нужно изменить э.д.с. батареи , чтобы он стал прежним?

Прямой расчёт достаточно сложен. Однако решение можно заметно упростить, использовав аддитивность физической величины - силы тока: на любом участке цепи полный ток есть алгебраическая сумма токов, создаваемых отдельными источниками. При определённых соотношениях между э.д.с. источников и можно добиться того, чтобы токи на разных участках цепи обращались в нуль. В частности, а) ток через батарею равен нулю, если б) ток через батарею равен нулю, если . Свойство аддитивности тока позволяет сделать следующий вывод: если в цепи одновременно изменить , и , но так, чтобы , то это не вызовет изменения тока через батарею . Аналогично при неизменным останется ток через батарею . Таким образом, э.д.с. батареи надо уменьшить в случае а) на 6 В, в случае б) на 0,375 В.

2.8.1.5. Использование приближений физических величин

Напряжённость электрического поля у поверхности Земли равна . На высоте она равна . Вычислить объёмную плотность электрических зарядов в атмосфере, считая, что она до высоты постоянна.

У поверхности Земли поле создаётся зарядом Земли и его напряжённость , где - радиус Земли. На высоте поле создаётся зарядом Земли и зарядом слоя атмосферы толщины , так что