8

Статистическая мода m _o^ - середина интервала с наибольшей частотой.

m _o^ = 0,75.

Статистическая медиана m _e^ - варианта, стоящая посередине вариационного ряда.

Так как число вариант равно 30 , берем среднее между 15 и 16 вариантами :

m _e^ = .

Статистические дисперсия D_в и среднеквадратическое отклонение _в :

или по вспомогательной формуле :

1. Точечные оценки параметров распределения :

Найденные числовые характеристики выборки используем для оценки параметров распределения.

Статистической оценкой для математического ожидания служит выборочная средняя:

Статистической оценкой для дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:

Статистической оценкой для среднеквадратического отклонения служит исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение:

Задача 3.

9

Задана выборка :

	x i	3	5	8	12	16	19	21
	n i	8	13	16	14	11	9	5

Необходимо:

1. Построить статистическую функцию распределения F^(x) .

Записать ее аналитическое выражение . Построить график.

1. Выполнить интервальную оценку параметров распределения:

математического ожидания m _x ; среднеквадратического отклонения  _x .

(Доверительную вероятность  принять равной 0,95)

Объем выборки (общее количество проведенных опытов) равен сумме всех частот:

1). Строим статистическую функцию распределения.

По определению, статистическая функция распределения - это функция F^(x) , которая при каждом значении аргумента x равна относительной частоте того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем аргумент (попадет в область, лежащую слева от аргумента):

Она дает представление о теоретической функции распределения . Принцип ее построения тот же, что и для теоретической функции распределения для дискретной случайной величины, только вместо вероятностей p _i берем относительные частоты w _i . Подсчитываем относительные частоты:

	x i	3	5	8	12	16	19	21
	n i	8	13	16	14	11	9	5
	w i	0,1053	0,1711	0,2105	0,1842	0,1447	0,1184	0,0658

Записываем функцию распределения . Для этого при любом значении аргумента x нужно подсчитать относительную частоту появления опытных данных в области, лежащей слева от x.

10

Например, запишем значение функции распределения для указанного на рисунке стрелкой значения x. Слева от такого x лежит 37 опытных значений : значение (3) повторилось в опытах 8 раз, значение (5) - 13 раз и значение (8) - 16 раз. Таким образом, частота n появления опытных данных в выделенной области равна 37, а относительная частота w равна 37 / 76 = 0,4868 . Т.е., статистическая функция распределения в указанной точке x равна : F^(x) = 0,4868 и такое же значение эта функция имеет в любой точке, лежащей между 8 и 12 .

Теперь запишем значения F^(x) для любого x , пробегающего значения от (‑) до (+) :

при ‑  < x  3 F^(x) = W(X<x) = 0 (слева от таких x нет опытных данных) ;

при 3< x  5 F^(x) = W(X<x) = W(X=3) = w ₁ = 0,1053;

при 5< x  8 F^(x) = W(X=3)+W(X=5) = 0,1053 + 0,1711 = 0,2763 ;

при 8< x  12 F^(x) = W(X=3)+W(X=5)+W(X=8) =

= 0,1053 + 0,1711 + 0,2105 = 0,4868;

при 12< x 16 F^(x) = W(X=3)+W(X=5)+W(X=8)+W(X=12) =

= 0,1053 + 0,1711 + 0,2105 + 0,1842 = 0,6711;

при 16< x 19 F^(x) = W(X=3)+W(X=5)+W(X=8)+W(X=12)+W(X=16) =

= 0,1053 + 0,1711 + 0,2105 + 0,1842 + 0,1447 = 0,8158;

при 19< x 21 F^(x) = W(X=3)+W(X=5)+W(X=8)+W(X=12)+W(X=16)+W(X=19) =

= 0,1053 + 0,1711 + 0,2105 + 0,1842 + 0,1447 + 0,1184 = 0,9342;

при 21< x  + F^(x) = 1 .

В последнем случае все опытные данные лежат слева от аргумента x . Сумма всех относительных частот обязательно равна единице.

Таким образом, с ростом значения аргумента x идет процесс накопления относительных частот. Можно записать общую формулу :

Статистическая функция распределения в каждой точке x равна сумме относительных частот для всех значений вариант, лежащих слева от этого x.

Окончательно получаем выражение для статистической функции распределения:

11

Теперь рисуем график функции распределения F^(x):

1. Выполняем интервальную оценку параметров распределения .

Точное значение математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения мы найти по опытным данным в принципе не можем, так как в опытах мы получаем только часть информации о случайной величине.

Когда вместо математического ожидания мы берем из опыта выборочную среднюю, мы допускаем погрешность. Оценить ее можно с помощью доверительного интервала . Выбирается интервал и находится доверительная вероятность  - вероятность того, что истинное значение математического ожидания лежит в этом интервале. Имеются формулы, по которым для заданного  находят величину и положение доверительного интервала:

s (1-q_)   _x  s (1+q_)

Д

12

ля того, чтобы ими воспользоваться, находим числовые характеристики выборки:

.

выборочная средняя

средняя квадратов

Дисперсия

Исправленная дисперсия

Исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение

Коэффициенты t _ (,n) и q _ (,n) находим по соответствующим таблицам :

t _ (0,95; 76) = 1,994 ; q _ (0,95; 76) = 0,168 .

Подставляем в формулы для доверительных интервалов :

;

5,7608(1-0,168)   _x  5,7608 (1+0,168) .

Окончательно получаем:

;

4,7930   _x  6,7286 .

С вероятностью 0,95 истинные значения математического ожидания и среднеквадратического отклонения лежат в полученных интервалах.

из конспекта

Статистическая оценка параметров распределения.

Задача: по опытным данным восстановить числовые характеристики распределения или параметры предполагаемого распределения:

1. Нормального (а, σ)

2. Показательного (λ)

3. Равномерного (a,b)

4. Пуассоновского (а)

Понятие статистической оценки как с.в.

Пусть необходимо оценить по выборке некоторый параметр распределения а. Для оценки имеются только данные вошедшие в выборку (х₁,х₂…х_n). По этим числа мы должны подсчитать (≈) значение а. Точное значение а мы получить не можем, т.к. в выборке содержится только часть информации с.в. и данные, вошедшие в выборку случайные. В другой серии опытов это будут другие числа. То число, которое мы подсчитаем по выборке, назовем оценкой параметра а .

(1) – это функция данных, попавших в выборку.

Подсчитав по выборке это число, получим . Проведя другую серию опытов, по этой же формуле, получим и тд.

Статистическая оценка для параметра а сама есть с.в. с каким-то законом распределения. Как найти ее закон распределения?

Каждая из вариант, попадающих в выборку, одновременно является с.в. (в разных сериях опытов получим для нее разные значения) и закон распределения этой варианты совпадает с законом распределения с.в. Х, над которым ставятся опыты. Таким образом статистическая оценка является функцией одинакового распределения с.в. x_i.

(2)

Если закон распределения х является известным, то можно построить закон распределения для .

Требования, предъявляемые

к статистическим оценкам.

Для одного и того же параметра а можно построить разные формулы оценки.

m_x (среднее)

оценки:

3. (без x_max и x_min)

4. x₁ (при проведении одного опыта)

Как построить формулу оценки, чтобы она как можно лучше отражала

Требования к формуле (к статистической оценке):

1. несмещенность :

(3) Математическое ожидание оценки должно совпадать с оцениваемым параметром.

1. Эффективность:

Эффективной называется статистическая оценка с минимальной дисперсией.

(4)

1. Состоятельность (для выборок большого объема):

Оценка называется состоятельной, если с ростом объема выборки дисперсия оценки стремится к нулю.

(5)

Точечные статистические оценки для

математического ожидания и дисперсии

1. Точечной оценкой для m_x является выборочное среднее

(6)

1. Несмещенность :

2. Эффективность: можно проверить, что из всех предложенных формул у формулы (6) дисперсия наименьшая.

3. Состоятельность:

1. Оценка для дисперсии: - ?

Возьмем в качестве оценки D_x D_в

1. Несмещенность :

Поместим начало координат в точку m_x. Тогда: