Dmitriev5 (Лекции Дмитриева)

п.30. Собственные функции краевой задачи для уравнения Бесселя.

Краевая задача для уравнения Бесселя

– ограничена, (или )

.

Замена переменных приводит к уравнению Бесселя , где – ограниченная цилиндрическая функция, а из условия (или ) находим – собственные значения и соответствующие  – собственные функции, ортогональные с весом

.

Рассмотрим следующую задачу Штурма-Лиувиля: найти такие , при которых задача

(30.1)

имеет нетривиальное решение, непрерывное вместе со своими 2-мя производными.

Сделаем замену переменного

Тогда придем к уравнению Бесселя нулевого порядка

Это уравнение имеет одно ограниченное решение

. (30.2)

Краевое условие при дает трансцендентное уравнение для определения собственных значений

(30.3)

т.к. функция Бесселя имеет число корней. Таким образом, мы имеем собственные ортонормированные функции для уравнения (30.1) в виде:

, (30.4)

которые ортогональны с весом :

(30.5)

Любая непрерывная дважды дифференцируемая функция на отрезке может быть разложена в ряд:

, (30.6)

где

. (30.7)

п.31 Линейные уравнения в частных производных первого по­рядка.

Рассматривается функция многих переменных

– частные производ­ные.

– уравнение в частных произ­водных I порядка.

Линейное уравнение

(31.1)

при непрерывные функции со своими первыми частными производными.

(31.2)

Рассматриваем уравнение (31.1) с условием (31.2)

.

Для этого уравнения имеем систему дифференциальных уравне­ний для фазовых траекторий

(31.3)

Интегральные кривые системы (31.3) называются характеристи­ками исходного уравнения. Через каждую точку проходит одна и только одна характеристика.

Т е о р е м а 31.1. Вдоль характеристики решение сохра­няет постоянное значение.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Если параметрическое задание характеристики, то

(согласно уравнению 31.1).

Следовательно, (вдоль характеристики)

(вдоль характеристики).

О п р е д е л е н и е. Первым интегралом уравнения (31.1) назы­вается функция , обращающаяся тождественно в посто­янную, когда движется вдоль характеристики (инте­гральной кривой системы 31.1).

В частности, пусть , тогда систему (31.3) можно записать в виде:

, (31.4)

начальные данные .

Решение системы (31.4)

. (31.5)

Функции сопоставляют точки .

Эти точки можно поменять местами, т.е.

, (31.6)

Функции – первые интегралы, т.к. на решении (31.3) обращаются в .

Взаимная обратимость (31.5) и (31.6) означает неравенство нулю якобиана:

при . (31.7)

Это означает, что являются функционально независи­мыми первыми интегралами.

Т е о р е м а 31.2. Всякое решение уравнения (31.1) явля­ется первым интегралом системы (31.4) и, обратно, всякий первый интеграл системы (31.4) является решением уравнения (31.1).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1. Пусть – решение уравнения (31.1) если – уравнение характеристик, то на характеристике – первый интеграл.

2. – первый интеграл на характеристике, на характеристике на характеристике (т.к. через каждую точку М проходит характеристика) всюду в G, т.е. – решение (31.1)

Рассмотрим уравнение (31.1) в случае двух независимых переменных :

(31.8)

Ecли ввести вектор и , то (31.8) запишется в виде:

(31.9)

или (производная по данному направлению равна нулю).

Вектор коллинеарен вектору , касательному к кривой (т.к. . Пусть дает нам кривую Г, которая задана в параметрическом виде:

(31.10)

Тогда

(31.11)

т.к. . Система (31.11) определяет кривые (31.10), на которых . Фазовые траектории системы (31.11) являются интегральными кривыми уравнения

(или ) . (31.12)

Интегральные кривые (31.12) называются характеристиками уравнения в частных производных (31.8). Обычно (31.12) записывают в симметричном виде:

. (31.13)

Т.к. А и В не обращаются одновременно в нуль, то уравнение (31.13) имеет единственное решение задачи Коши. Это означает, что через каждую точку области G проходит одна и только одна характеристика.

Пусть – интегральная поверхность уравнения в частных производных (31.8). Как изменяется U(x,y) вдоль характеристики

на характеристике.

Общее решение уравнения (31.8).

Через любую т. М(x,y) проходит характеристика. Пусть – кривая, не совпадающая с характеристикой.

Ясно, что характеристики составляют однопараметрическое семейство. Зафиксируем т. на и обозначим расстояние до пересечения характеристики с от т. через . Тогда каждой характеристике соответствует свое . Если расстояние от М до по характеристике обозначим t, то каждой паре (x,y) соответствует своя пара , т.е.

(31.14)

В переменных уравнение характеристики

(31.15)

т.к. вдоль характеристики при изменении имеем . Из (31.15) имеем, что вдоль характеристики

. (31.16)

Выражение (31.16) дает все характеристики, как семейство от параметра , т.е. . В переменных легко получить решение уравнения (31.8)

На характеристике

и .

Это означает, что , где F – произвольная функция. Отсюда получаем, что общее решение уравнения (31.8) представимо в виде:

, (31.17)

где F – произвольная функция, а на характеристике, – первый интеграл.

Достаточно найти такую , что на характеристике , тогда общее решение .

Задача Коши для уравнения (31.8) ставится следующим образом:

(31.18)

где – кривая, не совпадающая с характеристикой ни на одном интервале положительной длины, а – заданная функция. Если нам известно , обращающееся в на характеристике (31.18), то общее решение есть . Из начального условия на функция F определяется следующим образом:

. Разрешив уравнение , получим

(31.19)

Решение представимо в виде:

. (31.20)

Это решение уравнения (31.18) и удовлетворяет начальному условию , т.к. (31.20), согласно (31.19), на дает .

п.32 Постановка обратных задач для дифференциального уравнения второго порядка. Неустойчивость задачи

определения правой части уравнения.

I Задача определения правой части дифференциального уравнения.

Дана краевая задача для неоднородного уравнения.

(32.1)

Требуется определить по дополнительному условию

. (32.2)

II Задача определения коэффициентов дифференциального уравнения .

Дана краевая задача для однородного уравнения:

(32.3)

требуется определить по дополнительному условию

. (32.4)

Первая задача – линейная, а вторая – нелинейная. Обе задачи неустойчивы. Докажем неустойчивость первой задачи. Для этого редуцируем ее к интегральному уравнению первого рода.

Найдем функцию Грина для задачи (32.1)

(32.5)

Представим функцию Грина в виде:

(32.6)

Подставив в условия при в задаче (32.5), получим систему уравнений для определения и :

Откуда находим

где

Подставив найденные A и B в (32.6), найдем

.

Тогда решение краевой задачи (32.1) запишется в виде:

(32.7)

Подставив (32.7) в дополнительное условие (32.2) и учитывая, что

,

получим:

(32.8)

Это — интегральное уравнение I рода для при известном . Покажем неустойчивость интегрального уравнения I рода.

Рассмотрим интегральное уравнение I рода:

. (32.9)

Пусть выполнены условия, при которых решение этого уравнения существует и единственно. Пусть и  — непрерывные функции, являющиеся решениями интегрального уравнения (32.9) соответственно для правых частей и . Тогда возьмем:

. (32.10)

Тогда

Заметим, что .

Если велико, то и отличаются сильно, но

,если

Таким образом, малым изменениям могут соответствовать большие изменения . Задача неустойчива.

Задачу можно сделать устойчивой, если предположить, что решение принадлежит более узкому классу. Например, пусть априори известно, что дифференцируема и ее производная ограничена , а правые части таковы, что они соответствуют этим решениям. Тогда задача станет устойчивой.

.

Таким образом, если мало то мало и .

Именно на этой основе и дано определение корректности задачи по Тихонову:

1. Априори известно, что решение существует и принадлежит более узкому множеству функций Y (называется множеством корректности);

2. Решение единственно;

3. Если правая часть принадлежит F, для которых решение принадлежит Y, то тогда задача устойчива.

п.33. Понятие функционала и вариации. Постановка

вариационной задачи. Необходимые условия экстремума.

Функционалом называется отображение множества функций в множество чисел (аналогия с функцией, но заданной не на числовом, а на функциональном множестве).

Пример: время, затраченное на прохождение траектории , если скорость зависит от точки нахождения

По аналогии с дифференциалом функции вводится понятие вариации функции.

Вариацией функции (аргумента функционала) называется разность функций