Dmitriev3 (Лекции Дмитриева)

п.18. Основные понятия теории устойчивости.

Устойчивость решения линейной системы.

Мы рассматривали все свойства дифференциальных уравнений, если решение определено на конечном интервале . Возникает вопрос, что будет с непрерывностью по начальным данным при . Это и входит в теорию устойчивости.

Имеем задачу Коши – решение.

Изменим начальные данные на малую величину

.

Следовательно, , при конечном имеем

,

а при для имеем и .

Ясно, что безразлично какие начальные . Поэтому в дальнейшем рассматриваем . Причем, изучаем , т.е. задача Коши для

(18.1)

т.е. =0 является решением (18.1).

Устойчивость определяется поведением решения (18.1) при t, если в (18.1) возмутить начальное условие . Таким образом, вопрос об устойчивости связан с тем: остается ли решение на фазовой плоскости в окрестности точки покоя ( =0) или выходит из нее.

О п р е д е л е н и е.

Решение задачи (18.1) называется устойчивым по Ляпунову, если для такое, что при для всех cправедливо неравенство

(18.2)

и асимптотически устойчивым, если кроме устойчивости выполняется условие: такое, что при

. (18.3)

Исследуем устойчивость линейной системы с постоянными коэффициентами. Для исследования необходимо иметь некоторые оценки, которые даются в лемме 18.1.

Лемма 18.1.

Справедливы следующие оценки:

1. .

Если , то

(18.4)

2. , тогда

. (18.5)

3. . (18.6)

4. (18.7)

5. Для импульсной функции формулы (13.2) справедливо неравенство

, (18.8)

где – положительная постоянная.

До к а з а т е л ь с т в о.

2. .

5. Переходя к новой переменной в задаче ,

приходим к .

Тогда

т.к. , а .

Т е о р е м а 18.1. Решение линейной системы с постоянными коэффициентами

(18.9)

асимптотически устойчивое, если для всех корней характеристического многочлена выполняется условие

для , (18.10)

и неустойчиво, если хотя бы одно .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В п.15 и п.16 мы описали, как строится решение для .

, где .

Фундаментальная матрица решений

имеет столбцы из фундаментальных решений

, где .

Если в (18.9) возмутить начальные условия , то решение (18.9) будет .

Если все , то при

Если хотя бы одно , то при .

Если , а остальные , то вопрос об устойчивости сложен. Возможны разные варианты.

п.19. Исследование устойчивости решения системы по первому приближению.

Рассмотрим нелинейную автономную систему дифференциальных уравнений

(19.1)

Автономной называется система, правая часть которой не зависит от .

Исследование на устойчивость по первому приближению проводится следующим образом:

1) Разлагаем в ряд, учитывая, что . Тогда

(19.2)

где , а – остаточный член, который можно представить в виде;

(взяв в средней точке). (19.3)

2) Рассмотрим устойчивость линейной части системы . Если все матрицы меньше нуля, то решения линеаризованной системы устойчивые.

3) Исследуем как влияет на устойчивость нелинейная поправка

Рассмотрим систему

(19.4)

Пусть – импульсная функция для системы

.

Тогда из (19.4) получим

. (19.5)

Используя лемму 18.1, получим

,

Тогда

, (19.6)

где , – любое положительное число,

Чтобы из (19.6) получить оценку для при , рассмотрим вспомогательную задачу:

(19.7)

Сведем к интегральному уравнению, считая ,

. (19.8)

Сравнивая (19.6) и (19.8), получаем

при любом . (19.9)

Д о к а з а т е л ь с т в о

и непрерывны и при . Следовательно, при . Пусть . Тогда

. То есть, .

Пришли к противоречию. при .

Теперь оценку получаем из оценки , для которой имеется аналитическое решение

(19.10)

При имеем и имеем

Имеем асимптотическую устойчивость.

Т е о р е м а 19.1. Пусть в некоторой окрестности точки покоя правая часть автономной системы непрерывна вместе с производными до 2-го порядка включительно. Тогда, если все характеристические числа матрицы

удовлетворяют условию , то тривиальное решение системы (19.1) асимптотически устойчиво. Если хотя бы одно имеет , то решение неустойчиво.

п.20. Исследование траектории в окрестности точки покоя.

Исследование проводим в двумерном случае для системы с постоянными коэффициентами:

(20.1)

или

(20.2)

Точка является особой в уравнении (20.1). Предположим, что в системе (20.1) не является корнем характеристического уравнения и корни различны . В этом случае общее решение (20.1) имеет вид:

, (20.3)

где – собственные вектора матрицы , соответственно для и .

Тогда

. (20.4)

Рассмотрим различные случаи для разных соотношений между и .

1. Действительные одного знака.

1а. (отрицательные характеристические числа). Точка покоя,согласно теореме 19.1, асимптотически устойчива. Если , то при при имеем асимптотическую прямую (проходит через точку покоя). Если , то имеем (прямая )

Такая точка покоя называется "узлом".

1б. (положительные характеристические числа). Получается та же картина, но точка покоя неустойчива и "узел" расходящийся (стрелки идут от начала координат).

2. Действительные разного знака.

Пусть Точка покоя, согласно теореме 19.1, неустойчива. Если , то , а, если , то

Полученные прямые называются "сепаратрисами".

Точка называется "седлом". Точка вначале идет к центру, но затем переходит на другую прямую и уходит в .

3. Случай разных комплексных характеристических чисел

В этом случае решение представляется в виде:

(*)

причем, из линейной независимости, следует

(**)

3а. Случай чисто мнимых

Тогда из системы (*) находим:

.

Используя тождество получим

.

Это эллипсы. Точка покоя устойчива, но не асимптотически. Эта точка называется "центром".

В зависимости от начальных данных точка вращается вокруг центра (точка покоя), что соответствует эллипсу.

3б. Исключая и , получим

.

Это эллиптическая спираль. При имеем асимптотическую устойчивость, а при – неустойчива. Точка называется "фокус".

50