Лекция № 3.

Обработка сигналов и обработка изображений.

Антон Переберин.

Обработка сигналов.

Сигнал – некоторая функция f(x). Обычно х – время или пространственная координата.

Непрерывный сигнал – f(x) имеет непрерывную область определения ( не путать с определением непрерывной функции ).

Дискретный сигнал – f(x) определена на дискретном наборе точек.

Оцифровка сигнала – перевод непрерывного сигнала в дискретный ( например, для представления в ЭВМ ).

Выборка (sampling) – выбор дискретного набора значений исходного сигнала.

Алиасинг (aliasing) – искажения информации, полученные в результате выборки сигнала.

Антиалиасинг (anti - aliasing) – устранение (смягчение) алиасинга.

Т
очечная выборка.

В результате часть информации потеряна.

В
ычисление элемента выборки вблизи точки x_i можно записать т


ак:

Точечная Независимая Взвешенная

А







лиасинг и анти-алиасинг.

Возникают следующие вопросы:

Как построить выборку, по которой исходный сигнал восстанавливается полностью?

Для любого ли сигнала такая выборка существует?

Что делать, если такую выборку построить невозможно?

Теорема о выборке.

Сигнал может быть точно восстановлен по выборке, если частота выборки выше, чем удвоенная максимальная частота гармонических составляющих этого сигнала. Следовательно, нельзя построить «хорошую» выборку для сигнала с нефинитным образом Фурье.

Гармонический анализ.

Идея: представить тригонометрический сигнал в виде суперпозиции (суммы) гармонических колебаний, т.е. функций вида:

A sin(w x + a),

A - амплитуда, w – частота, a – фазовый угол. Период колебаний

T = 2/w.

Тригонометрический ряд Фурье.

Т
ригонометрический ряд Фурье для одномерных непрерывных сигналов, определенных на конечном отрезке [ – l, l]:

Интеграл Фурье.

П
редельный случай ряда Фурье для одномерных сигналов, определенных на ():

Преобразование Фурье.

П
реобразование Фурье:

О
братное преобразование Фурье:

Происхождение «алиасинга».

Alias – псевдоним. В результате недостаточной выборки (undersampling) высокочастотный сигнал может выдавать себя за сигнал более низкой частоты.

Возможное решение проблемы алиасинга – принудительное понижение частоты исходного сигнала.

Н


изкочастотная фильтрация.

|F(w)|

Свертка.

Свертка (перемножение) двух функций эквивалентна перемножению (свертке) их образов Фурье.

Фильтрация: умножение на фильтр в частотной области или свертка в пространственной.

Свертка и многочлены.

Z
-преобразование (многочлен Лорана):

Свертка эквивалентна перемножению многочленов (Z-преобразований):

Идеальный фильтр.

Идеальный фильтр (perfect filter) в частотной области – box-функция. Идеальный низкочастотный фильтр в пространственной области – sinc-функция.

Итоги.

Любая выборка – это низкочастотная фильтрация (свертка) с пследующей точечной выборкой.

Антиалиасинг в самом общем случае – это низкочастотная фильтрация сигнала с помощью некоторого фильтра.

Качество антиалиасинга определяется степенью его приближения к идеальной фильтрации.

Обработка изображений.

Дискретный случай.

Рассматривается случай конечных дискретных сигналов:

Д
лина сигнала – количество элементов:

Дискретное преобразование Фурье.

Д
искретное преобразование Фурье (сигналу длины N ставится в соответствие сигнал длины N):

Обратное дискретное преобразование Фурье:

Дискретная свертка.

С


вертка сигналов:

Двумерный случай:

g
называется фильтром или ядром свертки. С точки зрения математики g и h абсолютно равноправны.

Действие фильтра h на сигнал f можно записать в виде свертки h  f …

… или в виде произведения F * H, где F и H — z-преобразования или Фурье-преобразования сигнала и фильтра соответственно…

… или в матричном виде:

Физические примеры сверток.

а). Магнитофонная головка

б). Камера Обскура (pinhole camera)

в). Вывод изображения на ЭЛТ.

Обработка изображений.

И
зображение:

Фильтр (ядро сетки):

Ц
ентр ядра h_0,0 .

Фильтрованное изображение (свертка):

Замечание! На границах либо доопределение изображения, либо изменение фильтра.

Фильтры для обработки сообщений.

Р
азмытие (blur).

А

здесь другая матрица:

У

величение резкости:

Выделение контура:

+ порог

Иногда рассматривается еще и пороговое значение (порог).

Т

иснение:

П
люс рассматривается сдвиг яркости.

Свертка.

Ч
тобы представить концепцию свертки, предположим, что мы хотим определить, где у изображения находятся вертикальные границы. Так как граница – резкое изменение интенсивности, мы должны начать с вычисления производных изображения в горизонтальном направлении. Производные с большими значениями, положительными или отрицательными – элементы вертикальных границ. Частная производная – непрерывная функция F(x,y) c горизонтальной переменной х, определенная как приращение функции в х направлении или, формально, в соответствии со следующим пределом:

И

зображение на устройстве – функция дискретной переменной, и мы не можем взять бесконечно малой: наименьшее значение – один пиксел. Если наше устройство имеет шаг один пиксел, то и довольно грубое приближение при целых значениях .Итак

Здесь мы предположим для простоты, что ориентации осей х и у и i и j совпадают (на самом деле это совсем не так) . Когда мы определим границы, мы увидим, что это можно сделать и лучше, но этот пример достаточно хорош для объяснения свертки.

Это часть кода, которая вычисляет приближение по i в изображении:

for(j=jstart; j<= jend; j++) h[i][j] = f[i][j+1]-f[i][j];

Заметим, кстати, что последнее значение j, для которого вычисление определено – это следующий за последним пикселом, из-за этого jend должно быть определено соответствующим образом. Эту же операция можно переписать с помощью масок g со значениями g[0]=1 и g[1]=-1, перемножая почленно маски с соответствующими элементами f и складывая результаты получим:

for(j=jstart; j<= jend; j++) h[i][j] = g[0]*f[i][j+1]+g[1]*f[i][j];

М
ы добавили гибкости и теперь можем менять g, не изменяя кода. Мы можем расширить массив g и посчитать приближенно центральную производную:

Итак, сейчас мы можем определить, например, g[-1],g[0] и g[1] и написать общий цикл в свете возможных изменений в нашем выборе g:

for (j = jstart; j <= jend; j++)

{

h[i][j] = 0;

for (b = bstart; b <= bend; b++)

h[i][j] += g[b]*f[i][j-b];

}

Теперь стало возможным выбрать горизонтальных соседей и веса, с которыми их можно совместить. Также целесообразно воспользоваться двумерным массивом g[a][b]:

for (i = istart; i <= iend; i++)

for (j = jstart; j <= jend; j++)

{

h[i][j] = 0;

for (a = astart; a <= aend; a++)

for (b = bstart; b <= bend; b++)

h[i][j] += g[a][b]*f[i-a][j-b];

}

Часть внутри скобок очень важна в обработке сигналов. Два вложенных цикла обеспечивают прибавление значений к h[i][j], эту часть кода иллюстриет следующая формула:

Это и называется сверткой. Свертывание сигнала с данной маской также называется фильтрацией сигнала с маской. В фильтрации маской часто называют точечную функцию фильтра, положим:

Тогда изображение f - она точка в море нулей. Когда свертка (1) посчитана , мы имеем:

h(i,j)=g(i,j).

Другими словами, каждая точка – капелька в маске, воспринимаемой как изображение.

Выбор записи для g поначалу был произвольным как в математическом смысле так и в коде программы. На самом же деле, вместо того чтобы писать g[-1]=1,g[0] =0 и g[1]=-1, естественнее положить g[-1]=-1,g[0] =0 и g[1]=1, и тогда в выражениях f[i-a][j-b] и f(i-a,j-b) минусы поменяются на плюсы. В терминах программирования нет большой разницы между двумя операциями. С точки зрения математики знак минус более предпочтителен. Во-первых, g(i,j) может быть воспринята как точечная функция, во-вторых, из-за знаков свертка становится похожей на перемножение полиномов. Сравните два полинома:

Следовательно, последовательность коэффициентов результата п
еремножения этих полиномов есть свертка последовательностей их коэффициентов:

Интерпретация маски g(i,j) как точечной функции подсказывает другой способ рассмотрения фильтрации. Функция , определенная в (2) есть единственная точка с определенным значением высоты. Общее изображение f(i,j), с другой стороны, может быть воспринята как полный набор точек( одна на пиксел), высота которых равна значению изображения. В формулах:

суммирование происходит в пределах данного изображения. Это выражение есть свертка f и . Заметим, что тоже самое можно записать по-другому:

М
ы заменили i на i-a, j на j-b, при этом индексы изменяются на всей числовой прямой. Но если результатом (i,j) является точечная функция g(i,j), то результатом

является линейная комбинация точечных функций, связанная с каждым пикселом изображения. Это описывает то, что происходит в камере Обскура. На самом деле, одна точка попадает на маленький диск на экране (точечная функция). Каждая точка рисует маленький диск на экране, и яркость каждого диска пропорциональна яркости точки. Результат – размытое изображение. Вывод: изображение, сформированное камерой Обскура, есть свертка идеального четкого изображения с функцией размывания.

Разница между сверткой, определенной в (1) и тем, что случается в камере Обскура, заключается в том, что точки в окружающем нас мире вовсе не упорядочены, как пикселы в изображении, да к тому же непрерывны. К счастью, все концепции, относящиеся к свертке расширены на случай непрерывных функций. Можно ввести свертку следующим образом:

Размытое изображение, воспроизводимое камерой Обскура, - свертка четкого изображения f(x,y) с функцией размытия:

r – радиус камеры.