Экзаменационные вопросы

Программа курса “Дифференциальные уравнения”

Понятие дифференциального уравнения. Примеры физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям. Начальные и граничные условия.

Простейшие уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах. Постановка задачи Коши для уравнения 1-го порядка, разрешенного относительно производной. Существование и единственность решения задачи Коши. Зависимость решения задачи Коши от начальных условий и параметров.

Уравнения n-го порядка. Существование и единственность решения задачи Коши. Линейные уравнения n-го порядка и их свойства. Общее решение однородного уравнения. Методы построения частного решения неоднородного уравнения. Функция Коши. Уравнения с постоянными коэффициентами.

Системы уравнений 1-го порядка, их связь с уравнением n-го порядка. Существование и единственность решения задач Коши. Система линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Общее решение однородной системы. Решение неоднородной системы линейных уравнений (метод вариации постоянной, матрица Коши). Система уравнений с постоянными коэффициентами.

Устойчивость решения по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Понятие точки покоя. Классификация точек покоя системы двух линейных уравнений 1-го порядка. Исследование устойчивости решения по первому приближению. Второй метод Ляпунова.

Краевая задача для неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка. Функция Грина, ее свойства и физический смысл.

Понятие разностной схемы. Сходимость, аппроксимация и устойчивость. Разностные схемы решения начальных и краевых задач.

Линейные однородные уравнения в частных производных. Уравнения характеристик. Первые интегралы. Построение общего решения. Задача Коши. Квазилинейные уравнения в частных производных.

Понятие об асимптотических методах теории дифференциальных уравнений, зависящих от параметра. Понятие регулярно и сингулярно возмущенных задач.