Диффуры2 (Шпаргалка)

2019-05-09СтудИзба

Описание файла

Файл "Диффуры2" внутри архива находится в папке "Шпаргалка". Документ из архива "Шпаргалка", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "дифференциальные и интегральные уравнения и вариационное исчисление" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Онлайн просмотр документа "Диффуры2"

Текст из документа "Диффуры2"

Линейные ур-ия с постоянными коэфф.

x’ = Ax; А –матр., x(t) = (x1(t)…xn(t)). Ищем : |A-E|=0; Xi=…;

  1. i – Re корень кр-ти s=1  соотв. слагаемое Ci*Vi*e^(i*t), Vi – соб. вект.,

соотв. i. Найдем его: (А - Е)=0;

  1. i – Re корень кр-ти s<>1 

а) есть s ЛНЗ соб. вект.  соотв. i слаг. = С1*V1*e^(i*t) +…+Cs*Vs* e^(i*t);

б) соб. вект . m<= s  для данного i подставим это в исх. ур-ие и найдем коэфф.

x 1 P1,s-m (t) многочленов (для кадого свои коэфф.).

… …

… = … * e^(i*t );

x n Pn,s-m (t)

3) i – C число, s=1; k = ak + i*bk; для этого i находим x` = Vi** e^(i*t );

Vi – его соб. вект.  xi = C1*Re(x`) + C2*Im(x`).

  1. для кр-ти s >= 2  через Жордановы формы. max размер клетки для i = k, где k :

(А-i*Е)^k=0 или (А-i*Е)^k = (А-i*Е)^(k+1); каждой кл. порядка р>=1 соотв.

серия вект. базиса h1…hp: h1<>0 и

A*h1 = *h1; каждой серии h1…hp соотв. р ЛНЗ решений х1…хn системы

A*h2 = * h2 + h1; x`=A*x: x1 = e^(*t )*h1; {кажд. след. мн-н --  от предыд.}

… x2 = e^(*t )* [(t/1!)*h1 + h2]; {причем const = hi}

A*hp = *hp + hp-1; x3 = e^(*t )* [(t/2!)*h1 + (t/1!)*h2 + h3]; и т. д.

Системы, не приведенные к нормальному виду (с n-ыми произв.).

[ a01*x(n) + a11*x(n-1) + … + aN1*x ] + [b01*y(n) + b11*y(n-1) +…+ bN1*y ] = 0; найдем  из матр.;

[ a02*x(n) + a12*x(n-1) + … + aN2*x ] + [b02*y(n) + b12*y(n-1) +…+ bN2*y ] = 0; дальше см.выше.

[ a01*n + a11*n-1 + … + aN1 ] + [b01* n + b11* n-1 +…+ bN1 ] = 0;

[ a02*n + a12*n-1 + … + aN2 ] + [b02*n + b12*n-1 +…+ bN2 ] = 0;.

Неоднородные системы.

x` = A*x + f; f = (f1(t)…fn(t)); 1) решим однородноое; 2) х = х Однородное + х Частное;

х Частное : выбираем столбец, где f одного типа (полином, exp, sin, cos…). fm = Pm(t)*e^(*t);

Pm -- полином степени m; х Частное = Qm(x) * xS * e^(*t); Qm -- полином степени m:

m = max(степеней fm) + S; s – кратность  как корня хар. мн-на, =0 if  не корень.

Вариация постоянных.

Решим однор., потом С:= С(t); подст. в исх. (расписыв. покомпонентно как х,у, а не как вектор), находим С1, С2.

Устойчивость.

x` = f(t,x1,…,xn)  беск. много реш. этой системы. Для единственности -- нач.усл.; x = (t) –

решение (векторн.).

Опр. x = (t) устойчиво по Ляпунову, if  >0   >0 :  x(t) – реш. сист.: | x(t0) -- (t0) | < 

{ t0 -- некоторая т., обычно 0}  | x(t) -- (t) | < ; {для всех остальных точек}.

If нулевое реш. не явл. реш., то замена: у = x(t) -- (t).

Опр. x = (t) асимптотически устойчиво, if 1) устойчиво по Ляпунову, 2) lim |x(t)--(t)| = 0

при t  ;

Теорема. x` = f(t,x1,…xn) – сист. ур-ий; выделим лин. часть из каждой fi {Тейлор} и отбросим

остаток  получим лин. сист. If все Re части собственных значений матрицы коэфф.

этой лин. сист. < 0  решение этой сист. aсимптотич. устойч., if хотя бы одно > 0,

нет устойч-ти. If = 0  неизвестно. {это все верно только для НУЛЕВОГО реш.}

Условие отрицательности всех Re частей корней ур-ия a0*n + a1*n-1 + … + aN = 0.

а) Необх. усл.: все ai > 0. при n <= 2 оно же достат.

б) Усл. Рауса –Гурвица: все главные диаг. миноры Δi > 0 у матрицы

a1 a0 0 0……….....0 {все ai : i > n или i < 0 заменили ‘0’}

a3 a2 a1 a0 0……..0

a5 a4 a3 a2 a1 a0 ….0

…………………….

0 0 0 0 0 0…. aN

в) усл. Льенара – Шипара. Необх. и дост., чтобы все ai> 0 и Δ n-1 >0, Δ n-3 >0,

Δ n-5 >0…;

г) критерий Михайлова. Необх. и дост., чтобы aN*aN-1 > 0 и корни многочленов

p() = aN -- aN-2* -- aN4*2 --… были > 0, разл. и черд., т.е.

q() = aN-1 -- aN-3* -- aN5*2 --… 0 < 1 < 1 < 2 < 2 <…

Особые точки.

Рассм. сист.  dx/dt = P(x,y) или dy/dx = Q(x,y) / P(x,y); Опр. Ос.т. – где обе P и Q = 0,

dy/dt = Q(x,y) т.е. решение сист. P(x,y) = 0 && Q(x,y) = 0.

для системы dx/dt = ax + by; {др. типы сводятся к ней выделением лин. части (Тейлор)}

dy/dt = cx + fy; {(0,0) д.б. реш., иначе ищем т., к-рая явл. реш., и делаем зам.}

ищем -ы; возм. случаи:

а) оба Re и одного знака  узел

б) Re, но разных знаков  седло

в)  C, причем Re() <> 0  фокус

г)  чисто мнимые  центр

д) -ы равные и ненулевые  вырожденный узел, или дикритический узел  только в случае dy/dx = y / x

е) оба  = 0  ур-ие принимает вид dy/dx = k  реш. предст. собой ||-ые прямые

ax + by = 0, все т. которых особые.

Узел, седло или вырожд. узел  найдем прямые, прох. через ос. т.: они напр. вдоль соб.

вект. матрицы из коэфф. системы;

узел  кривые кас. той пр., к-рая ||-а соб. вект., соотв. меньшему по модклю .

фокус 1) иссл. устойч. По Re( )(от фокуса или к нему), 2) по или против час. стр. закруч.

Строим в какой-н. точке (не  прямым) вектор скорости (dx/dt, dy/dt) {вектор: от этой т. до вычисленных координат вектора скорости}вдоль него движ. Для вырожд. узла аналогично.

Центр  оси эллипсов (вытянутость не надо). Устойч-ть  эллипс  -окр-ти; рассм. ф-ию

f(x,y) = x^2 + y^2; б. искать х(t),у(t) : x^2 + y^2 < ; дифф. это по t  df/dt = 2xx` + 2yy` = {x`,y` подст. из исх. сист.}=…; ур-ие осей y = kx; подст. это в df/dt.  квадратное ур-ие относит. k

 y = k1, y = k2 – две оси.

Сведение ур-ий к системам.

z=z(x1,…,xn);  ур-ие в частных производных: a1*(dz/dx1) + a2*(dz/dx2) +…+ an*(dz/dxn) = b;

Cост. сист. нелин. ур-ий: dx1/a1 = dx2/a2 = … = dxn/an = dz /b; реш. её; найдём n 1-ых интегралов 1(x1…xn, z) = c1; …; n(x1…xn, z) = cn. Ответ будет: F(c1,…,cn)=0 или F(1,…,n)=0; F – любая дифф. ф-ия, не ищем её. If z входит только в одну из k  ответ: k = f(1…k-1, k+1…n)  выразим z.

Найти пов-ть, прох. через заданную линию.

Находим с1,с2…; потом подставляем в выражения для с1,с2 ур-ия, задающие линию  находим связь с1,с2. В эту комбинацию F(c1,c1) подставим исх. выражения для с1,с2 (общий вид)  получим ур-ие пов-ти.

Задача Коши.

Ур-ие пор. n  (n-1) краевое усл. Не всегда существует решение.

Задача Штурма-Лиувилля.

Дано ур-ие (2-го пор.) с параметром  и 2 краевых усл. Найти соб. знач.  {такие , при к-рых исх.ур-ие имеет реш.: не  0 и удовл. краевым усл.} и соб. ф-ии (эти самые реш.)

Решаем ур-ие в общем виде; подставляем краевые усл. в общее реш.; находим С1 и С2; if не  0 реш.  ОК. Или подбираем такие , при к-рых  0 реш.

Ф-ия Грина.

a0(x)*y” + a1*y’ +a2(x)*y = f(x); Решение: y(x) = {0 to L}G(x,s)*f(s)ds; x,s [0,L]; G(x,s)

+гранич. усл. на [0,L] непрер. по х на (0,s)(s,L). В т. х=: G(x,s)|x = s+0 = G(x,s)|x = s0 ;

Скачок производной: G’x(x,s)|x = s+0 = G’x(x,s)|x = s0 + 1/a0(x); Построение G(x,s): найдём реш. однор. ур-ия (исх.) y(x,C1,C2); учитывая усл. на краях, найдем у1: удовл. левому, но не удовл. правому, и у2: удовл. правому, но не удовл. правому. G(x,s) = a(s)*y1(x) , x (0,s)

b(s)*y2(x) , x (s,L);

в эти ур-ия подставим усл. непрер-ти G и скачка произв.  найдём a(s) и b(s).

Ищем решения в виде СР

{k=0 to } y(k)(x0)/k! * (x--x0)k; или в виде обобщенного СР {k=0 to } a k* (x--x0)k + r; r не обязат. целое; берём y = a0 + a1*x + a2*x2 + a3*x3 + …; подст. это в исх ур-ие и приравниваем коэфф.

Зависимость реш. от нач. усл. и параметров.

y’(x,) = f(x, y(x, ), ); надо найти dy/d | = 0; Пусть z(x, ) = dy/d; дифф. по  всё ур-ие

y(0,) = y0(); //гранич. усл. и гранич. усл.; надо найти z(x,0), т.к. =0;

новая z’(x, ) = df/dy * z + df/d;

система: z(0, ) = y’0(); {м. было сразу :=0.} If в новой системе встретится у(х,0), то =0 подставим в исх . сист. и найдём этот y(x,0), останется система относительно z и x  найдём z.

If в исх. сист. x(t) и y(t)  две замены: z1= dx/d и z2 = dy/d;

Ещё можно разложить в ряд по : y(x, ) = y0 + y1(x)*  +…+ yn*n +…; yi(x)-- неизв. ф-ии.

Подставим этот вид в исх. ур-ие, предварительно разложив все ln, exp и др. по Тейлору. Потом приравниваем коэфф.

Вариационное исчисление.

J(y) = {a to b} f(x, y, y’)dx  функционал; Задача: найти у(х): удовл. гранич. усл. и на нём

y(a) = A, y(b) = B; //гранич. усл. достигается min или max ф-ла J.

Ур-ие Эйлера {аналог производной для ф-ии}: f ’Y d/dx(f ’Y’) = 0;

Если у нас J(y) = {a to b} f(x, y, y’, z, z’)dx  от нескольких ф-ий, то ур.Эйл. для каждой  система получится. И ещё д.б. (2n) гранич. усл. {n – число ф-ий}.

Если у нас J(y) = {a to b} f(x, y, y’, y”,…y(n))dx  ур-ие Эйлера выглядит так:

f ’Y  d/dx(f ’Y’) + d2/dx2 (f’Y’’) -- … + (-1)n * dn/dxn (f’Y’(n)’) = 0;

Опр., min или max функционала.

Вв. норму || y ||C0 = max{x[a,b]} |y(x)|; || y ||C1 = max{x[a,b]} |y(x)| + max{x[a,b]} |y’(x)|;

Окрестность U0(y0) = { y(x): y(x)C0[a,b], ||y y0|| C0 <  }; U1(y0) = { y(x): y(x)C1[a,b], ||y y0|| C1 < }; y0(x) доставляет ф-лу J(y) сильный min, if  U0(y0) :  y(x) J(y)  J(y0), if знак ‘ ‘ сильный max. Слабый min  берём окр-ть U1(y0), а не U0(y0).

Условие Лежандра (критерий min или max).

J(y) = {a to b} f(x, y, y’)dx; Найдём экстремали, потом расмм. <знак> f ”Y’Y’ (x, y(x), y’(x)):

y(a) = A, y(b) = B;  > 0  min; if в окр-ти y0  сильный (и  нестрогое:  или );

{ y0 – экстремаль}  < 0  max; if только на y0  слабый (и  строгое: ‘<’ или ‘>’);

Нелинейные системы.

1 способ. Выразить z или др. перем. и подст. в др. ур-ия.

2 способ. Искать -емые комбинации: -ые (n-1) независимых 1-ых -лов будут реш. {n-число перем., включая искомые}.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5193
Авторов
на СтудИзбе
434
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее