Диффуры2 (Шпаргалка)

Линейные ур-ия с постоянными коэфф.

x’ = Ax; А –матр., x(t) = (x1(t)…xn(t)). Ищем : |A-E|=0; Xi=…;

1. i – Re корень кр-ти s=1  соотв. слагаемое Ci*Vi*e^(i*t), Vi – соб. вект.,

соотв. i. Найдем его: (А - Е)=0;

1. i – Re корень кр-ти s<>1 

а) есть s ЛНЗ соб. вект.  соотв. i слаг. = С1*V1*e^(i*t) +…+Cs*Vs* e^(i*t);

б) соб. вект . m<= s  для данного i подставим это в исх. ур-ие и найдем коэфф.

x 1 P1,s-m (t) многочленов (для кадого свои коэфф.).

… …

… = … * e^(i*t );

x n Pn,s-m (t)

3) i – C число, s=1; k = ak + i*bk; для этого i находим x` = Vi** e^(i*t );

Vi – его соб. вект.  xi = C1*Re(x`) + C2*Im(x`).

1. для кр-ти s >= 2  через Жордановы формы. max размер клетки для i = k, где k :

(А-i*Е)^k=0 или (А-i*Е)^k = (А-i*Е)^(k+1); каждой кл. порядка р>=1 соотв.

серия вект. базиса h1…hp: h1<>0 и

A*h1 = *h1; каждой серии h1…hp соотв. р ЛНЗ решений х1…хn системы

A*h2 = * h2 + h1; x`=A*x: x1 = e^(*t )*h1; {кажд. след. мн-н --  от предыд.}

… x2 = e^(*t )* [(t/1!)*h1 + h2]; {причем const = hi}

A*hp = *hp + h_p-1; x3 = e^(*t )* [(t/2!)*h1 + (t/1!)*h2 + h3]; и т. д.

Системы, не приведенные к нормальному виду (с n-ыми произв.).

 [ a₀₁*x⁽ⁿ⁾ + a₁₁*x^(n-1) + … + a_N1*x ] + [b₀₁*y⁽ⁿ⁾ + b₁₁*y^(n-1) +…+ b_N1*y ] = 0; найдем  из матр.;

[ a₀₂*x⁽ⁿ⁾ + a₁₂*x^(n-1) + … + a_N2*x ] + [b₀₂*y⁽ⁿ⁾ + b₁₂*y^(n-1) +…+ b_N2*y ] = 0; дальше см.выше.

 [ a₀₁*ⁿ + a₁₁*^n-1 + … + a_N1 ] + [b₀₁* ⁿ + b₁₁* ^n-1 +…+ b_N1 ] = 0;

[ a₀₂*ⁿ + a₁₂*^n-1 + … + a_N2 ] + [b₀₂*ⁿ + b₁₂*^n-1 +…+ b_N2 ] = 0;.

Неоднородные системы.

x` = A*x + f; f = (f1(t)…fn(t)); 1) решим однородноое; 2) х = х _{Однородное} + х _{Частное};

х _{Частное} : выбираем столбец, где f одного типа (полином, exp, sin, cos…). fm = Pm(t)*e^(*t);

Pm -- полином степени m; х _{Частное} = Qm(x) * x^S * e^(*t); Qm -- полином степени m:

m = max(степеней fm) + S; s – кратность  как корня хар. мн-на, =0 if  не корень.

Вариация постоянных.

Решим однор., потом С:= С(t); подст. в исх. (расписыв. покомпонентно как х,у, а не как вектор), находим С1, С2.

Устойчивость.

x` = f(t,x1,…,xn)  беск. много реш. этой системы. Для единственности -- нач.усл.; x = (t) –

решение (векторн.).

Опр. x = (t) устойчиво по Ляпунову, if  >0   >0 :  x(t) – реш. сист.: | x(t₀) -- (t₀) | < 

{ t₀ -- некоторая т., обычно 0}  | x(t) -- (t) | < ; {для всех остальных точек}.

If нулевое реш. не явл. реш., то замена: у = x(t) -- (t).

Опр. x = (t) асимптотически устойчиво, if 1) устойчиво по Ляпунову, 2) lim |x(t)--(t)| = 0

при t  ;

Теорема. x` = f(t,x1,…xn) – сист. ур-ий; выделим лин. часть из каждой fi {Тейлор} и отбросим

остаток  получим лин. сист. If все Re части собственных значений матрицы коэфф.

этой лин. сист. < 0  решение этой сист. aсимптотич. устойч., if хотя бы одно > 0,

нет устойч-ти. If = 0  неизвестно. {это все верно только для НУЛЕВОГО реш.}

Условие отрицательности всех Re частей корней ур-ия a₀*ⁿ + a₁*^n-1 + … + a_N = 0.

а) Необх. усл.: все a_i > 0. при n <= 2 оно же достат.

б) Усл. Рауса –Гурвица: все главные диаг. миноры Δi > 0 у матрицы

a₁ a₀ 0 0……….....0 {все a_i : i > n или i < 0 заменили ‘0’}

a₃ a₂ a₁ a₀ 0……..0

a₅ a₄ a₃ a₂ a₁ a₀ ….0

…………………….

0 0 0 0 0 0…. a_N

в) усл. Льенара – Шипара. Необх. и дост., чтобы все a_i> 0 и Δ n-1 >0, Δ n-3 >0,

Δ n-5 >0…;

г) критерий Михайлова. Необх. и дост., чтобы a_N*a_N-1 > 0 и корни многочленов

p() = a_N -- a_N-2* -- a_N4*² --… были > 0, разл. и черд., т.е.

q() = a_N-1 -- a_N-3* -- a_N5*² --… 0 < ₁ < ₁ < ₂ < ₂ <…

Особые точки.

Рассм. сист.  dx/dt = P(x,y) или dy/dx = Q(x,y) / P(x,y); Опр. Ос.т. – где обе P и Q = 0,

dy/dt = Q(x,y) т.е. решение сист. P(x,y) = 0 && Q(x,y) = 0.

для системы dx/dt = ax + by; {др. типы сводятся к ней выделением лин. части (Тейлор)}

dy/dt = cx + fy; {(0,0) д.б. реш., иначе ищем т., к-рая явл. реш., и делаем зам.}

ищем -ы; возм. случаи:

а) оба Re и одного знака  узел

б) Re, но разных знаков  седло

в)  C, причем Re() <> 0  фокус

г)  чисто мнимые  центр

д) -ы равные и ненулевые  вырожденный узел, или дикритический узел  только в случае dy/dx = y / x

е) оба  = 0  ур-ие принимает вид dy/dx = k  реш. предст. собой ||-ые прямые

ax + by = 0, все т. которых особые.

Узел, седло или вырожд. узел  найдем прямые, прох. через ос. т.: они напр. вдоль соб.

вект. матрицы из коэфф. системы;

узел  кривые кас. той пр., к-рая ||-а соб. вект., соотв. меньшему по модклю .

фокус 1) иссл. устойч. По Re( )(от фокуса или к нему), 2) по или против час. стр. закруч.

Строим в какой-н. точке (не  прямым) вектор скорости (dx/dt, dy/dt) {вектор: от этой т. до вычисленных координат вектора скорости}вдоль него движ. Для вырожд. узла аналогично.

Центр  оси эллипсов (вытянутость не надо). Устойч-ть  эллипс  -окр-ти; рассм. ф-ию

f(x,y) = x^2 + y^2; б. искать х(t),у(t) : x^2 + y^2 < ; дифф. это по t  df/dt = 2xx` + 2yy` = {x`,y` подст. из исх. сист.}=…; ур-ие осей y = kx; подст. это в df/dt.  квадратное ур-ие относит. k

 y = k1, y = k2 – две оси.

Сведение ур-ий к системам.

z=z(x1,…,xn);  ур-ие в частных производных: a1*(dz/dx1) + a2*(dz/dx2) +…+ an*(dz/dxn) = b;

Cост. сист. нелин. ур-ий: dx1/a1 = dx2/a2 = … = dxn/an = dz /b; реш. её; найдём n 1-ых интегралов 1(x1…xn, z) = c1; …; n(x1…xn, z) = cn. Ответ будет: F(c1,…,cn)=0 или F(1,…,n)=0; F – любая дифф. ф-ия, не ищем её. If z входит только в одну из k  ответ: k = f(₁…_k-1, _k+1…_n)  выразим z.

Найти пов-ть, прох. через заданную линию.

Находим с1,с2…; потом подставляем в выражения для с1,с2 ур-ия, задающие линию  находим связь с1,с2. В эту комбинацию F(c1,c1) подставим исх. выражения для с1,с2 (общий вид)  получим ур-ие пов-ти.

Задача Коши.

Ур-ие пор. n  (n-1) краевое усл. Не всегда существует решение.

Задача Штурма-Лиувилля.

Дано ур-ие (2-го пор.) с параметром  и 2 краевых усл. Найти соб. знач.  {такие , при к-рых исх.ур-ие имеет реш.: не  0 и удовл. краевым усл.} и соб. ф-ии (эти самые реш.)

Решаем ур-ие в общем виде; подставляем краевые усл. в общее реш.; находим С1 и С2; if не  0 реш.  ОК. Или подбираем такие , при к-рых  0 реш.

Ф-ия Грина.

a0(x)*y” + a1*y’ +a2(x)*y = f(x); Решение: y(x) = {0 to L}G(x,s)*f(s)ds; x,s [0,L]; G(x,s)

+гранич. усл. на [0,L] непрер. по х на (0,s)(s,L). В т. х=: G(x,s)|_{x = s+0} = G(x,s)|_{x = s0} ;

Скачок производной: G’_x(x,s)|_{x = s+0} = G’_x(x,s)|_{x = s0} + 1/a₀(x); Построение G(x,s): найдём реш. однор. ур-ия (исх.) y(x,C1,C2); учитывая усл. на краях, найдем у1: удовл. левому, но не удовл. правому, и у2: удовл. правому, но не удовл. правому. G(x,s) = a(s)*y1(x) , x (0,s)

b(s)*y2(x) , x (s,L);

в эти ур-ия подставим усл. непрер-ти G и скачка произв.  найдём a(s) и b(s).

Ищем решения в виде СР

_{{k=0 to }} y^(k)(x₀)/k! * (x--x0)^k; или в виде обобщенного СР _{{k=0 to }} a _k* (x--x0)^{k + r}; r не обязат. целое; берём y = a0 + a1*x + a2*x² + a3*x³ + …; подст. это в исх ур-ие и приравниваем коэфф.

Зависимость реш. от нач. усл. и параметров.

y’(x,) = f(x, y(x, ), ); надо найти dy/d |_{ = 0}; Пусть z(x, ) = dy/d; дифф. по  всё ур-ие

y(0,) = y₀(); //гранич. усл. и гранич. усл.; надо найти z(x,0), т.к. =0;

новая z’(x, ) = df/dy * z + df/d;

система: z(0, ) = y’₀(); {м. было сразу :=0.} If в новой системе встретится у(х,0), то =0 подставим в исх . сист. и найдём этот y(x,0), останется система относительно z и x  найдём z.

If в исх. сист. x(t) и y(t)  две замены: z1= dx/d и z2 = dy/d;

Ещё можно разложить в ряд по : y(x, ) = y₀ + y₁(x)*  +…+ y_n*ⁿ +…; y_i(x)-- неизв. ф-ии.

Подставим этот вид в исх. ур-ие, предварительно разложив все ln, exp и др. по Тейлору. Потом приравниваем коэфф.

Вариационное исчисление.

J(y) = {a to b} f(x, y, y’)dx  функционал; Задача: найти у(х): удовл. гранич. усл. и на нём

y(a) = A, y(b) = B; //гранич. усл. достигается min или max ф-ла J.

Ур-ие Эйлера {аналог производной для ф-ии}: f ’_Y  d/dx(f ’_Y’) = 0;

Если у нас J(y) = {a to b} f(x, y, y’, z, z’)dx  от нескольких ф-ий, то ур.Эйл. для каждой  система получится. И ещё д.б. (2n) гранич. усл. {n – число ф-ий}.

Если у нас J(y) = {a to b} f(x, y, y’, y”,…y⁽ⁿ⁾)dx  ур-ие Эйлера выглядит так:

f ’_Y  d/dx(f ’_Y’) + d²/dx² (f’_Y’’) -- … + (-1)ⁿ * dⁿ/dxⁿ (f’_Y’(n)’) = 0;

Опр., min или max функционала.

Вв. норму || y ||_C0 = max{x[a,b]} |y(x)|; || y ||_C1 = max{x[a,b]} |y(x)| + max{x[a,b]} |y’(x)|;

Окрестность U⁰(y₀) = { y(x): y(x)C⁰[a,b], ||y y₀|| _C0 <  }; U¹(y₀) = { y(x): y(x)C¹[a,b], ||y y₀|| _C1 < }; y₀(x) доставляет ф-лу J(y) сильный min, if  U⁰(y₀) :  y(x) J(y)  J(y₀), if знак ‘ ‘ сильный max. Слабый min  берём окр-ть U¹(y₀), а не U⁰(y₀).

Условие Лежандра (критерий min или max).

J(y) = {a to b} f(x, y, y’)dx; Найдём экстремали, потом расмм. <знак> f ”_Y’Y’ (x, y(x), y’(x)):

y(a) = A, y(b) = B;  > 0  min; if в окр-ти y₀  сильный (и  нестрогое:  или );

{ y₀ – экстремаль}  < 0  max; if только на y₀  слабый (и  строгое: ‘<’ или ‘>’);

Нелинейные системы.

1 способ. Выразить z или др. перем. и подст. в др. ур-ия.

2 способ. Искать -емые комбинации: -ые (n-1) независимых 1-ых -лов будут реш. {n-число перем., включая искомые}.