Диффуры1 (Шпаргалка)

Диффуры. 3-ий семестр.

A’b – А в степени b; y^ - производная у, y^k – k-ая производная у.

Изоклина:

y^=f(x,y); y^=y(x); a-угол наклона касательной; в т. (х,у) y^=tg a ; f(x,y)=k = угол накл =const для некоторой т. y^=f(x,y)=k; a=arctg f^(x,y).

По семейству сост ОДУ: F(x,y,С1,С2…Сn)=0; дифф это n раз, исключаем Ci.

Однородные ур-ия вида y^=f(x/y) или M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, где M и N-однородные ф-ии порядка k, т.е. M(kx,ky)=k’n*M(x,y). Замена y=t(x)*x. Далее разделение переменных.

Y^=f((ax+by+c)/(a1x+b1y+c1)); перенесем нач коорд в т. пересеч прямых:

{ax+by+c=0; ==> т. (x0,y0) ==> замена {x=x1+x0; дальше f(x1,y1)……

{a1x+b1y+c1=0; {y=y1+y0

Если прямые не пересекаются: ax+by+c=k(a1x+b1y+c1) ==> замена z(x)=ax+by+c2.

Замена y=z’m (x); m неизвестно; подставл z’m вместо y в исх ур-ие; потом считаем порядок однородности ф-ии – приравниваем степени слагаемых , находим m и делаем замену.

Линейный ур-ия. y^+a(x)*y=b(x); реш сначала ур-ие y^+a(x)=0; получим y=f(x,C); (**)

Формально сделаем С=С(х); продифф (**); подставим это y^ в исх ур-ие ==> найдём С(х)=g(x,C1); потом подст это в (**) ==> получим y=f(x,g(x,C1)).

Ур-ие Бернулли y^+a(x)*y=b(x)*y'n; n<>1; делим на y’n; y^/y’n + a(x)*(1/y’n)=b(x);

При n>1 y=0 явл реш; замена: z=1/y’(n-1).

Ур-ие Риккати y^+a(x)*y+b(x)*y’2=c(x). Сводится к ур-ию Бернулли. Пусть знаем заренее, что у1(х) явл реш. Замена y(x)=y1(x)+z(x) ==> ур-ие Бернулли для z(x). Y1(x) – частное решение, подбирается из вида с(х). У1= ax+b; a/x; ax’m и др.

Ур-ие d/dx [ Sf(x) ] Sf(x)

Вольтерра [ S F(x,t)dt ] = f^(x)*F(x,f(x)) – g^(x)*F(x,g(x)) + S F^(x,t)dt.

[g(x) S ] g(x)S

Ур-ия в полных дифференциалах M(x,y)dx+N(x,y)dy=0; надо dF(x,y)=0; условие, при к-ром ур-ие явл ур-ием в полных дифф: dM/dy = dN/dx; решение: F(x,y) = C; найдём F:

M(x,y) =dF/dx ==> F(x,y)=S M(x,y)dx +C(y); (**) N(x,y) = d/dy(S M(x,y)dx + C(y)) =

= S dM/dy(x,y)dx +C^(y) = d/dy(S M(x,y)dx)+C^(y); M,N известны ==> получим ур-ие для С^(y); далее находим С и подставл в (**).

Интегрирующий множитель – то, на что надо умножать ур-ие, чтобы получить ур-ие в полных дифф.

Особые решения. { Y^=f(x,y) ==> всегда сущ ед реш.; { y^(x0)=y0^

{ y(x0)=y0; {F(x,y,y^)=0 ==> не всегда

{y(x0)=y0

особое реш – наруш усл единств; чтоб сущ ед реш у(х0)=у0, надо :

1. F д.б. непрер по х,у,y^;

2. dF/dy <>0; // обычно наруш оно { y^ == p ==>F(x,y,p)=0

3. |dF/dy |<=N для особых реш; {dF/dp(x,y,p)=0 д.б., чтоб наруш (2); реш ==> убираем р; получается Ф(х,у)=0 – р-дискриминантная кривая; проверим, явл ли она реш.; если да, то проверим касание в каждой точке. Для f1 и f2: { f1(x0)=f2(x0)

{f1^(x0)=f2^(x0)

Метод введеня параметра. F(x,y,y^)=0; обозначим dy/dx = p; F(x,y,p) = 0; (**) берём дифференциал от этого; dy заменим на pdx ==> будет Ф(х,р)=0; выразим отсюда р и подставим в (**); {x=x(p) – параметрическое решение; можно попробовать выразить р ==>

{y=y(p) решение будет Р(х,у)=0.

Ур-ия высших порядков.

1. F(y,y^,…,y^k)=0. Замена y^=p(y). (т.е. у – новая нез. перем., а y^ -- новая искомая функция.

2. F(x,y^k,y^(k+1)…,y^n)=0. Замена y^k(x)=z(x).

3. Однородное относительно x,y,y^…y^n. F(x,y,y^,…,y^n)=0. If заменив: yk*y, y^mk*y^m, получится k*F(…)=0, то замена: y^=z(x)*y.

4. Однородное в обобщенном смысле: if после замены xk*x, yk’m*y,

y^k’(m-1)*y^, y^2k’(m-2)*y^2,…., приравняв степени при слагаемых,

сможем найти m, то замена: x=e’t, y=z*e^(m*t), где z=z(t) – новая неизв. ф-ия.

5) Обе части ур-ия являются производными по х от каких-либо ф-ий ==>

приводим к полным производным (или дифференциалам).

Линейные ур-ия с постоянными коэффициентами.

Однородные ур-ия.

a0*y^n + a1*y^(n-1) + …+ an*y=0.

Характеристическое ур-ие: a0*Л’n + a1*Л’(n-1) + …+ an=0. Лk – корни хар. ур-ия.

1) if существует Лk – Re корень кратности “1”, то yi(x)=Ci*e^(Лk*x), ==> y(x)= по i

Ci*e^(Лk*x).

1. Лk – Re корень кратности s ==> слагаемое в сумме, соответствующее Лk, равно P(s-1)*e^(Лk*x), где P(s-1) – полином степени s-1.

2. Лk – C корнь. Лk = ak + bk*i ==> слагаемое имеет вид Ck*e^(ak*x)*cos(bk*x) + Ck*e(ak*x)*sin(bk*x). (т.е. Ck*e^(ak+i*bk) + Ck*e^(ak - i*bk) ).

3. Лk = ak + bk*i кратности s ==> слагаемое: P(s-1)*e^(ak*x)*cos(bk*x) +

Q(s-1)*e^(ak*x)*sin(bk*x).

Неоднородные ур-ия.

a0*y^n + a1*y^(n-1) + …+ an*y = f(x). Решение: Унеодн=Уоднор + Участное.

f(x) м.б. специального вида:

1) f(x) = Pm(x) * e^(d*x) {d – это “гамма”}; Участное = x’s*Qm(x) * e^(d*x), где s

= кратности корня (if d является корнем хар. ур-ия ) или 0 (if не явл.).

Подставим Участное в исходное ур-ие и найдём коэффициенты Qm.

2) f(x) = e^(a*x) * ( Rn(x)*cos(b*x) + Pk(x)*sin(b*x) ) ==> Yчастное =

x’s * ( Tm(x)*cos(b*x) + Qm(x)*sin(b*x) ) * e^(a*x), где m=max(n,k);  = a  b*i. If

 – корень, то s равно его кратности, else s=0. Подставим Участное в исходное

ур-ие и найдём коэффициенты.

If f(x) = f1(x) + …+fn(x), то рассм. для каждой fi(x); потом Участное =  по i Участных(i).

F(x) общего вида ==> метод вариации постоянных.

a0*y^n + a1*y^(n-1) + …+ an*y = f(x). Решив однородное ур-ие, получим y = C1*y1 +..

…+ Ck*yk. Формально сделаем Ci  Ci(x); тогда Уобщее = C1(х)*y1 +…+ Ck(х)*yk.

Далее: { С1^*y1 + …+ Ck^*yk = 0; Решим эту систему, найдём Сi^=gi(x);

{ С1^*y1^ + …+ Ck^*yk^ = 0; потом Ci(x)= S gi(x) dx; Сi(x)=Gi(x)+Ci

{ …………………………….. потом подставим эти Ci(x) в Уобщее.

{ a0*{С1^*y1^(n-1) + …+ Ck^*yk^(n-1)} = f(x);

Ур-ия Эйлера.

a0*x’n*y^n + a1*x’(n-1)*y^(n-1) + …+ a(n-1)*x*y^ + an*y = f(x).

Замена: y = e^t ; сост. хар. ур-ие: заменим y1, x*y^Л,

x’2*y^2Л(Л-1),…, x’n*y^nЛ(Л-1)(Л-2)…(Л-n+1). С помощью хар. ур-ия составим ур-ие для y(t), заменив Л^k[y(t)]^k, а правую часть исходного ур-ия перепишем согласно замене y=e^t;

Определитель Вронского.

y1(x)………yk(x) | If на [a,b] W(x)0 всюду, то ф-ии yi ЛНЗ;

y1^………. yk^ ==W(x). If yi ЛЗ  W(x)  0 на [a,b].

…………………. . 

y1^(k-1)……yk^(k-1)

Лин. ур-ия с переменными коффициентами.

1. if известно y1=Yчастное, то замена: y(x)=y1(x)*z(x); подст. это в исходное ур-ие; потом замена z^=u.

2. Ур-ие имеет вид a0(x)*y^n + a1(x)*y^(n-1) +…+ a[n-1](x)*y^ + an*y = 0; пусть  ФСР y1,…,yn; Опр-ль Вронского для них и его производная:

 a1(x) 

W^=  ¯ a0(x)  * W(x); т.е. dW/W = [- a1(x) / a0(x) ]dx; интегрируем:

W(x) = C*e^( a1(x) /a0(x) dx);

Рассмотрим ур-ие 2-го порядка.

Пусть y1 – частное решение, а у – общее решение. Тогда

y1 y

W(x)=  = y1*y^  y1^*y = C*e^[ a1(x) /a0(x) dx]; разлелим на y1^2:

y1^ y^

(y/y1)^ = [1/(y1^2)] * C * e^[ a1(x) /a0(x) dx].

Поиск частного решения методом подбора.

1. м.б. y1 = e^(*x);

2. м.б. y1 = sin(x) или y1 = cos(x);

3. м.б. y1 = x’n + C1*x’(n-1) +… Найдя нужные производные и подставив это всё в исходное уравнение, приравняем к 0 коэффициент при n-ой степени х, найдём n -- степень многочлена. Потом подставим искомый многочлен в исходное ур-ие и найдём его оставшиеся коэффициенты (считаем, что при n-ой степени коэфф. = 1)