KURS4 (Вордовские лекции)

55

т.к. , а .

Т е о р е м а 25.1. Решение линейной системы с постоянными коэффициентами

(25.9)

асимптотически устойчивое, если для всех корней характеристического многочлена выполняется условие

для , (25.10)

и неустойчиво, если хотя бы одно .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В п.22 и п.23 мы описали , как строится решение для .

.

Фундаментальная матрица решений

имеет столбцы из фундаментальных решений

, где .

Если в (25.9) возмутить начальные условия , то решение (25.9) будет ,

Если все , то при

Если хотя бы одно , то

при .

Если , а остальные , то вопрос об устойчивости сложен. Возможны разные варианты.

п.26. Исследование устойчивости решения системы по первому приближению.

Рассмотрим нелинейную автономную систему дифференциальных уравнений

(26.1)

Автономной называется система, правая часть которой не зависит от .

Исследование на устойчивость первому приближению проводится следующим образом:

1) Разлагаем в ряд, учитывая, что

(26.2)

где , а - остаточный член, который можно представить в виде;

(взяв в средней точке). (26.3)

2) Рассмотрим устойчивость линейной части системы . Если все системы меньше нуля, то решения линеаризованной системы устойчивые.

3) Исследуем как влияет на устойчивость нелинейная поправка

Рассмотрим систему

(26.4)

Пусть импульсная функция для системы

.

Тогда из (26.4) получим

(26.5)

Используя лемму 25.1, получим

,

Тогда

(26.6)

где

- любое положительное число,

Чтобы из (26.6) получить оценку для при , рассмотрим вспомогательную задачу:

(26.7)

Сведем к интегральному уравнению, считая

(26.8)

Сравнивая (25.6) и (25.8), получаем

при любом . (26.9)

Д о к а з а т е л ь с т в о

и непрерывны и при . Следовательно,

при , Пусть , Тогда

,

Пришли к протоворечию при .

Теперь оценку получаем из оценки , для которой имеется аналитическое решение

(26.10)

При имеем и имеем

Имеем асимптотическую устойчивость.

Т е о р е м а 26.1. Пусть в некоторой окрестности точки покоя правая часть автономной системы - непрерывна вместе с производными до 2-го порядка включительно. Тогда, если все - характеристические числа матрицы

удовлетворяют условию , то тривиальное решение системы (25.1) асимптотически устойчиво. Если хотя бы одно имеет , то решение неустойчиво.

п.27. Исследование устойчивости решения методом функции Ляпунова.

О п р е д е л е н и е. Функция называется положительно определенной в , если в , причем только при .

Л е м м а 27.1. Пусть - положительно определена и непрерывна в . Тогда

а). для всех и такое, что

,

б) обратно, если для некоторых выполняется неравенство такое, что

.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

а) Доказательство от противного. Пусть и , но для любого имеем Возьмем последовательность , Для любого найдется такое, что , причем .

Из последовательности выделим сходящуюся подпоследовательность (это возможно т.к. ). Эта последовательность сходится к , С другой стороны и при имеем Это невозможно, т. к. только при

б) Аналогично. Пусть , но Тогда получаем, что а Противоречие.

Т е о р е м а 27.1 (об устойчивости).

Пусть в существует непрерывная вместе с первыми частными производными положительно определеная функция такая, что функция

(27.1)

удовлетворяет неравенству

для (27.2)

Тогда тривиальное решение системы

устойчиво.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Возьмем При , Т.к. и - непрерывно, то такое, что при имеем .

Предположим, что при (траектория вышла из - окрестности точки покоя), а при . Тогда а

, но

(где , средняя точка)

Пришли к противоречию (не выходит их - окрестности точки покоя для ). Теорема доказана: для , что при имеем

Т е о р е м а 27.2 (об асимптотической устойчивости).

Если вместо условия в т.27.1 потребовать где

- положительно определена в , то тривиальное решение системы будет асимптотически устойчиво.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По теореме 27.1 решение устойчиво. Надо доказать. что

.

Т.к. , если , то монотонно убывает при и имеем предел

.

Пример

Берем

.

Возникает вопрос: как выбрать Это связано с энепгией системы, которую описывает система уравнений.

Т е о р е м а 27.3 (о неустойчивости).

Пусть в непрерывная вместе с частными производными 1-го порядка функция

такая, что

а) для и - подобласть - окрестность точки , в которой выполняется неравенство

б) для такое, что из неравенства следует справедливое для всех Тогда решение системы неустойчиво.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим в начале пример.

- окрестность точки

Берем в (граница )

В области имеем и

.

Следовательно, в области имеем

Задача неустойчива.

Доказательство от противного.

Пусть устойчиво. Тогда что из условия

для Пусть так что так как . Следовательно, растет и при . Это невозможно, т.к. из устойчивости , что ограниченной области,где, согласно лемме, - ограничено.

п.28. Исследование траектории в окрестности точки покоя.

Исследование проводим в двумерном случае для системы с постоянными коэффициентами:

(28.1)

или (28.2)

Точка является особой в уравнении (27.2). Предположим, что системы (27.1)

не является корнем характеристического уравнения и корни различны . В этом случае общее решение (28.1) имеет вид:

, (28.3)

где - собственные вектора матрицы , соответственно для и .

Тогда

(28.4)

Рассмотрим различные случаи для разных соотношений между и .

1. Действительные одного знака.

1а. (отрицательные характеристические числа).Точка покоя,согласно теореме 24.1, асимптотически устойчива.

Если , то при при имеем асимптотическую прямую (проходит через точку покоя).

Если , то имеем (прямая )

Точка покоя называется "узлом".

1б. (положительные характеристмческие числа).

Получается та же картина, но точка покоя неустойчива и "узел" расходящийся (стрелки идут от начала координат).

2. Действительные разного знака.

Пусть

Точка покоя, согласно теореме 24.1, неустойчива.

Если , то , а, если , то

Полученные прямые называются "сепаратрисами".

Точка называется "седлом". Точка вначале идет к центру, но затем переходит на другую прямую и уходит в .

3. Случай разных комплексных характеристических чисел

В этом случае решение представляется в виде:

(*)

причем, из линейной независимости, следует

(**)

3а. Случай чисто мнимых

Тогда из системы (*) находим:

.

Используя тождество получим

.

Это эллипсы. Точка покоя устойчива, но не асимптотически. Эта точка называется "центром".

В зависимости от начальных данных точка вращается вокруг центра (толчка покоя), что соответствует эллипсу.

3б. Исключая и , получим

.

Это эллиптическая спираль. При имеем асимптотическую устойчивость,а при - неустойчива .Точка называется "фокус".