11. Закон Ампера. Сила Лоренца.

11. Закон Ампера. Сила Лоренца.

• Сила Ампера.

Силовое действие магнитного поля на проводники с током определяется законом Ампера:

(11.1)

здесь dF  сила, действующая на элемент dl тока силой I со стороны магнитного поля В в том месте, где располагается участок проводника dl. Направление этой силы определяется по правилу “левой руки”. Полная сила, действующая на проводник конечной длины вычисляется, как обычно, суммированием (интегрированием) “элементарных воздействий”.

• Сила Лоренца.

Движущийся электрический заряд q также представляет собой “элемент тока”, поэтому магнитное поле действует на него с силой, получившей название силы Лоренца:

, (11.2)

где V – скорость движения заряда. Часто обобщенной силой Лоренца называют силу, действующую на заряженную частицу в одновременно существующих электрическом и магнитном полях:

. (11.3)

Например, такая сила действует между двумя параллельно летящими с большой скоростью электронами. Соотношение этих сил выясняется в задаче 11.17. Проиллюстрируем применение законов взаимодействия электромагнитного поля с токами и заряженными частицами на примерах.

З адача

1. В одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому течет ток силой I₁ = 6 А, расположена квадратная рамка так, что две ее стороны параллельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно ее длине а = 0,5 м. По рамке течет ток силой I₂ = 1 А. Какую работу нужно совершить, чтобы перенести рамку параллельно самой себе вправо на расстояние l = 40 см?

Решение

На каждую сторону квадратной рамки будет действовать сила Ампера со стороны магнитного поля порожденного током, текущим по прямолинейному проводнику. Нетрудно определить (по правилу «левой руки»), однако, что на стороны рамки, перпендикулярные проводнику эти силы равны и противоположно направлены. Сила притяжения, действующая на ближнюю к проводнику сторону рамки больше силы отталкивания, действующей на дальнюю сторону. Для нахождения этих сил достаточно записать величину индукции магнитного поля длинного прямолинейного проводника с током (10.7) и применить закон Ампера (11.1)

, .

Напомним, что работа в неоднородном силовом поле (см. 4.2). Поскольку в нашем случае рамку перемещают вдоль оси Х, искомая работа , и равна алгебраической сумме работ сил притяжения и отталкивания:

.

Окончательно .

Задача

1. Протоны движутся в однородном магнитном поле циклотрона по дуге окруж­ности радиусом R = 10 м. При этом поле имеет индукцию B = 2 Тл и направлено перпендикулярно плоскости движения частиц. Пучок протонов попадает на заземленную мишень. Найти силу тока в пучке, если тепловая мощность, выделяющаяся в мишени, составляет Р = 2 Вт. Отношение заряда протона к его массе равно q/m = 10⁸ Кл/кг.

Решение

Движение протонов по окруж­ности обусловлено действием силы Лоренца со стороны магнитного поля, сообщающей протону центростремительное ускорение. По 2-му закону Ньютона:

= qVB. (1)

Кинетическая энергия каждого протона

E_к = . (2)

Вся эта энергия при неупругом ударе о мишень превращается в тепло. Поэтому тепловая мощность, выделяющаяся в мишени, может быть посчитана следующим образом:

P = E_кn , (3)

где n – число протонов, попадающих на мишень в единицу времени. Исходя из определения силы тока:

I = nq . (4)

Из равенств (2) и (3) получаем

и, используя (1) и (4), окончательно находим:

110^-10 A.

Задача

1. Вдоль линий индукции однородного магнитного поля из одной точки вылетают электро­ны со скоростью V, имея малый угловой разброс . Определите, на каком расстоянии от места вылета пучок будет иметь минимальный поперечный размер. Индукция магнитного поля В. Масса электрона т_e, его заряд – е.

Решение

Э лектрон, скорость которого образует угол  с направлением магнитного поля В, движется по винтовой линии. Разложим вектор скорости электрона на две составляющие: V_ = Vcos  V, направленную вдоль линий магнитной индукции и V_ = Vsin  V – перпендикулярную к ним. Период движения электрона по спирали T – время прохождения одного витка определяется из уравнения движения с учётом выражения для силы Лоренца:

, ,  .

Как видим, он не зависит ни от скорости электрона V_, ни от радиуса витка R. Шаг винтовой линии, напротив определяется V_:

L = V_T  .

Пройдя именно это расстояние, слабо расходящийся из одной точки пучок электронов, сфокусируется практически в одной точке.

• Виток с током в магнитном поле.

Если в однородное магнитное поле поместить виток с током, характеризующийся магнитным моментом p_m, то на него будет действовать вращающий момент сил:

N = [p_m,B] , N = p_mBsin, (11.2)

где  – угол между векторами p_m и В. Элементарная работа при повороте витка равна при этом dA = Nd = p_mBsind. Этому соответствует потенциальная энергия взаимодействия витка тока с магнитным полем .

В неоднородном поле виток испытывает, кроме того, втягивающее или выталкивающее воздействие со стороны магнитного поля, в зависимости от первоначальной ориентации векторов р_m и В. Сила этого взаимодействия может быть получена, исходя из общей взаимосвязи силы и потенциальной энергии:

F =  gradU_M, например . (11.4)

Определим силу взаимодействия двух катушек (соленоидов) расположенных на одной оси на некотором расстоянии друг от друга, существенно превышающем их собственные размеры.

Задача

1. Две одинаковые катушки радиусом R = 20 мм содержат по N = 100 витков. Оси катушек лежат на одной прямой. Найти силу взаимодействия катушек, если по ним протекает ток с одинаковой силой I = 2 А, а расстояние между катушками l = 0,5 м значительно превышает их размеры.

Решение

Определим, прежде всего, магнитный момент обеих катушек p_m1 = р_m2 = р_m = NR² I .

Найдем силу, действующую на одну из катушек со стороны неоднородного поля другой катушки. В условиях данной задачи для определения индукции этого поля на оси катушки можно воспользоваться полученным ранее для одиночного витка значением индукции магнитного поля (10.12):

.

Используя (11.4), получаем:

0,2 мкН.

Задачи для самостоятельного решения.

1. У крепленную на одном коромысле весов небольшую катушку К с числом витков N = 100 поместили внутрь соленоида (см. рис.) Площадь сечения катушки S = 1 см², длина плеча коромысла l = 20 см. В отсутствие тока в катушке весы уравновешены. После того как через катушку пустили ток I = 50 мА, для восстановления равновесия пришлось изменить груз на чаше весов на m = 50 мг. Найти индук­цию магнитного поля в месте нахождения катушки.

2. О пределите силу, приходящуюся на единицу длины, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных очень длинных проводника с током силой I₁ = I₂ = 1 А. Расстояние между проводниками равно а = 1 м.

3. Какая сила на единицу длины приходится в точке О тонкого провода с током I = 4 A, показанного на рисунке. Радиус закругления равен R = 20 см.

4. Контур из провода, изогнутого в форме квадрата (см. рис. к задаче 11.1) со стороной а = 0,5 м, расположен в одной плоскости с очень длинным прямым проводом с током I₁ = 6 А так, что две его стороны параллель­ны проводу. Сила тока в кон­туре I₂ = 1 А. Определить силу, действующую на контур, если ближайшая к проводу сторона контура находится на расстоя­нии b = 10 см. Направления токов указаны на рисунке.

5. П о двум контактным шинам, установленным под уг­лом  = 30 к горизонту может скользить медный брусок массы т = 0,5 кг (см. рис.). В окружающем шины пространстве создано однородное магнитное поле с индук­цией В = 1,5 Тл, перпендикулярное к плоскости шин. Если по бруску пропускать ток с силой I = 8 А, то он перемещается вверх с постоянной скоростью. С каким ускорением брусок соскальзывает вниз в отсутствии тока? Расстояние между шинами равно l = 20 см. Учесть трение.

6. Для измерения горизонтальной составляющей индукции магнитного поля Земли В_г можно использовать электронно-лучевую трубку осциллографа (ЭЛТ). В опыте измеряется смещение электронного луча на экране осциллографа от центра по вертикали h, если ориентировать трубку перпендикулярно земному меридиану. В качестве известных параметров установки можно считать ускоряющее напряжение U и расстояние от элек-тронной пушки ЭЛТ до экрана l. Определить по этим данным В_г.

7. Проволочная катушка поставлена на горизонтальной плоскости так, что её ось вертикальна. Система находится в однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией В. Масса катушки m, число витков N, радиус R. Какой ток следует пропустить по катушке, чтобы она опрокинулась?

8. Э лектрон со скоростью V = 10⁷ м/с влетает в область однородного магнитного поля с индукцией В = 10^-3 Тл. Скорость перпендикулярна линиям индукции поля и направлена под углом  = 30 к плоской границе поля. Определите максимальную глубину h проникновения электрона в область магнитного поля. Отношение заряда электрона к его массе  = 1,7610¹¹ Кл/кг.

1. * Граница двух магнитных полей с индукциями В₁ и В₂ – плоскость. Электрон влетает перпендикулярно границе со с коростью V и движется сначала в поле 2, затем в поле 1, потом снова в поле 2 и т.д. Определить среднюю скорость дрейфа электрона вдоль границы за большой промежуток времени.

2. Протон движется по окружности в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,510^-5 Тл в плоскости, перпендикулярной к силовым линиям. Чему равен период T такого движения? m_p = 1,6710^-27 кг; e = 1,610^-19 Кл.

3. Однозарядные ионы аргона разгоняются в электрическом поле напряжением 1000 В и затем попадают в перпендикулярное их скорости магнитное поле с индукцией 1 Тл, где разделяются на два пучка. Первому соответствует окружность ра­диуса R₁ = 27,4 мм, второму – радиуса R₂ = 28,9 мм. Определить относительные массы этих изотопов.

4. * Поток проводящей жидкости (расплавленный металл) течет по керамической трубе. Для определения скорости течения жидкости трубу помещают в однородное магнитное поле, перпендикулярное оси трубы, в трубе закрепляют два электрода, образующих плоский конденсатор, и измеряют разность потенциалов между электродами. Найдите скорость потока V, если магнитная индукция поля В = 0,01 Тл, расстояние между электродами d = 2 см, а измеренная разность потенциалов оказалась U = 0,4 мВ.

5. * Два электрона движутся параллельно друг другу с одинаковой скоростью V = 300 км/c. Найти отношение сил электрического и магнитного взаимодействия этих электронов.

6. * В случае эффекта Холла для натриевого проводника при плотности тока j = 150 А/см² и магнитной индукции В = 2 Тл напряженность поперечного электрического поля E = 0,75 мВ/м. Определить концентрации электронов проводимости, а также ее отношение к концентрации атомов в этом проводнике. Плотность натрия  = 0,97 г/см³.

7. * Определить постоянную Холла для натрия, если для него отношение концентрации электронов проводимо­сти к концен-трации атомов составляет 0,984. Плот­ность натрия  = 0,97 г/см³.

8. * Известно, что постоянная Холла для меди больше, чем для алю­миния в k = 1,8 раза. Во сколько раз число сво­бодных электронов приходящихся в среднем на один атом у алюминия больше, чем у меди. Плотности меди и алюминия соответственно равны _Cu = 8,93 и _Al = 2,7 г/см³.

9. * Через сечение медной пластинки толщиной а = 0,2 мм пропускается ток I = 6 А. Пластинка помещается в однородное магнитное поле с индукцией В = 1 Тл, перпендикулярное ребру пластинки и направлению тока. Считая концентрацию электронов проводимости равной концентрации атомов, определить возникаю­щую в пластинке поперечную (холловскую) разность потенциалов. Плотность меди  = 8,93 г/см³, атомная масса M = 6410^-3 кг/моль.

143