Механика. Электромагнетизм.

7. Потенциал. Электроёмкость.

• Поле сил неподвижного точечного заряда q является центральным. Ранее (п.4) было доказано, что любое центральное поле сил потенциально. Потенциальная энергия пробного заряда q_пр в поле заряда q задается выражением:

. (7.1)

Величина , определяемая как отношение потенциальной энергии пробного заряда, помещенного в данную точку электрического поля, к значению этого заряда, называется потенциалом:

. (7.2)

Для точечного заряда в вакууме, газообразном или жидком диэлектрике:

. (7.3)

Очевидно, что потенциал, как и потенциальная энергия, определён с точностью до произвольной постоянной. В (7.3) мы нормировали выражение для потенциала так, что   0, когда r  . Это можно сделать при условии конечного распределения зарядов. Для гипотетических задач типа бесконечной заряженной нити или плоскости     при r  , и необходима иная нормировка.

Если пробный заряд перемещается из положения 1 в положение 2, то силы электростатического поля совершают работу:

. (7.4)

Выражение называется разностью потенциалов точек 1 и 2 электростатического поля. Из сравнения формул (4.2) и (7.4) следует, что:

, (7.5)

В разделе 4 была установлена связь между силой и потенциальной энергией (формула 4.8: ). Отсюда непосредственно вытекает следующее соотношение:

Е , (7.6)

которое позволяет найти вектор Е в каждой точке пространства, если задана скалярная функция  (x,y,z).

Пусть имеется система точечных зарядов , и соблюдены условия выполнения принципа суперпозиции для напряженностей электрических полей, создаваемых этими зарядами. Тогда можно записать принцип суперпозиции для потенциалов:

, (7.7)

где _i(r) – потенциал поля i-го заряда, создаваемого им в отсутствие остальных зарядов.

Для системы точечных зарядов

, (7.8)

где r_i – радиус-вектор, проведенный от заряда с номером i до точки наблюдения.

Для протяженных тел, также как и в случае расчета напряженности электрического поля, тело разбивается на малые участки, которые представляются из точки наблюдения точечными зарядами. Затем находится потенциал, создаваемый каждым из участков, и эти вклады суммируются. Таким образом, при линейном распределении заряда потенциал в точке наблюдения будет равен соответственно:

; (7.9)

• Электроёмкость.

Если два проводника, несущие заряды q и q разделены вакуумом, жидким или газообразным диэлектриком, напряженность электрического поля Е этих проводников в любой точке пропорциональна заряду q. Следовательно, (в отсутствии иных зарядов) и разность потенциалов между проводниками:

. (7.10)

Коэффициент пропорциональности 1/С зависит только от формы, размеров проводников и от диэлектрических свойств среды.

Параметр С называют электроемкостью или просто емкостью такой системы проводников.

Очевидно, необходимым условием однозначности электроёмкости системы проводников-обкладок является близость расположения обкладок по сравнению с их размерами. Этим достигается независимость электрического поля между проводниками от внешних полей. Именно это обстоятельство учтено в определении:

Конденсатором называется система двух проводников, образующих изолированное от других тел электрическое поле при заряжении их равными и противоположными по знаку зарядами.

Аналитически ёмкость можно вычислить, используя соотношения (7.10), для ограниченного числа систем, обладающих плоской, цилиндрической или сферической симметрией.

• При решении задач о нахождении потенциала электрического поля или разности потенциалов возможны два подхода. Первый основан на использовании принципа суперпозиции для потенциалов (формулы 7.8 и 7.9). Второй, использующий соотношение (7.5), применим, когда известно явное выражение для вектора напряженности Е как функции координат. При расчёте электроёмкости всегда реализуется второй подход, причём напряжённость электрического поля между электродами определяется с помощью теоремы Гаусса.

Примеры решения задач

1. Н айти потенциал  и модуль Е напряженности поля диполя как функции r и  (r – расстояние от центра диполя,  – угол между осью диполя и направлением от центра диполя к данной точке). Дипольный момент равен p = ql, l – “плечо диполя”. Считать r  l.

Решение:

Потенциал в точке А определяется суммой потенциалов поля каждого из зарядов (+q и - q):

.

Полученное выражение для потенциала справедливо при r >> l.

Проекции напряженности электрического поля E_r и E_ могут быть представлены как составляющие вектора grad в полярных координатах:

Модуль напряженности

Задача

1. Определить потенциал и напряженность электрического поля, созданного равномерно заряженным тонким кольцом на оси, проходящей через центр кольца перпендикулярно плоскости, в которой лежит кольцо. Радиус кольца R, его заряд q.

Решение:

Воспользуемся принципом суперпозиции для потенциала. Как и при решении задачи 6.3 кольцо разбивается на точечные заряды q_i каждый из которых в точке А создает поле с потенциалом

.

Выражение для (x) (см. рисунок к задаче 6.3) получается суммированием _i по всем элементам кольца:

.

Используя связь между напряженностью электрического поля и потенциалом (7.6) , получаем напряженность поля:

.

Такое же выражение для напряженности ранее было получено нами непосредственным суммированием вкладов Е от малых участков кольца (задача 6.3). Однако при этом пришлось складывать разнонаправленные векторы, что существенно сложнее по сравнению с выше приведенным способом.

Задача.

1. Определить потенциал (r) внутри равномерно заряженного по объему шара радиуса R. Объемная плотность заряда , диэлектрическую проницаемость считать равной  = 1.

Решение:

Нормируя потенциал “на бесконечности” () = 0, и с учетом того, что поле вне шара не отличается от поля точечного заряда, можно определить потенциал на поверхности шара:

.

Применяя теорему Гаусса для сферы радиусом r  R:

,

получаем выражение для напряженности поля внутри шара:

.

Потенциал в точке поля внутри шара (r < R) равен

.

Итак, потенциал в точках поля внутри шара равен:

Задача.

1. Определить электроемкость единицы длины коаксиального кабеля (см. рис). Радиус внутренней жилы кабеля а = 0,5 мм, радиус оплетки кабеля b = 3 мм. Диэлектрическая проницаемость изолятора .

Р

:

ешение:

Данная система проводников, по сути, представляет собой цилиндрический конденсатор. Если по жиле и оплётке (обкладки) разноименные заряды распределены с линейной плотностью , то между ними существует электрическое поле с напряженностью . Возникшая при этом между обкладками разность потенциалов будет равна:

Отсюда емкость единицы длины кабеля:

Задача.

1. Два длинных провода радиуса а = 0,5 мм расположены в воздухе параллельно друг другу (двухпроводная линия). Расстояние между их осями b = 10 мм. Найти электроемкость этой системы проводов С, приходящуюся на единицу их длины.

Р ешение:

По данным задачи b >> a. Это позволяет считать, что заряды по поверхности проводников распределяются равномерно и напряженность электрического поля между проводами можно найти, используя выражение (6.12) и принцип суперпозиции полей: E(r) = E₊(r) + E_(r). Для вычисления разности потенциалов между проводами выберем простейший путь – вдоль прямой силовой линии, соединяющей провода. В любой точке с координатой х на этой линии напряженность равна

,

и тогда разность потенциалов между проводами:

Отсюда при b  a получим пФ/м.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Найти потенциал  в центре полусферы радиуса R, заряженной равномерно с поверхностной плотностью заряда .

2. Имеется бесконечная плоскость, заряженная равномерно с плотностью заряда . Ось X перпендикулярна к плоскости, начало отсчета оси находится в точке её пересечения с плоскостью. a) Найти зависимость (х). б) Можно ли нормировать выражение для  так, чтобы потенциал обращался в нуль на бесконечности?

3. * Бесконечная пластина из диэлектрика с проницаемо-стью  заряжена однородно с объемной плотностью заряда . Толщина пластины равна 2a. Ось X перпендикулярна к пластине, начало координат расположено в середине пластины. Найти (х): а) внутри и б) вне пластины. (Потенциал в середине пластины положить равным нулю). Пластина находится в воздухе.

4. a) Могут ли силовые линии электрического поля (в той его части, где отсутствуют электрические заряды) пересекаться между собой? б) Могут ли пересекаться или соприкасаться эквипотенциальные линии (поверхности), соответствующие различным потенциалам?

5. Определить разность потенциалов  между двумя коаксиальными цилиндрами радиусов R₁ и R₂, равномерно заряженными противоположными по знаку зарядами с линейной плотностью . Краевыми эффектами пренебречь.

6. Разность потенциалов между двумя коаксиальными цилиндрами c радиусами R₁ и R₂ равна U₀. Выразить через U₀ разность потенциалов U(r) между внутренним цилиндром радиуса R₁ и точками, находящимися на расстоянии r от оси цилиндров (R₁ < r < R₂).

7. * Накаленная нить катода радиолампы испускает электроны, которые под действием электрического поля ускоренно движутся к цилиндру, по оси которого натянута нить. Радиусы цилиндра и нити равны соответственно R₁ = 5 мм и R₂ = 0,05 мм. Разность потенциалов между цилиндром и нитью  = 91 В. Пренебрегая начальной скоростью электронов, определить ускорение a и скорость электронов V в точке, отстоящей от оси нити на расстоянии r = 3,5 мм. Заряд электрона е = 1,610^19 Кл, его масса m_e = 9,110^31 кг.

8. * Найти силу взаимодействия двух молекул воды, расположенных на расстояние r = 5 нм друг от друга. Дипольные моменты молекул p₁ и p₂ расположены вдоль одной прямой и равны по величине р = 0,6210^-29 Клм.

9. Получить выражения для электроемкости: a) плоского конденсатора с площадью пластин S и расстоянием d между ними; б) цилиндрического (на единицу длины). Радиусы цилиндров R₁ и R₂; в) сферического конденсатора с радиусами сфер R₁ и R₂; R₂ > R₁. Конденсаторы заполнены диэлектриком с диэлектрической проницаемостью .

10. * Между пластинами плоского воздушного конденса-тора создается электрическое поле Е₀. Затем половина зазора между пластинами заполняется однородным диэлектриком с проницаемостью . Найти значения напряженности поля Е₁ и Е₂ в двух образовавшихся параллельно соединенных конденсаторах. Рассмотреть два случая: a) напряжение между обкладками не меняется; б) остаются неизменными заряды на обкладках.

11. * Решить задачу, аналогичную предыдущей, с тем отличием, что диэлектриком заполняется половина зазора между пластинами параллельно плоскости пластин.

12. * Цилиндрический конденсатор заполнен двумя коакси-альными цилиндрическими слоями изоляторов с диэлектрической проницаемостью ₁ и ₂ и “пробивными напряженностями” Е₁ и Е₂. При каком соотношении между радиусами внутренней обкладки конденсатора и границы раздела изоляторов R₁ и R₂ напряженность поля будет одновременно достигать значения, соответствующего пробою в обоих диэлектриках?

13. * Площадь каждой обкладки плоского конденсатора S = 1 м², расстояние между обкладками d = 5 мм. Зазор между обкладками заполнен диэлектриком, проницаемость которого изменяется в направлении перпендикулярном обкладкам по линейному закону от значения ₁ = 2 вблизи одной обкладки до ₂ = 5,44 вблизи другой. Определить емкость такого конденсатора.

14. * Радиусы обкладок сферического конденсатора R₁ = 9 см и R₂ = 11 см. Зазор между обкладками заполнен диэлектриком, проницаемость которого изменяется с расстоянием r по закону  = 2 (R₁/r). Найти электроемкость этого конденсатора.

101