chapter2 (Л.Н. Фадеева - Задачи по теории вероятностей с решениями (DOC)), страница 2

Каждое из событий А и В содержит элементов, а все пространство  содержит элементов. Следовательно, Р(А)=Р(В)=1/5.

§ 3. Геометрическая вероятность.

Рассмотрим n-мерное вещественное пространство . Пусть в какую-то ограниченную область наудачу бросили точку. Слово «наудачу» означает, что в таком эксперименте все точки области «равновозможны». В этом случае вероятность попадания этой точки в какую-то подобласть определяется формулой

где и – n-мерные объемы областей и соответственно. Здесь элементарными исходами называются точки множества (которое играет роль пространства элементарных исходов), а благоприятствующими исходами – точки множества .

Задача 6. Точку наудачу бросили на отрезок . Какова вероятность попадания этой точки на интервал ?

Решение. Здесь пространство элементарных исходов весь отрезок , а множество благоприятствующих исходов , при этом длины этих интервалов равны и . Поэтому вероятность попадания брошенной точки в указанный интервал равна .

Задача 7. На отрезок бросили наудачу и поочередно две точки. Какова вероятность, что первая точка лежит правее второй точки?

Решение. Обозначим получившиеся координаты точек через x и y. Элементарным исходом в таком бросании двух точек будет пара , а пространством элементарных исходов – квадрат . Событие A={первая точка лежит правее второй точки} равносильно условию x>y, следовательно,

, т.е. представляет собой треугольник (см. рисунок). Площади квадрата и треугольника равны соответственно и , а потому вероятность .

Рис. 1.

Задачи для самостоятельного решения

1. Построить пространство элементарных исходов для эксперимента, в котором монета бросается 3 раза.

2. Построить пространство элементарных исходов для эксперимента, в котором вытаскиваются две карты из колоды в 36 карт.

3. Четыре человека вошли в лифт на первом этаже шестиэтажного дома. Найти вероятности следующих событий: а) все пассажиры выйдут на шестом этаже; б) все пассажиры выйдут на одном и том же этаже; в) все пассажиры выйдут на разных этажах.

4. Семь человек вошли в лифт на первом этаже восьмиэтажного дома. Какова вероятность, что на одном этаже вышли два человека?

5. Бросают две игральные кости. Чему равна вероятность того, что сумма очков, выпавших на обеих костях, не превзойдет 5?

6. Какова вероятность того, что в 4 бросаниях кости хотя бы один раз выпадет «единица»?

7. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек приходятся на разные месяцы года.

1. В урне 5 белых и 4 черных шара. Из урны наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что это будет: а) два белых шара; б) два черных шара; в) один черный и один белый.

2. Пять клиентов случайным образом обращаются в 4 фирмы. Какова вероятность, что хотя бы в одну фирму никто не обратится?

3. На остановке 10 человек случайным образом выбирают один из 10 вагонов поезда. Найти вероятность того, что ровно в один вагон никто не войдет.

4. В каждой упаковке товара имеется одна из 5 различных наклеек. Какова вероятность собрать их все, купив 7 упаковок товара?

5. Шесть шаров случайным образом раскладывают по 3 ящикам. Найти вероятность того, что во всех ящиках будет разное число шаров.

6. Найти вероятность того, что в 6-значном номере 3 цифры совпадают , а остальные различны (считаем, что пятизначные номера могут начинаться с нуля).

7. Семь человек становятся случайным образом в очередь один за другим. Какова вероятность того, что два определенных человека, скажем А и В, станут рядом?

8. В очередь в булочную случайным образом встали 8 женщин и 2 мужчин. Какова вероятность того, что между мужчинами будут стоять 2 женщины.

9. В очередь в кассу стоят 9 человек (трое мужчин, четыре женщины и двое детей). Какова вероятность, что между некоторыми двумя мужчинами будут стоять двое детей и одна женщина?

10. В партии из 8 изделий 3 изделия – высшего качества. Найти вероятность того, что среди отобранных (без возвращения) 4 изделий – ровно одно изделие высшего качества.

11. Из 10 проданных за день холодильников 4 имеют скрытые дефекты. Найти вероятность того, что среди выбранных наудачу 5 холодильников будет ровно 2 без скрытых дефектов.

12. 6 шаров случайным образом раскладываются по 3 ящикам. Найти вероятность того, что в первом ящике лежит 4 шара.

13. На шахматную доску случайным образом поставлены две ладьи. Какова вероятность того, что они не будут бить друг друга?

14. Группа из 18 студентов пишет контрольную работу из 3 вариантов (по 6 человек в каждом). Найти вероятность того, что среди случайно выбранных 5 студентов есть писавшие каждый вариант.

15. На группу из 10 человек предоставлено для производственной практики 6 мест в лаборатории № 1 и 4 места – в лаборатории № 2. Какова вероятность того, что при случайном распределении мест двое неразлучных друзей из этой группы попадут на практику в одну лабораторию?

16. В трех студенческих группах 72 человека (24 человека в группе по 12 юношей и 12 девушек). Наудачу выбраны 5 человек. Какова вероятность, что среди них будут девушки из всех трех групп?

17. Из колоды в 36 карт выбираются наугад 4 карты. Найти вероятность, что среди них окажется хотя бы один туз.

18. В лотерее из 50 билетов 5 выигрышных. Какова вероятность того, что среди первых пяти наугад выбранных билетов два будут выигрышными?

19. Работа каждого из четырех студентов заочного отделения может проверяться одним из четырех преподавателей. Какова вероятность, что все четыре работы проверены разными преподавателями?

20. Найти вероятность того, что в пятизначном числе имеются 2 четные цифры и 3 нечетные, при условии, что все они различны (считаем, что пятизначное число не может начинаться с нуля).

21. В ящике находятся 5 белых, 3 красных и 2 черных шара. Наудачу выбирает 6 шаров. Найти вероятность того, что выборка будет содержать 3 белых, 2 красных и 1 черный шар, если: а) выборка производится без возвращения (все 6 шаров отбираются сразу); б) выборка производится с возвращением (фиксируется цвет выбранного шара, после чего он возвращается в ящик).

22. Какова вероятность, что дуэль состоится, если каждый из дуэлянтов приходит на место дуэли в случайный момент времени между 5 и 6 часами и ждет противника в течение 5 минут?

23. Две подруги договорились встретиться в условленном месте в промежутке от 17 до 19 часов. Пришедшая первой ждет другую не более 15 минут. Какова вероятность, что подруги не встретятся?

24. На отрезок [2,5] наудачу бросаются две точки. Какова вероятность, что расстояние между ними меньше 2?

25. На отрезок [-1,2] наудачу брошены две точки. Какова вероятность, что расстояние между ними больше 1?

26. Точку бросают случайным образом на квадрат площади 100см². Какова вероятность, что координаты x,y этой точки отличаются друг от друга не более, чем на 1 см?

27. Два теплохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих теплоходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Найти вероятность того, что ни одному из теплоходов не придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого теплохода — 1 час, а второго — 2 часа.

28. Студент может добраться до факультета либо на автобусе, интервал движения которого составляет 7 минут, либо на троллейбусе, интервал движения которого составляет 10 минут. Найти вероятность того, что студенту, пришедшему на остановку в случайный момент времени, придется ждать не более трех минут.

29. Наудачу взяты два положительных числа Х и Y, каждое из которых не превышает единицы. Найти вероятность того, что сумма Х + Y не превышает 1, а произведение ХY не меньше 0,09.

30. Найти вероятность того, что из трех наудачу взятых отрезков длиной не более L можно построить треугольник.

31. В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длиной 10 км равно возможное, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки А, где находится ремонтная станция, на расстояние, не меньшее 1 км.

32. На плоскость с нанесенной сеткой квадратов со стороной а брошена монета радиуса . Найти вероятность того, что монета не пересечет ни одной из сторон квадрата.

33. Найти вероятность максимального выигрыша в спортлото (угадать 6 из 49).

34. В пачке 1000 лотерейных билетов, из которых 10 выигрышные. Какова вероятность выиграть хоть что-нибудь, имея: а) 3 билета; б) 100 билетов?

35. Задача Бюффона. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстояние 2а. На плоскость бросают наудачу иглу длиной 2l (l  а). Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь прямую.

7