part3 (Куприянов А.К. - Лекции по курсу общей физики для географического факультета), страница 4

Если установлено, что какая-либо величина является полным дифференциалом некоторой функции, то сама функция находится простым интегрированием. Пример: пусть известно, некоторая величина dz является полным дифференциалом функции f (x,y) - dz = 5у⁵ х⁴ dx + 5х⁵у⁴dy. Тогда z = . Для термодинамики важно, что в этом случае величина интеграла определяется лишь пределами интегрирования и конкретным видом функции f(х,у) и не зависит от пути интегрирования. Такие величины называются функциями состояния. Для пояснения изложенного рассмотрим понятие работы в термодинамике. Из механики известно, что работой силы F на малом перемещении Dl называется величина DA = FDl , которая в общем случае ( если сила непотенциальна) зависит от формы пути, на котором сила совершает работу. Поэтому элементарная работа DA не является полным дифференциалом, хотя эта работа стремится к бесконечно малой величине, когда Dl d . Другими словами, работа не есть функция состояния и ее макроскопическая величина существенно зависит от пути интегрирования:

. (13-1)

Чтобы различать полные дифференциалы и произвольные бесконечно малые величины, для последних в отличие от обыкновенного знака d используется какой-нибудь другой значок. Например, примем обозначать такие бесконечно малые величины знаком перечеркнутого дифференциала, подчеркивая тем самым каждый раз, что d - это не есть настоящий дифференциал.

Основным объектом внимания термодинамики является термодинамическая система, т.е. любая совокупность физических тел. Состояние этой системы описывается с помощью ограниченного числа макроскопических величин или фи-зических параметров. Например, для газа - это давление, объем, температура, масса и т.д. Для разных частей системы параметры могут принимать, вообще говоря, различные значения: так температуры в различных местах выбранного объема газа могут отличаться друг от друга. В этом случае говорят, что температура является неравновесным параметром. Если же параметры системы одинаковы для различных ее частей и сохраняются неизменными длительное время, то такое состояние системы называется равновесным. Строго говоря, термодинамика обязана рассматривать только равновесные состояния, т.к. в противном случае макроскопические значения параметров теряют свой смысл. В то же время термодинамику интересуют процессы передачи теплоты и совершение механической работы, т.е. для нее важны изменения в выбранной системе или переход из одного состояния в другое, т.е. процессы, протекающие в системе. Для удовлетворения этих противоречивых требований используется два приема: во-первых, любое изменение состояния рассматривается как квазиравновесное, т.е. состоящее из ряда последовательных равновесных состояний, причем параметры двух близких состояний отличаются друг от друга на бесконечно малую величину²⁰ ; во-вторых, термодинамика широко использует понятие функции состояния, т.к. знание самой функции и ее значения в некоторый начальный момент времени позволяют предсказать состояние системы в любой последующий момент времени безотносительно к условиям перехода из начального положения системы в конечное.

В происходят через различные промежуточные состояния, то такой переход необратим. Если переход из состояния А в В происходит по пути I , а обратный переход из В в А осуществляется по пути II, то такое изменение состояния системы называется циклом. Цикл также может быть обратимым или необратимым. Необратимым цикл будет всегда, если хотя бы одна часть его соответствует необратимому процессу.

§ 13-2. Первый закон термодинамики.

Даже при поверхностном знакомстве с принципами действия тепловых двигателей можно заметить, что во всех случаях полезная работа совершается за счет расширения горячих газов или пара, которые в термодинамике принято называть рабочим телом. Эта полезная работа совершается при изменении внутренней энергии газа или пара (рабочего тела). Поэтому важно уметь в нужный момент времени по возможности увеличивать внутреннюю энергию рабочего тела, т.к. интуитивно можно предположить, что величина полезной работы зависит от величины внутренней энергии рабочего тела.

Если два изолированных тела с разной температурой привести в контакт друг с другом, то через некоторое время их температуры выровняются, - наступит тепловое равновесие. Ясно, что при этом температура одного тела уменьшится, а другого увеличится. Это означает, что в месте теплового контакта молекулы одного тела при хаотическом движении передают свою энергию молекулам другого тела. Процесс передачи энергии путем хаотических микроскопических взаимодействий называется теплообменом (теплопередачей), а переданное при этом количество энергии - теплотой (теплом).

Тело, которое служит для передачи энергии некоторой термодинамической системе, называется тепловым резервуаром или термостатом ( в том случае, если в процессе теплопередачи его температура не изменяется). Температура термостата должна быть выше температуры системы, если требуется передать тепло системе, и наоборот, для того, чтобы отобрать некоторое количество теплоты у системы, температура резервуара должна быть ниже температуры системы. В этом случае переданной теплоте приписывается знак минус.

Если тело не изолировано, то ему можно сообщить энергию и другим способом; в частности, из закона сохранения механической энергии следует, что это можно сделать при совершении механической работы внешними силами, действующими на выбранное тело. При этом имеется ввиду, что механическая работа сил распределяется по всем частям рабочего тела, т.е. она превращается во внутреннюю энергию тела. Возможность такого способа передачи энергии была подробно исследована Джоулем.

В общем случае внутреннюю энергию можно изменять обоими способами:

. ( 13-2 )

Если вместо работы внешних сил рассматривать работу самой термодинамической системы А_сист = - А _внеш , то выражение ( 13-2 ) можно переписать иначе:

DQ = DU + A_сист . ( 13-3 )

Д ля бесконечно малых изменений величин, входящих в ( 13-3 ) нужно помнить, что бесконечно малая работа теперь обозначается как dА, поэтому

dQ = dU + dA, ( 13- 4 )

где dU означает полный дифференциал. Действительно, согласно (11-10) внутрен-

няя энергия определяется как сумма двух членов:

U = ,

Первое слагаемое этой суммы зависит только от температуры, а второе - только от расстояния между взаимодействующими частицами системы. Поэтому, если считать внутреннюю энергию как функцию двух переменных, то ее бесконечно малое приращение можно представить в виде полного дифференциала:

dU(r,T) = ,

п оскольку производные от U по Т или r совпадают с определениями частных производных. Очевидно, что бесконечно малое приращение теплоты не является полным дифференциалом, т.к. оно состоит из суммы двух слагаемых, одно из которых ( dA) не является полным дифференциалом.

Выражение (13-4) представляет собой математическую запись первого закона термодинамики, которое гласит, что теплота, полученная телом, трансформируется в изменение внутренней энергии и совершении работы системой против внешних сил.

Однако существуют и другие формулировки этого закона. Одна из них непосредственно связана с работой тепловых двигателей. Двигатели рассчитаны на длительную работу, при которой в системе одни и те же процессы повторяются многократно, т.е. работа двигателя происходит по замкнутому циклу, по завершению которого система возвращается в первоначальное состояние. Это означает, что в системе внутренняя энергия остается постоянной (dU=0) и количество полученной теплоты равно нулю ( dQ); но тогда из (13-4) следует, что dA также равно нулю, и любой процесс, единственным результатом которого было бы совершение работы без каких-либо изменений в других телах, невозможен. Механизм, при помощи которого мог бы осуществиться этот процесс, назвали вечным двигателем (perpetuum mobile) первого рода. За время существования патентных институтов во всем мире было предложено несколько сот тысяч проектов таких двигателей. В конце XIX века парижская Академия наук вынесла специальное постановление, согласно которому все проекты подобных двигателей отвергаются без какого-либо рассмотрения.

§13-3. Работа газа при различных процессах.

Общее выражение для работы ( 13-1 ) в применении к газам может быть не-

F = pS - сила давления газа на поршень. Тогда DА = pSD l = рDV, поскольку SD l

характеризует изменение объема. Если объем газа изменяется от значения V₁ до V₂ , то работа газа равна

= . ( 13-5 )