part3 (Куприянов А.К. - Лекции по курсу общей физики для географического факультета)

66

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА.

Лекция 11. Кинетическая теория.

§ 11-1. Основные положения кинетической теории.

Кинетическая теория изучает свойства веществ, рассматривая их состоящи-ми из атомов, которые находятся в непрерывном хаотическом движении. Огромное число отдельных объектов ( атомов и молекул ) делает невозможным описание их состояния с точки зрения законов Ньютона. Поэтому в молекулярной физике используется статистический метод, когда для характеристики того или иного параметра вещества используются усредненные значения.

Первым объектом нашего изучения явится газообразное состояние вещества. В основе кинетической теории газов лежат следующие постулаты:

1. все тела состоят из большого количества атомов и молекул, движущимися в случайных направлениях с различными скоростями,

2. расстояния между молекулами значительно превышают размеры самих атомов или молекул,

3. каждая из молекул подчиняется законам классической механики, но их кинетическая энергия много больше, чем потенциальная энергия взаимодействия между собой,

4. взаимодействие молекул между собой носит характер упругих столкновений.

Газ, который удовлетворяет всем этим требованиям, называется идеальным.

Очевидно, что на самом деле это всего лишь некоторая абстрактная модель, т.к. в действительности поведение реальных газов только приближенно следует закономерностям, полученным для идеального газа. Степень приближения связана прежде всего с конечными размерами реальных молекул, тогда как в модели идеального газа их принято считать материальными точками. Справедливости ради необходимо отметить, что в нормальных условиях поведение большинства реальных газов может достаточно точно описываться законами идеального газа, но при сильных сжатиях конечный размер молекул приводит к заметному отклонению поведения реальных газов от идеального.

§ 11-2. Описание состояния идеального газа.

Для однозначного определения положения в пространстве одной молекулы идеального газа необходимо знать ее три координаты. Число молекул в одном кубическом сантиметре примерно равно 2,7• 10¹⁹. Поэтому даже современный компьютер не в состоянии решить соответствующую систему уравнений. Задача молекулярной физики состоит в том, чтобы попытаться описать состояние газа с помощью небольшого количества физических параметров (давления, температуры, массы, теплоемкости и т.д.), связав их со свойствами отдельных атомов и молекул. Решение этой задачи достигается путем усреднения отдельных микроскопических величин. Такое усреднение может быть проведено различными способами.

Пусть, например, требуется найти среднее число молекул в определенном объеме.

Его можно найти, либо вычисляя среднее число в заданном объеме в различные моменты времени, либо беря различные одинаковые объемы в различных частях сосуда, содержащего идеальный газ. Обозначим среднее значение числа молекул, найденное по первому способу как < N >_t , а среднее по второму - < N >_анс . Первое из них обычно называют средним по времени, а второе - средним по ансамблю¹⁷ . В настоящее время считается, что < N > _t = < N >_анс . Доказательства справедливости этого равенства до сих пор не существует, и его принимают как некоторую эргодическую гипотезу. Величины, найденные таким способом, называются макроскопическими. Если значения макроскопического параметра оказывается одинаковыми для любых выбранных частей рассматриваемой системы и не изменяются с течением времени, то говорят о равновесном значении этого параметра. Если в системе установилось равновесие по всем параметрам, характеризующих систему, то такая система называется равновесной.

При этом отдельные макроскопические величины оказываются связанными друг с другом. Так, например, опытным путем были установлены так называемые газовые законы, известные из школьного курса физики: закон Шарля (р/T = const), закон Гей-Люссака (V/T = const) , закон Бойля - Мариотта (pV = const), а также объединенный закон Менделеева - Клапейрона {pV=( m/m)RT}, связывающие макроскопические величины массы газа m, молекулярного веса m, давления р, объема V и температуры Т. Из этих законов видно, что изменение одного параметра вызывает изменение другого. Ясно, что любое изменение параметра влечет нарушение равновесного состояния системы. Поэтому, строго говоря, для того, чтобы в любой момент времени система находилась бы в равновесном состоянии, требуются бесконечно малые изменения параметров, и переход из одного равновесного состояния в другое должен происходить бесконечно долго. В реальной жизни рассматриваются квазиравновесные процессы, т.е. процессы, происходящие достаточно медленно и долго. Именно такие процессы и будут рассматриваться в дальнейшем.

§ 11-3. Основное уравнение кинетической теории газов.

В кинетической теории газов предполагается, что давление газа на стенку сосуда создается за счет упругих ударов молекул газа об эту стенку. При упругом

Выберем некоторый участок поверхности стенки площадью S и подсчитаем количество ударяющихся о стенку в единицу времени молекул, скорости которых име-ют проекцию на ось Х, близкую к значению . Пусть концентрация таких молекул равна n_i . Массы всех молекул считаются одинаковыми и равными m.

Если до удара о стенку проекция импульса на ось Х была , то после удара она станет равной (- ). Изменение импульса молекулы, а, следовательно, и изменение импульса стенки D k_i равно:

D k_i = - ( - ) = 2 . ( 11-1 )

Из выделенной группы молекул за промежуток времени dt достигнут поверхности S лишь те молекулы, скорости которых направлены к стенке ( ), и которые

находятся от стенке не далее расстояния D l = dt . Другими словами, те молекулы, которые находятся внутри объема D V = S dt . Как уже отмечалось, концентрация таких молекул n_i , поэтому общее число их ударов о стенку за время dt равно D N_i = n_i S dt . В результате ударов этих молекул импульс стенки изменится на величину

D К_i = 2 D N_i = 2 n_i S dt = 2m n_i S dt . ( 11-2 )

Чтобы найти общее изменение импульса всех молекул при ударах о стенку DК, нужно просуммировать выражение (11-2) по всем значениям скоростей молекул, т.е. по всем :

DК = . ( 11-3 )

Умножая и деля правую часть ( 11-3 ) на концентрацию молекул n, рассмотрим величину суммы

, ( 11-4 )

где числа k₁ ,k₂ ,..k _i ,... k _N - количество появления тех или иных значений скорости. Из статистики известно, что сумма ( 11-4 ) представляет собой среднее арифметическое или просто среднее значение величины , а числа k₁ ,k₂ ,...

..k _i,... k _N характеризуют так называемые статистические веса значений v₁ ,v ₂ , ..v_i , ... v _N. С учетом определения ( 11-4 ) выражение ( 11-3 ) принимает следующий вид:

DК = 2mS n dt. ( 11-5 )

Cреднеквадратичную проекцию скорости молекул на ось Х можно связать со среднеквадратичной скоростью хаотического движения молекул в предположении о равноправии всех трех осей координат. Т.к. v² = , и все направления скорости равновероятны, то можно считать .Учтем, что движение в сторону положительных и отрицательных значений х также равнове-

роятны, поэтому = . Кроме того, деля обе части ( 11-5 ) на Dt и заме-

чая, что по второму закону Ньютона представляет собой силу, действующую на стенку, получим . Поскольку сила, деленная на площадь, характеризует величину давления , которое она оказывает на единицу площади, то ( 11-5 ) принимает окончательный вид:

, ( 11-6 )