Теорема: – квадратичная функция, . Если , то и приводится к . Если , то приводится к и значение в любой центральной точке равно .

Приводимость к одной из форм уже доказана. Покажем, что функция не имеет центральных точек. Пусть и – произвольная точка. Тогда . Но если – центральная точка, то . Т.е. . Это неверно для .

Во втором случае точка сама является центральной. Осталось доказать только, что для любой центральной точки . Если , , то , т.к. – центральная. Но , где (было доказано раньше). Отсюда и , т.е. .

Следствие: Любая квадратичная функция путём выбора подходящей системы координат приводится к одному из двух канонических видов .

­

КВАДРИКИ

1.

Пусть – квадратичная функция в аффинном пространстве .

Определение: Множество точек, заданных уравнением называется квадрикой в : . Рангом квадрики называется ранг .

Далее мы будем рассматривать только непустые квадрики.

Определение: Квадрика называется двойным подпространством, если она совпадает с некоторой аффинной плоскостью в .

2.

Теорема 1 (о единственности): Если квадрика не является двойным подпространством, то любые два уравнения (в одной и той же системе координат) пропорциональны, т.е. .

Пусть и – два различных уравнения, задающих квадрику .

1. Любая непустая квадрика содержит более одной точки (точка – аффинная плоскость).

2. На квадрике существует две точки , такие что прямая, проходящая через них, не лежит целиком на (иначе – аффинная плоскость).

3. Прямую, проходящую через и можно задать параметрически: и . Тогда условие принадлежности точки квадрике – уравнение второй степени на параметр : . Т.к. прямая пересекает не менее двух раз, то (уравнение квадратичное), следовательно, точек пересечения ровно две.

4. Построим в аффинном пространстве систему координат с началом в точке и такую, чтобы . Тогда прямая состоит из точек с координатами , , .

5. Распишем квадратичную функцию по степеням : , где и – многочлены от , , . Т.к. прямая пересекает в двух точках, то многочлен имеет положительный дискриминант , кроме того . Поделив на можно считать, что изначально. То же самое верно и для . Поэтому считаем, что задаётся уравнениями . , где ( ). Теперь докажем, что .

6. Зафиксируем произвольные числа и рассмотрим плоскость в : ,…, , . Если , то значение , где , . Обозначим .

7. Т.к. и (по пункту 5), то . Значит при фиксированном многочлены имеют по два корня. Но если фиксировано, то эти корни – точки пересечения квадрики с прямой , т.к. , корни многочленов тоже совпадают. Но коэффициенты при тоже равны, поэтому сами многочлены равны, т.е. равны коэффициенты .

8. Т.к. многочлены , не могут иметь больше двух корней, если они ненулевые, то равенства , верны . В частности и для . Итак, , .

9. Поскольку выбраны произвольно, то и обращаются в ноль при любых значениях переменных из . Отсюда индукцией по можно показать, что , , как многочлены от . Поэтому .

3.

Определение: Точка называется центром (или центром симметрии) квадрики , если из условия следует, что . Квадрика называется центральной, если у неё есть хотя бы один центр симметрии.

Теорема 2: Пусть непустая квадрика не является двойным подпространством. Тогда множество центров симметрии квадрики совпадает с множеством центральных точек квадратичной функции .

Пусть . Если – центральная точка квадратичной функции , то , и если , то , то . Пусть – центр симметрии для поверхности . Рассмотрим новую квадратичную функцию . Т.к. – центр симметрии для , то , т.е. . По теореме 1 , откуда следует, что и . Но если , то – центр квадратичной функции .

4. Канонические типы квадрик

Теорема 3: Уравнение квадрики в -мерном аффинном пространстве заменой координат приводится к одному и только одному из следующих канонических типов:

1. Центральные квадрики

1. Нецентральные квадрики



В принципе дальше можно изучать классификацию поверхностей второго порядка в , но мы не будем на этом останавливаться, поскольку это уже было в курсе аналитической геометрии.

16.04.05